Реферат на тему:

Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь з сталими
коефіцієнтами

Система диференціальних рівнянь вигляду

— сталі величини, називається лінійною однорідною системою з сталими
коефіцієнтами. У матричному вигляді вона записується

.

1. Розв’язування систем однорідних рівнянь з сталими коефіцієнтами
методом Ейлера.

Розглянемо один з методів побудови розв’язку систем з сталими
коефіцієнтами.

Розв’язок системи шукаємо у вигляді вектора

.

Підставивши в систему диференціальних рівнянь, одержимо

, і перенісши всі члени вправо, запишемо

Отримана однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь має розв’язок
тоді і тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю, тобто

.

Це рівняння, може бути записаним у векторно-матричній формі

і воно називається характеристичним (чи віковим) рівнянням. Розкриємо
його

.

-коренів. Розглянемо різні випадки.

) дійсні і різні. Підставляючи їх по черзі в систему алгебраїчних
рівнянь

одержуємо відповідні ненульові розв’язки системи

.

— розв’язків

— лінійно незалежні, і загальний розв’язок системи має вигляд

.

Або у векторно — матричної формі запису

,

— довільні сталі.

. Комплексному власному числу відповідає комплексний власний вектор

і, відповідно, розв’язок

, перетворимо розв’язок до вигляду:

.

відповідають лінійно незалежні розв’язки

.

, то розв’язок системи рівнянь має вигляд

.

і розв’язуючи систему, одержимо

.

2. Розв’язок систем однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами
матричним методом

Досить універсальним методом розв’язку лінійних однорідних систем з
сталими коефіцієнтами є матричний метод. Він полягає в наступному.
Розглядається лінійна система з сталими коефіцієнтами, що записана у
векторно-матричному вигляді

.

— нова невідома векторна функція. Тоді рівняння прийме вигляд

.

. І система диференціальних рівнянь прийме вигляд

.

.

коренів. Розглянемо різні випадки.

має вигляд

.

— незалежних рівнянь

.

Розв’язуючи кожне окремо, отримаємо

.

Або в матричному вигляді

.

треба розв’язати матричне рівняння

,

записати у вигляді

,

, матричне рівняння перетвориться до

.

— власних векторів, що відповідають різним власним числам.

— комплексний корінь. Тоді відповідна клітка Жордана має вигляд

,

а перетворена система диференціальних рівнянь

Неважко перевірити, що розв’язок отриманої системи диференціальних
рівнянь має вигляд

Або в матричному вигляді

лінійно незалежних векторів. Тоді клітка Жордана, що відповідає цьому
власному числу, має вид

, розпадається не дві підсистеми

.

.

Розв’язок першої знаходиться з використанням зазначеного в першому
пункті підходу. Розглянемо другу підсистему. Запишемо її в координатному
вигляді

Розв’язок останнього рівняння цієї підсистеми має вигляд

.

Підставимо його в передостаннє рівняння. Одержуємо

.

Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння має вигляд суми
загального розв’язку однорідного і частинного розв’язку неоднорідних
рівнянь, тобто

.

.

Частинний розв’язок неоднорідного шукаємо методом невизначених
коефіцієнтів у вигляді

,

— невідома стала. Підставивши в неоднорідне рівняння, одержимо

.

і загальний розв’язок неоднорідного рівняння має вигляд

.

Піднявшись ще на один крок нагору одержимо

.

Продовжуючи процес далі, маємо

.

Або у векторно — матричному вигляді

.

Додавши першу підсистему, одержимо

,

знаходиться як розв’язок матричного рівняння

.

Похожие записи