Реферат на тему:

Системи диференціальних рівнянь

Загальна теорія

Співвідношення вигляду

-звичайних диференціальних рівнянь першого порядку.

Якщо система розв’язана відносно похідних і має вигляд

то вона називається системою в нормальній формі.

тотожно задовольняючих кожному з рівнянь системи.

.

можна розв’язати довільну задачу Коші.

Для систем звичайних диференціальних рівнянь досить важливим є поняття
інтеграла системи. В залежності від гладкості (тобто диференційованості)
можна розглядати два визначення інтеграла.

стала уздовж розв’язків системи, називається інтегралом системи.

повна похідна, якої в силу системи тотожно дорівнює нулю, називається
інтегралом системи.

Для лінійних рівнянь існує поняття лінійної залежності і незалежності
розв’язків. Для нелінійних рівнянь (систем рівнянь) аналогічним поняттям
є функціональна незалежність.

Теорема. Для того щоб інтеграли

системи звичайних диференціальних рівнянь були функціонально
незалежними, необхідно і достатньо, щоб визначник Якобі був відмінний
від тотожного нуля, тобто

називається першим інтегралом.

— функціонально незалежних інтегралів називається загальним інтегралом
системи диференціальних рівнянь.

Власне кажучи загальний інтеграл — це загальний розв’язок системи
диференціальних рівнянь у неявному вигляді.

досить, щоб:

;

у тому ж околі.

Зауваження. Умова Ліпшиця можна замінити більш грубою, але умовою, що
перевіряється легше, існування обмежених частинних похідних, тобто

1. Геометрична інтерпретація розв’язків

2. Механічна інтерпретація розв’язків

— фазовою траєкторією. Фазова траєкторія є проекцією інтегральної
кривої на фазовий простір.

3. Зведення одного диференціального рівняння вищого порядку до системи
рівнянь першого порядку

Нехай маємо диференціальне рівняння

Розглянемо заміну змінних

.

Тоді одержимо систему рівнянь

4. Зведення системи диференціальних рівнянь до одного рівняння вищого
порядку

Нехай маємо систему диференціальних рівнянь

. Якщо цей розв’язок підставити в перше рівняння, то вийде тотожність і
її можна диференціювати

їх значення, одержимо

Знову диференціюємо це рівняння й одержимо

Продовжуючи процес далі, одержимо

Таким чином, маємо систему

— рівнянь

і одержати

Підставивши одержані вирази в останнє рівняння, запишемо

Або, після перетворень

,

-го порядку.

У загальному випадку, одержимо, що система диференціальних рівнянь
першого порядку

-го порядку

рівнянь зв’язку

.

5. Комбінації, що інтегруються

Визначення. Комбінацією, що інтегрується, називається диференціальне
рівняння, отримане шляхом перетворень із системи, диференціальних
рівнянь, але яке вже можна легко інтегрувати.

.

Одна комбінація, що інтегрується, дає можливість одержати одне кінцеве
рівняння

,

яке є першим інтегралом системи.

-вимірному просторі, що цілком складається з інтегральних кривих

перших інтегралів

і всі інтеграли незалежні, то одержимо загальний інтеграл системи.

Особливо поширеним засобом знаходження комбінацій, що інтегруються, є
використання систем у симетричному вигляді.

Систему диференціальних рівнянь, що записана в нормальній формі

можна переписати у вигляді

.

рівнозначні.

Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді

,

називається системою у симетричному вигляді.

При знаходженні комбінацій, що інтегруються, найбільш часто
використовується властивість “пропорційності”. А саме, для систем в
симетричному вигляді справедлива рівність

.

Похожие записи