Реферат на тему:

Символи Лежандра та Якобі

визначається так:

???1 (mod p).

1 (mod p) при НСД(a, p) = 1 та НСД(2, p) = 1. Або:

0 mod p

? -1 mod p.

(mod p) ? -1, звідки і випливає твердження.

5 (mod 7).

Якщо існує розв’язок рівняння, то число 5 повинно бути квадратичним
лишком за модулем 7. Перевіримо це за критерієм Ейлера:

? 53 (mod 7) ? 25 * 5 (mod 7) ? 4 * 5 (mod 7) ? 20 (mod 7) ? -1 (mod
7). Звідси випливає, що 5 є квадратичним нелишком за модулем 7 і
рівняння розв’язків не має.

Властивості символа Лежандра.

(mod p). Вказана властивість є наслідком критерія Ейлера.

.

якщо p ? 3 (mod 4).

. Властивість випливає з послідовності очевидних порівнянь:

(mod p).

.

Z.

1 (mod p) завжди має розв’язки x = ± 1 (mod p).

.

= 8k2 ± 2k – парне число.

= 8k2 ± 6k + 1 – непарне число.

3 або 5 (mod 8).

6. Закон взаємності непарних простих чисел. Якщо p – просте непарне
число, відмінне від q, то

.

.

Символ Якобі є узагальненням символу Лежандра на випадок коли n є
непарним, але не обовя’язково простим.

визначається так:

Зазначимо, що якщо n просте, то символ Якобі стає символом Лежандра.

Властивості символа Якобі

1.

= 1.

.

.

= 1.

3 (mod 4).

.

3 або 5 (mod 8).

.

З властивостей символу Якобі випливає, що якщо n непарне, а число a
подати у вигляді a = 2ka1, де a1 – непарне число, то

Ця формула дає можливість обчислити значення символа Якобі не маючи
розкладу числа n на прості множники.

Qn.

= 1}.

Похожие записи