Реферат на тему:
Системи диференціальних рівнянь
Загальна теорія
Співвідношення вигляду
-звичайних диференціальних рівнянь першого порядку.
Якщо система розв’язана відносно похідних і має вигляд
то вона називається системою в нормальній формі.
тотожно задовольняючих кожному з рівнянь системи.
.
можна розв’язати довільну задачу Коші.
Для систем звичайних диференціальних рівнянь досить важливим є поняття
інтеграла системи. В залежності від гладкості (тобто диференційованості)
можна розглядати два визначення інтеграла.
стала уздовж розв’язків системи, називається інтегралом системи.
повна похідна, якої в силу системи тотожно дорівнює нулю, називається
інтегралом системи.
Для лінійних рівнянь існує поняття лінійної залежності і незалежності
розв’язків. Для нелінійних рівнянь (систем рівнянь) аналогічним поняттям
є функціональна незалежність.
Теорема. Для того щоб інтеграли
системи звичайних диференціальних рівнянь були функціонально
незалежними, необхідно і достатньо, щоб визначник Якобі був відмінний
від тотожного нуля, тобто
називається першим інтегралом.
– функціонально незалежних інтегралів називається загальним інтегралом
системи диференціальних рівнянь.
Власне кажучи загальний інтеграл – це загальний розв’язок системи
диференціальних рівнянь у неявному вигляді.
досить, щоб:
;
у тому ж околі.
Зауваження. Умова Ліпшиця можна замінити більш грубою, але умовою, що
перевіряється легше, існування обмежених частинних похідних, тобто
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
