Реферат на тему:

Системи лінійних рівнянь, визначники

Основні поняття

Предметом розгляду лінійної алгебри для економістів є насамперед теорія
систем лінійних рівнянь, які в загальному вигляді можна подати так:

(1.1)

Система (1.1) називається системою m лінійних рівнянь з

, то система лінійних рівнянь називається однорідною.

Розв’язком системи рівнянь (1.1) є множина таких чисел k1, k2, …, kn,
у результаті підставляння яких замість відповідних невідомих x1, x2,
…, xn у кожне з рівнянь системи (1.1) останні перетворюються на
правильні числові рівності.

Якщо система рівнянь не має жодного розв’язку, вона називається
несумісною, а якщо має хоча б один розв’язок — сумісною. Сумісна система
рівнянь називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок, і
невизначеною, якщо розв’язків більш як один.

Визначники другого і третього порядків, їх властивості

Розглянемо спочатку системи рівнянь, в яких кількість невідомих і
кількість рівнянь рівні між собою, тобто m = n. Нехай, наприклад,
n = m = 2, тоді маємо систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими:

Визначником другого порядку називається вираз

.

Приклад.

.

Якщо n = m = 3, то маємо систему трьох лінійних рівнянь з трьома
невідомими:

Визначником третього порядку називається вираз:

. (1.2)

Для запам’ятовування правила обчислення визначника третього порядку
пропонуємо таку схему (правило трикутників):

Позначимо точками елементи визначника, тоді доданки зі знаком «плюс» —
це добутки елементів a11, a22, a33, розміщених на головній діагоналі
визначника, і добутки елементів a13, a21, a32 і a12, a23, a31,
розміщених у вершинах рівнобедрених трикутників, основи яких паралельні
головній діагоналі. Зі знаком «мінус» беруться доданки, що є добутками
елементів a13, a22, a31, розміщених на сторонній діагоналі визначника,
та у вершинах рівнобедрених трикутників, основи яких паралельні
сторонній діагоналі визначника — a11, a23, a32 і a12, a21, a33.

Запропонуємо ще одне правило обчислення визначника третього порядку
(правило Саррюса).

У початковому визначнику за третім стовпцем запишемо ще раз перший і
другий стовпці:

Для знаходження визначника за цим правилом треба утворити зі знаком
«плюс» алгебраїчну суму добутків елементів, розміщених на головній
діагоналі визначника, і на діагоналях, паралельних їй, а зі знаком
«мінус» — добутків елементів, розміщених на сторонній діагоналі, та на
діагоналях, пара-

лельних їй.

Визначник:

,

рядки якого є стовпцями попереднього визначника, є транспонованим щодо
визначника (1.2).

Властивість 1. Визначник не змінюється в результаті транспонування.

З властивості 1 випливає, що будь-яке твердження, котре справджується
для рядків визначника, справджується і для його стовпців, і навпаки.

Властивість 2. Якщо один із рядків визначника складається лише з нулів,
то такий визначник дорівнює нулю.

Властивість 3. Якщо поміняти місцями будь-які два рядки визначника, то
його знак зміниться на протилежний.

Властивість 4. Визначник, який має два однакові рядки, дорівнює нулю.

Властивість 5. Якщо елементи будь-якого рядка визначника помножити на
стале число С, то й визначник помножиться на С.

З останньої властивості випливає, що спільний множник елементів рядка
можна виносити за знак визначника.

Властивість 6. Визначник, який має два пропорційні рядки, дорівнює нулю.

Властивість 7. Якщо всі елементи будь-якого рядка визначника можна
подати у вигляді суми двох доданків, то такий визначник дорівнює сумі
двох визначників, у яких елементами цього рядка будуть відповідно перший
доданок у першому визначнику і другий доданок у другому визначнику, а
решта елементів будуть ті самі, що й у початковому визначнику.

Властивість 8. Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого
рядка додати відповідні елементи довільного іншого рядка, попередньо
помножені не деяке число.

