Реферат на тему:
Системи лінійних рівнянь, визначники
Основні поняття
Предметом розгляду лінійної алгебри для економістів є насамперед теорія
систем лінійних рівнянь, які в загальному вигляді можна подати так:
(1.1)
Система (1.1) називається системою m лінійних рівнянь з
, то система лінійних рівнянь називається однорідною.
Розв’язком системи рівнянь (1.1) є множина таких чисел k1, k2, …, kn,
у результаті підставляння яких замість відповідних невідомих x1, x2,
…, xn у кожне з рівнянь системи (1.1) останні перетворюються на
правильні числові рівності.
Якщо система рівнянь не має жодного розв’язку, вона називається
несумісною, а якщо має хоча б один розв’язок — сумісною. Сумісна система
рівнянь називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок, і
невизначеною, якщо розв’язків більш як один.
Визначники другого і третього порядків, їх властивості
Розглянемо спочатку системи рівнянь, в яких кількість невідомих і
кількість рівнянь рівні між собою, тобто m = n. Нехай, наприклад,
n = m = 2, тоді маємо систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими:
Визначником другого порядку називається вираз
.
Приклад.
.
Якщо n = m = 3, то маємо систему трьох лінійних рівнянь з трьома
невідомими:
Визначником третього порядку називається вираз:
. (1.2)
Для запам’ятовування правила обчислення визначника третього порядку
пропонуємо таку схему (правило трикутників):
Позначимо точками елементи визначника, тоді доданки зі знаком «плюс» —
це добутки елементів a11, a22, a33, розміщених на головній діагоналі
визначника, і добутки елементів a13, a21, a32 і a12, a23, a31,
розміщених у вершинах рівнобедрених трикутників, основи яких паралельні
головній діагоналі. Зі знаком «мінус» беруться доданки, що є добутками
елементів a13, a22, a31, розміщених на сторонній діагоналі визначника,
та у вершинах рівнобедрених трикутників, основи яких паралельні
сторонній діагоналі визначника — a11, a23, a32 і a12, a21, a33.
Запропонуємо ще одне правило обчислення визначника третього порядку
(правило Саррюса).
У початковому визначнику за третім стовпцем запишемо ще раз перший і
другий стовпці:
Для знаходження визначника за цим правилом треба утворити зі знаком
«плюс» алгебраїчну суму добутків елементів, розміщених на головній
діагоналі визначника, і на діагоналях, паралельних їй, а зі знаком
«мінус» — добутків елементів, розміщених на сторонній діагоналі, та на
діагоналях, пара-
лельних їй.
Визначник:
,
рядки якого є стовпцями попереднього визначника, є транспонованим щодо
визначника (1.2).
Властивість 1. Визначник не змінюється в результаті транспонування.
З властивості 1 випливає, що будь-яке твердження, котре справджується
для рядків визначника, справджується і для його стовпців, і навпаки.
Властивість 2. Якщо один із рядків визначника складається лише з нулів,
то такий визначник дорівнює нулю.
Властивість 3. Якщо поміняти місцями будь-які два рядки визначника, то
його знак зміниться на протилежний.
Властивість 4. Визначник, який має два однакові рядки, дорівнює нулю.
Властивість 5. Якщо елементи будь-якого рядка визначника помножити на
стале число С, то й визначник помножиться на С.
З останньої властивості випливає, що спільний множник елементів рядка
можна виносити за знак визначника.
Властивість 6. Визначник, який має два пропорційні рядки, дорівнює нулю.
Властивість 7. Якщо всі елементи будь-якого рядка визначника можна
подати у вигляді суми двох доданків, то такий визначник дорівнює сумі
двох визначників, у яких елементами цього рядка будуть відповідно перший
доданок у першому визначнику і другий доданок у другому визначнику, а
решта елементів будуть ті самі, що й у початковому визначнику.
Властивість 8. Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого
рядка додати відповідні елементи довільного іншого рядка, попередньо
помножені не деяке число.
