Шпаргалки з алгебри

1.Системи лінійних рівнянь. Сумісність, визначеність. Критерій
сумісності. Системи лінійних однорідних рівнянь. Фундаментальна система
розв’язків. Методи Гаусса і Крамера розв’язування системи лінійних
рівнянь.

лінійних алгебраїчних рівнянь

.

, підстановка яких замість невідомих перетворює всі рівняння системи на
арифметичні тотожності. Система рівнянь називається сумісною, якщо вона
має хоч би один розв’язок. Якщо не має жодного розв’язку, то вона
називається несумісною.

називається розширеною матрицею системи (1).

.

, система мaє єдиний розв’язок, який можна знайти за формулами Крамера:

Під елементарними перетвореннями системи лінійних рівнянь розуміють такі
операції:

зміна нумерації невідомих системи;

перестановка місцями рівнянь системи;

додавання до одного рівняння іншого, помноженого надовільне число.

Дві сумісні системи лінійних рівнянь називаються рівносильними, якщо всі
розв’язки першої системи є також розв’язками другої і, навпаки, всі
розв’язки другої системи є розв’язками першої. Якщо обидві системи не
сумісні, вони також називаються рівносильними.

ТЕОРЕМА 2. Внаслідок елементарних перетворень система рівнянь переходить
у рівносильну систему рівнянь (з урахуванням зміни нумерації невідомих).

1.Системи лінійних рівнянь

Нехай дано систему лінійних рівнянь (1). Метод Гаусса полягає в
послідовному виключенні невідомих за допомогою елементарних перетворень
системи.

(цього завжди можна досягнути, змінюючи нумерацію невідомих).

виключене.

, додаючи до них друге рівняння, помножене на відповідний коефіцієнт.

Продовжуючи аналогічні дії у випадку, коли система сумісна, здобудемо
систему, в якій матриця коефіцієнтів при невідомих буде
трапецієподібною, тобто система матиме вигляд

. У цьому випадку система має єдиний розв’язок.

Якщо після деякого елементарного перетворення розширеної матриці в ній
з’явиться рядок, що складається з нулів, за винятком останнього
елемента, то система рівнянь несумісна.

лінійно незалежних розв’язків однорідної системи (2) називається
фундаментальною системою розв’язків однорідної системи.

1.Системи лінійних рівнянь

невідомими має вигляд

фундаментальна система розв’язків однорідної системи (2).

– вільні невідомі. Виразимо базисні через вільні і запишемо систему
(2) у вигляді

, де

утворюють фундаментальну систему ров’язків однорідної системи (2).

2.Матриці і дії над ними. Обернена матриця. Матричний метод
розв’язування систем лінійних рівнянь.

Матрицею називається прямокутна таблиця чисел

–елементи матриці, де i означає номер рядка, а j – номер стовпця.

– матрицею-рядком.

.

.

Рівність матриць. Дві матриці називаються рівними, якщо вони мають
однакові розміри і всі їхні відповідні елементи збігаються.

.

Операція знаходження суми матриць називається операцією додавання
матриць.

Властивості операції додавання матриць:

(асоціативна властивість).

.

Операція знаходження добутку матриці на число називається операцією
множення матриці на число. Властивості множення матриці на число:

(дистрибутивна властивість числового множника відносно суми матриць).

(дистрибутивна властивість матричного множника відносно суми).

(асоціативна властивість).

, тобто

.

2.Матриці і дії над ними

.

Властивості операції множення матриць:

(асоціативна властивість).

(дистрибутивна властивість першого множника).

(дистрибутивна властивість другого множника).

, то матриці називаються комутативними.

. Властивості транспонування матриці:

, то така матриця називається кососиметричною.

.

— квадратна матриця n-го порядку.

, AC=CA=E, де E— одинична матриця n-го порядку.

.

називається неособливою.

ТЕОРЕМА 1.1. Особливі матриці обернених матриць не мають. Кожна
неособлива матриця має єдину обернену матрицю.

Матричний метод. Розглянемо систему n лінійних алгебраїчних рівнянь з n
невідомими:

.

5. Многочлен від багатьох змінних.Симетричні многочлени. Результант.
Дискримінант.

.

, якщо він не змінюється при довільних перестановках змінних.

елементарні симетричні многочлени.

Властивості симетричних многоч.

.

.

Доведення випливає із означення симетричних многоч. і того, що
перестановка показників рівносильна перестановці змінних.

.

.

Доведення: Оскільки вищий член добутку симетр. многоч. дорівнює добутку
вищих членів кожного співмножника, то знайдемо вищі члени співмножників
і їх добуток.

