Реферат на тему:

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді

називається лінійною неоднорідною системою диференціальних рівнянь.
Система

називається лінійною однорідною системою диференціальних рівнянь. Якщо
ввести векторні позначення

,

то лінійну неоднорідну систему можна переписати у вигляді

а лінійну однорідну систему у вигляді

.

, то виконані умови теореми існування та єдиності розв’язку задачі
Коші, і існує єдиний розв’язок

системи рівнянь, що задовольняє початковим даним

1. Властивості розв’язків лінійних однорідних систем

— стала скалярна величина, також є розв’язком цієї системи.

Дійсно, за умовою

.

Але тоді і

є розв’язком однорідної системи.

є розв’язками однорідної системи, то і їхня сума також буде розв’язком
однорідної системи.

Дійсно, за умовою

Але тоді і

є розв’язком однорідної системи.

є розв’язками однорідної системи, та і їхня лінійна комбінація з
довільними коефіцієнтами також буде розв’язком однорідної системи.

Дійсно, за умовою

.

Але тоді і

є розв’язком однорідної системи.

є розв’язком однорідної системи, то окремо дійсна та уявна частини є
розв’язками системи.

Дійсно за умовою

Розкривши дужки і зробивши перетворення, одержимо

А комплексний вираз дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли дорівнюють
нулю дійсна і уявна частини, тобто

що і було потрібно довести.

.

, то вектори лінійно незалежні.

Визначення 2. Визначник, що складається з векторів

, тобто

називається визначником Вронського.

лінійно залежні, то визначник Вронського тотожно дорівнює нулю.

.

Або, розписавши покоординатно, одержимо

.

тоді і тільки тоді, коли визначник дорівнює нулю, тобто

.

.

.

Тоді система однорідних алгебраїчних рівнянь

. Розглянемо лінійну комбінацію розв’язків з отриманими коефіцієнтами

.

, або

,

лінійно залежні, що суперечить умові теореми.

, що і було потрібно довести.

.

Доведення. Випливає з попередніх двох теорем.

Теорема 4. Загальний розв’язок лінійної однорідної системи
представляється у вигляді лінійної комбінації п -лінійно незалежних
розв’язків.

або в координатній формі:

.

лінійно незалежні, то визначник Вронського відмінний від нуля. Отже,
система алгебраїчних рівнянь

.

Тоді лінійна комбінація

є розв’язком поставленої задачі Коші. Теорема доведена.

Властивість 1. Максимальне число незалежних розв’язків дорівнює
кількості рівнянь.

лінійно незалежних розв’язків.

-лінійно незалежних розв’язків, називається фундаментальною матрицею
розв’язків системи.

Якщо лінійно незалежними розв’язками будуть

,

то матриця

буде фундаментальною матрицею розв’язків.

Як випливає з попередньої теореми загальний розв’язок може бути
представлений у вигляді

,

.

2. Формула Якобі

— визначник Вронського. Обчислимо похідну визначника Вронського

Оскільки для похідних виконується співвідношення

………………………………………….

то після підстановки одержимо

Розкривши кожний з визначників, і з огляду на те, що визначники з
однаковими стовпцями дорівнюють нулю, одержимо

.

Або

.

Розділивши змінні, одержимо

.

,

,

або

.

Взагалі кажучи, доведення проводилося в припущенні, що система рівнянь
може залежати від часу, тобто

.

Отримана формула називається формулою Якобі.

Похожие записи