Реферат на тему:

Соболівські простори і узагальнені розв’язки крайових задач

.

, при відповідній нумерації, можна задати рівнянням вигляду

.

.

визначається тією задачею, яка буде розглядатися.

.

множини

кусково нескінченну кількість разів диференційовна поверхня. л

покладемо

.

, поза якої ця функція дорівнює нулеві.

має місце рівність

(1)

.

має місце співвідношення

Тут ми скористалися умовою

За означенням отримуєм, що

.

з нормою

(2)

— гільбертовий.

називається ще соболівським.

за нормою (2).

за нормою

(3)

.

відносно норми (2).

підпослідовність.

функцій.

маємо, що

, одержимо, що

Аналогічно,

Отже,

де

Використовуючи нерівність Гьольдера, одержимо, що

— деяка константа.

буде складатися з неперервних функцій, а, отже,

.

З нерівності

підпослідовність. Таким чином, цілком неперервність вкладення
показана.

Наведем далі один результат про цілком неперервність вкладення
соболівських просторів.

.

.

— ціле невід’ємне число.

— гільбертові з нормами

(4)

(5)

.

Розглянемо крайову задачу

(6)

де

таке, що

.

, яка задовольняє інтегральну тотожність

(7)

де

, яка задовольняє співвідношення (7), називають також узагальненим
розв’язком першої крайової задачі або задачі Діріхле.

Має місце така теорема.

відповідно.

.

.

, оскільки

, для якої

що і доводить існування і єдиність узагальненого розв’язку.

.

Розглянемо далі наступну крайову задачу

(8)

.

.

, яка задовольняє співвідношення

(9)

де

Має місце наступна теорема.

не дорівнює нулеві тотожно. Тоді існує єдиний узагальнений розв’язок
задачі (1.8) і при цьому має місце нерівність

.

Приклад 4. Розглянемо рівняння

і граничні умови

Покажемо, що узагальненим розв’язком цієї крайової задачі є функція

виконується співвідношення

, будемо мати

тобто

що і треба було довести.

.

параболічне рівняння

(10)

з початковою умовою

(11)

В залежності від вигляду граничних умов

(12)

або

(13)

) змішану крайову задачу для рівняння (10).

. Дамо наступне означення.

і виконується співвідношення

(14)

.

Зауважимо, що співвідношення (1.14) можна переписати у вигляді

(15)

.

, виконується співвідношення

(16)

Тут

. Тоді має місце наступна теорема.

Теорема 4. Існує єдиний узагальнений розв’язок змішаних крайових задач
і при цьому для першої крайової задачі виконується нерівність

(17)

а відповідно для другої і третьої крайової задачі виконується нерівність

(18)

.

— узагальнені розв’язки першої і третьої змішаних крайових задач.Тоді
для цих функцій має місце представлення

(19)

і

, тобто функції, які визначаються з співвідношень

(20)

відповідно.

і наведем еквівалентні означення узагальнених розв’язків змішаних
задач.

за нормою

.

, де

ми формально будемо записувати у вигляді

. Тоді цій функції ми можемо поставити у відповідність узагальнену
функцію за правилом

можна визначити похідні за часом за формулою

Введемо простір

Цей простір є гільбертовим з нормою

Крім того, має місце

.

, то має місце формула інтегрування за частинами

(21)

у вигляді інтегралів.

і справедливе співвідношення

(22)

, то вона є узагальненим розв’язком відповідної крайової задачі.

У більш загальному випадку справедлива

, що

, яка задовольняє співвідношення

(23)

, то одержимо умову розв’язності третьої крайової задачі.

PAGE 9

Похожие записи