.

. Кінець доведення.

Спадна послідовність ненульових симетр. многоч. є скінченною.

.

.

тоді і тільки тоді, коли їх результант дорівнює нулю. Довед. випливає
із безпосередньої підстановки рівних коренів.Вираз(що вище записаний)
для результанта містить усі корені обох многочленів, тому є не
практичний. Запишемо ще один вираз для результанта, який містить тільки
коефіцієнти даних многочленів:

5. Многочлен від багатьох змінних.Симетричні многочлени. Результант.
Дискримінант.

Це форма Сильвестра.

.

6. Многочлени над числовими полями. Основна теорема теорії
многочленів.

Розміщення дійсних коренів многочлена.

Теорема(основна теорема теорії многочленів)

Кожен многочлен, степінь якого більший за одиницю є звідним у полі
комплексних чисел.

– звідний. Теорему доведено.

коренів.

Розміщення дійсних коренів многочлена.

.

Теорема(спосіб Ньютона)

приймає додатні значення, а всі його похідні мають невід’ємні
значення.

.

,

є дійсною межею дійсних коренів многоч. Теорему доведено.

.

, то

.

.

9.Евклідів простір. Нерівність Коші-Буняковського.

називається евклідовим простором, якщо виконуються наступні умови:

.

Для скалярного добутку справедливі такі аксіоми:

— аксіома симетрії

— аксіома роз подільності

.

, яка називається нерівністю Коші-Буняковського.

, звідки випливає потрібна рівність. Теорема доведена.

, звідки випливає потрібна рівність. Теорема доведена.

10. Квадратична форма. Додатньо і від’ємно визначені квадратичні форми.
Закон інерції квадратичних форм. Критерій Сильвестра.

.

.

.

.

, квадратична форма приведена до нормального вигляду.

.Теорема доведена.

10. Квадратична форма

.

Індексом інерції квадратичної форми наз. число відмінних від нуля
канонічних коефіцієнтів даної форми; додатнім(від’ємним) індексом
інерції- число додатних (від’ємних) канонічних коефіцієнтів.

.

— то від’ємно визначена.

Доведення: Доведення проведемо для додатньо визначеної квадратичної
форми. Для відємно визначеної квадратичної форми доведення проводиться
аналогічно.

.

.

.

.

відємно визначена. Теорема доведена

11. Зведення квадратичних форм до канонічного виду.

Якщо квадратичну форму звести, за допомогою лінійного перетворення, то
отримаємо квадратичну форму від нових змінних з іншими коефіцієнтами.

Теорема. Будь-яку квадратичну форму за допомогою невиродженого лінійного
перетворення змінних можна звести до канонічного вигляду.

.

.

зведена до канонічного вигляду

. Такий вигляд квадратичної форми називають нормальним виглядом.

12. Поняття групи, підгрупи. Циклічні групи. Фактор-група.

Поняття групи, підгрупи.

Групоїд — це множина з однією визначеної в ній бінарною
операцією.Множина із заданою в ній бінарною асоціативною операцією
н6азивається півгрупою.Півгрупа з одиничним елементом називається
моноїдом. Моноїд, в якому введена операція множення, називається
мультиплікативним; моноїд, в якому введена операція додавання,—
адитивним. Моноїд, всі елементи якого оборотні, називається групою.

, в якій виконуються такі аксіоми:

.

Якщо задана в групі операція є комутативною, то група називається
комутативною ( абелевою ). За аналогією до моноїда, група за множенням
називається мультиплікативною.

називається підмножина цієї групи, яка сама утворює групу по
відношенню до тієї ж операції, яка задана в групі.

утворює її підгрупу включає:

;

обернені до будь-яких своїх елементів.

Циклічні групи.

Важливим прикладом підгрупи є циклічні підгрупи.

, оскільки:

;

;

.

.

-го порядку.

елементів.

.

.

Теорема 1. Кожна нескінченна циклічна група ізоморфна адитивній групі
цілих чисел.

–ізоморфізм.

12. Поняття групи, підгрупи. Циклічні групи. Фактор-група.

-го степеня з одиниці.

–ізоморфізм.

-го степеня з одиниці.

Теорема 3. Кожна підгрупа циклічної групи сама циклічна.

.

Фактор-група.

.

.

Розглянемо добуток

.

вибраних представників.

.

Доведення:

а) асоціативність множення суміжних класів випливає із асоціативності
множення підмножин групи;

:

;

. Дійсно,

;

.

.Теорему доведено.

12. Поняття групи, підгрупи. Циклічні групи. Фактор-група.

Властивості фактор-групи.