Мінори та алгебраїчні доповнення

[1; n–1] називається визначник, утворений з елементів, розміщених на
перетині будь-яких k рядків і k стовпців визначника. Зрозуміло, що мінор
першого порядку — це будь-який елемент визначника.

Приклад. Утворити кілька мінорів другого і один мінор третього порядку
такого визначника:

.

.

?‚

»

&

,

0

2

4

N

?

?

???????

?

?

1/4

A

I

I

?

a

??

??

третього порядку утворюється з елементів, розміщених на перетині
другого, третього, четвертого рядків і першого, третього, четвертого
стовпців.

Верхній індекс означає нумерацію мінорів; нижній індекс — порядок
мінора.

Доповняльним мінором для мінора k-го порядку називається такий мінор,
який лишається у визначнику після викреслювання тих k рядків і тих k
стовпців, на перетині яких містяться елементи, що утворили мінор k-го
порядку.

Нехай мінор k-го порядку утворено з елементів, розміщених на перетині
i1, i2, …, ik рядків і j1, j2, …, jk стовпців.

номерів рядків і стовпців парна, то береться знак «+», якщо непарна —
то знак «–».

— доповняльний мінор (n–1)-го порядку, утворений викреслюванням i-рядка
і j-стовпця в початковому визначнику n-го порядку.

Обчислення визначників

, яке дорівнює алгебраїчній сумі добутків елементів будь-якого рядка
або стовпця на відповідні їм алгебраїчні доповнення:

(1.3)

Алгебраїчні доповнення, що входять до формули (1.3), за якою обчислюють
визначник, є, у свою чергу, мінорами, узятими з відповідними знаками,
тобто визначниками (n–1)-го порядку. Отже, обчислення визначника n-го
порядку зводиться до обчислення n визначників (n–1)-го порядку.

Але з формули (1.3) випливає, що за наявності у визначнику нульових
елементів відповідні алгебраїчні доповнення обчислювати не потрібно.

Згідно з властивістю 8, яка справджується для визначників будь-якого
порядку, можна визначник перетворити так, щоб у його рядках або стовпцях
усі елементи, крім одного, дорівнювали нулю. І тоді, розклавши визначник
за елементами цього рядка або стовпця, зведемо задачу знаходження
визначника n-го порядку до знаходження одного визначника n–1-го порядку.

Властивість 9. Сума добутків елементів рядка або стовпця визначника n-го
порядку на алгебраїчні доповнення до елементів іншого рядка або стовпця
цього самого визначника дорівнює нулю.

Правило Крамера

Розглянемо систему n лінійних рівнянь з n невідомими:

(1.4)

складений із коефіцієнтів при невідомих системи n лінійних рівнянь з n
невідомими (1.4), відмінний від нуля, то така система рівнянь має єдиний
розв’язок (сумісна і визначена), який обчислюється за формулами:

,

— головний визначник системи, який утворюється з коефіцієнтів при
невідомих у лівій частині системи (1.4);

— визначник, який утворюється заміною j-го стовпця в головному
визначнику на стовпець вільних членів.

План практичних занять

Обчислення визначників третього порядку.

Обчислення визначників n-го порядку.

Розв’язування систем n рівнянь з n невідомими за правилом Крамера.

Термінологічний словник ключових понять

Транспонування — зміна місцями рядків і стовпців визначника або матриці.

Мінор k-го порядку — визначник, утворений з елементів визначника або
матриці, розміщених на перетині k рядків і k стовпців.

, де i1 i2, …, ik, j1, j2, …, jk, — індекси відповідно тих рядків і
тих стовпців, які брали участь в утворенні мінора.

ЛІТЕРАТУРА

Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы,
ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. —
К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. —
М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ,
1967. — 352 с.

Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука,
1986. — 224 с.

Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1975. — 416 с.

Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б.
П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь,
1995. — 240 с.

Похожие записи