Мінори та алгебраїчні доповнення
[1; n–1] називається визначник, утворений з елементів, розміщених на
перетині будь-яких k рядків і k стовпців визначника. Зрозуміло, що мінор
першого порядку — це будь-який елемент визначника.
Приклад. Утворити кілька мінорів другого і один мінор третього порядку
такого визначника:
.
.
?‚
„
†
–
”
&
,
0
2
4
N
?
?
???????
?
¶
?
1/4
A
I
I
?
a
??
??
третього порядку утворюється з елементів, розміщених на перетині
другого, третього, четвертого рядків і першого, третього, четвертого
стовпців.
Верхній індекс означає нумерацію мінорів; нижній індекс — порядок
мінора.
Доповняльним мінором для мінора k-го порядку називається такий мінор,
який лишається у визначнику після викреслювання тих k рядків і тих k
стовпців, на перетині яких містяться елементи, що утворили мінор k-го
порядку.
Нехай мінор k-го порядку утворено з елементів, розміщених на перетині
i1, i2, …, ik рядків і j1, j2, …, jk стовпців.
номерів рядків і стовпців парна, то береться знак «+», якщо непарна —
то знак «–».
— доповняльний мінор (n–1)-го порядку, утворений викреслюванням i-рядка
і j-стовпця в початковому визначнику n-го порядку.
Обчислення визначників
, яке дорівнює алгебраїчній сумі добутків елементів будь-якого рядка
або стовпця на відповідні їм алгебраїчні доповнення:
(1.3)
Алгебраїчні доповнення, що входять до формули (1.3), за якою обчислюють
визначник, є, у свою чергу, мінорами, узятими з відповідними знаками,
тобто визначниками (n–1)-го порядку. Отже, обчислення визначника n-го
порядку зводиться до обчислення n визначників (n–1)-го порядку.
Але з формули (1.3) випливає, що за наявності у визначнику нульових
елементів відповідні алгебраїчні доповнення обчислювати не потрібно.
Згідно з властивістю 8, яка справджується для визначників будь-якого
порядку, можна визначник перетворити так, щоб у його рядках або стовпцях
усі елементи, крім одного, дорівнювали нулю. І тоді, розклавши визначник
за елементами цього рядка або стовпця, зведемо задачу знаходження
визначника n-го порядку до знаходження одного визначника n–1-го порядку.
Властивість 9. Сума добутків елементів рядка або стовпця визначника n-го
порядку на алгебраїчні доповнення до елементів іншого рядка або стовпця
цього самого визначника дорівнює нулю.
Правило Крамера
Розглянемо систему n лінійних рівнянь з n невідомими:
(1.4)
складений із коефіцієнтів при невідомих системи n лінійних рівнянь з n
невідомими (1.4), відмінний від нуля, то така система рівнянь має єдиний
розв’язок (сумісна і визначена), який обчислюється за формулами:
,
— головний визначник системи, який утворюється з коефіцієнтів при
невідомих у лівій частині системи (1.4);
— визначник, який утворюється заміною j-го стовпця в головному
визначнику на стовпець вільних членів.
План практичних занять
Обчислення визначників третього порядку.
Обчислення визначників n-го порядку.
Розв’язування систем n рівнянь з n невідомими за правилом Крамера.
Термінологічний словник ключових понять
Транспонування — зміна місцями рядків і стовпців визначника або матриці.
Мінор k-го порядку — визначник, утворений з елементів визначника або
матриці, розміщених на перетині k рядків і k стовпців.
, де i1 i2, …, ik, j1, j2, …, jk, — індекси відповідно тих рядків і
тих стовпців, які брали участь в утворенні мінора.
ЛІТЕРАТУРА
Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы,
ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.
Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. —
К.: Вища шк., 1987. — 552 с.
Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. —
М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.
Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ,
1967. — 352 с.
Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука,
1986. — 224 с.
Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1975. — 416 с.
Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б.
П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь,
1995. — 240 с.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