є комутативною.

.

теж циклічна.

.

є дільником порядку цієї групи.

.

15. Поле. Характеристика поля. Поле раціональних дробів. Побудова
скінчених полів з допомогою фактор-кілець.

теж поле.

, із яким одиниця перетворюється в нуль, називається характеристикою
даного поля.

–просте.

.

– просте.

.

є полем.

— поле. Лема доведена.

з раціональними коефіцієнтами.

4. Многочлени, їх звідність. Ділення многочленів. Корені многочленів

. Теорема Вієта.

Число п називається степенем многочленна. Два многочлени є рівними,
якщо рівними є їх коефіцієнти при однакових степенях змінної. Число 0
теж є многочленом, степінь якого не визначений. Роль 1 при діленні
многочленів відіграє число 1 як многочлен нульового степеня. Многочлен
f(x) тоді і тільки тоді має обернений, якщо він є многочленом нульового
степеня. Звідси випливає, що оберненої операції до множення многочленів
– ділення- не існує. Для многочленів існує алгоритм ділення з остачею,
який грунтується на тому, що для будь-яких двох многочленів f(x), g(x)
можна знайти такі многочлени q(x), r(x) що f(x)=g(x)q(x)+r(x), при чому
степінь r(x) менше степеня g(x) або r(x)=0. Многочлени g(x),
r(x)визначаються однозначно. Властивості ділення многочленів:

1.Якщо f(x) ділиться на g(x), а g(x)ділиться на h(x), то f(x) ділиться
на h(x).

2.Якщо f(x) i g(x) діляться на h(x), то їх сума і різниця теж ділиться
на h(x).

3.Якщо f(x) ділиться на g(x), то добуток f(x) на інший многочлен теж
ділиться на g(x).

.

5,Всякий многочлен ділиться на будь-який многочлен нульового степеня.

6,Якщо f(x) ділиться на g(x), то він ділиться і на сg(x).

7.Многочлени cf(x) і тільки вони будуть дільниками f(x) , які мають
такий же степінь, що й f(x).

8.Многочлени f(x) i g(x) тоді і тільки тоді діляться один на другий,
коли f(x)=cg(x)

Якщо f(c)=0, то с називається коренем многочленна f(x)

8.Лінійні оператори. Характеристичне рівняння, спектр, слід,
мінімальний многочлен, власні значення і власні вектори лінійного
оператора.

виконується :

Дії над лін. операторами:

Нульовий і тотожний оператори є лінійними.

він перетворюється в колінеарний йому вектор.

Теорема: Власні вектори , яким відповідають попарно різні власні
значення утворюють лінійно незалежну систему.

Теорема: Характеристичний многочлен матриці не залежить від вибору бази.

. Сума власних значень лінійного оператора = сліду матриці цього
оператора. Множина всіх власних значень лін. оператора (характеристичних
коренів ) назив. спектром оператора. Спектр назив. простим, якщо всі
власні значення різні.

13. Морфізми груп. Теорема про гомоморфізм груп. Ізоморфізм груп.
Теорема Келі.

. І навпаки.

наз. таке відображ., яке зберігає операцію.

Означення. Гомоморфізм групи на свою фактор-групу наз.
природнім(канонічним).

.

ae.

Терміни сюр’єктивне, ін’єктивне та бієктивне відображ. у випадку груп
замінюють відповідно: епіморфізм, мономорфізм, ізоморфізм. Ізоморф.
групи самої в себе –автоморфізм.

п-го степеня.

. ?

14. Поняття кільця, поля. Види кілець. Кільце квадратних матриць,
кільце класів лишків, кільце многочленів.

, а операція множення – асоціативна і пов’язана дистрибутивними
законами з операцією додавання.

обернений елемент наз. полем.

.

довгий час вважалося містичним, однак виявилося, що існують аналоги
цього числа, які є абсолютно реальними об’єктами. Розглянемо множину
квадратних матриць виду:

Покажемо, що ця множина матриць утворює кільце. В цій множині існує
матриця О –нульовий елемент. Е – одинична матриця.

Асоціативність додавання і множення, комутативність додавання та
дистрибутивність множення випливає з виконання даних властивостей
квадратних матриць. Отже, Р утворює кільце. Оскільки множення матриць
даного типу є комутативним, то кільце Р – комутативне.

наз. лівим(правим) ідеалом цього кільця, якщо виконуються такі умови:

;

.

. У цій множині алгебраїчними є операції додавання і множення класів
лишків:

.

наз. ще кільцем класів лишків.

, які не всі дорівнюють нулю, що:

.

[x].

.

Похожие записи