Шпаргалка

1.Предмет курсу.

2.Класифікація подій ,класичне означення ймовірності випадкової події
,статистичне означення ймовірності;елементи комбінаторики ;аксіоми
теорії ймовірностей та їх наслідки.

Випробування — реальний або мислений експеримент (виконуваний за певної
незмінної сукупності умов), результати якого піддаються спостереженню.
Подія — результат випробування. Якщо в результаті випробування деяка
подія неодмінно відбудеться, то вона називається достовірною і
позначається літерою ?. Подія, яка в даному випробуванні не може
відбутись, називається неможливою і позначається літерою V.Якщо в
результаті випробування деяка подія може відбутись, а може не відбутись,
то вона називається випадковою. Випадкові події позначаються літерами A,
B, C, D, …

Класичною імовірністю випадкової події А називається відношення
кількості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події
(становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості n
рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір елементарних
подій (: P(A)= m /n.

Статистичною ймовірністю події А називається відношення кількості m
випробувань, в яких подія А відбулась, до загальної кількості виконаних
випробувань n: W(A)= m /n.

Переставленням із n елементів називають такі впорядковані множини з n
елементів, які різняться між собою порядком їх розміщення. Кількість
таких упорядкованих множин обчислюється за формулою: Pn = n!

Розміщенням із n елементів по m

= n! /(n-m)!

Комбінаціями з n елементів по m

= n! / m!(n-m)!

Система подій називається алгеброю подій, якщо:

Числова функція P, що визначена на системі подій (, називається
ймовірністю, якщо:

( є алгеброю подій;

для будь-якого A( ( існує P(A)(0;

P(()=1;

якщо А і В є несумісними (А(В)=(, то P(A(B)=P(A)+P(B);

подій із (, такої, що

випливає рівність

(,

Трійка ((((((), де ( є алгеброю подій і Р задовольняє аксіоми 1-5,
називається простором імовірностей.

Наслідки аксіом:

є несумісними попарно, то

утворюють повну групу, то

формула додавання для n сумісних

якщо випадкова подія А сприяє появі В(А(В), то P(A)(P(B)

3 Залежні й незалежні випадкові події, формули додавання ймовірностей.

Події В і С називаються залежними, якщо ймовірність однієї з них
змінюється залежно від того, відбулась друга подія чи ні. У противному
разі події називаються незалежними. Нехай подія А є сумою двох подій В і
С. Тоді:

а) якщо події В і С несумісні, то P(A)=P(B?C)=P(B)+P(C);

б) якщо події В і С сумісні, то P(A)=P(B?C)=P(B)+P(C)-P(B?C).

4 Умовна ймовірність та її властивості.

0. Властивості умовної ймовірності:

P(A/B)=0, якщо ???=?

P(A/B)=1, якщо ???=B

у решті випадків 0 10 i p > 0,1.

раз при проведенні n незалежних випробувань, у кожному з яких подія А
відбувається з імовірністю р, подається формулою:

—функція Лапласа;

Значення функції Лапласа наводяться у спеціальних таблицях.

10Формула Пуассона малоймовірних випадкових подій.

Точність асимптотичних формул для великих значень n- числа повторних
незалежних експериментів за схемою Бернуллі – знижується з наближенням
p- до нуля .Тому при n ? R,

p- 0 за умови np=a=const імовірність появи випадкової події m раз

(0<=m <=n),обчислюється за такою асимптотичною формулою: , а n велике, то 11 Означення випадкової величини. яку задано на просторі елементарних подій, називається випадковою величиною. яку задано на просторі елементарних подій, називається випадковою величиною. Якщо простір ( дискретний, то випадкова величина дискретна. Неперервному простору елементарних подій відповідає неперервна випадкова величина. Співвідношення між значеннями випадкової величини і їхніми ймовірностями називається законом розподілу випадкової величини. Для дискретних випадкових величин закони розподілу можуть задаватися множиною значень, що їх набуває випадкова величина, і ймовірностями цих значень. сполучивши точки відрізками прямих, дістанемо многокутник розподілу ймовірностей). Властивості: 1.0(F(x)(1 2.F(x) є неспадною функцією,а саме F(x2)(F(x1), якщо х2(х1 (для неперервних випадкових величин), якщо вони абсолютно збіжні. Математичне сподівання має такі властивості: (С — стала); ; якщо Х і Y — незалежні випадкові величини. ) випадкової величини Х визначається за формулою: Основні властивості дисперсії: якщо випадкові величини незалежні. Середнє квадратичне відхилення (позначається літерою () є квадратним коренем із дисперсії. Якщо від випадкової величини віднімемо її математичне сподівання, то дістанемо центровану випадкову величину, математичне сподівання якої дорівнює нулю. Ділення випадкової величини на її середнє квадратичне відхилення називається нормуванням цієї випадкової величини. має нульове математичне сподівання й одиничну дисперсію. Початковий, центральний і абсолютний початковий моменти порядку k величини Х визначають відповідно за такими формулами: Якщо існує початковий абсолютний момент порядку k, то існують усі моменти нижчих порядків. — це таке її значення, імовірність якого найбільша. Модою неперервного розподілу є значення випадкової величини, за якого щільність розподілу має максимум. вимірів. Розглядають системи дискретних випадкових величин, неперервних випадкових величин, а також системи, до яких входять як дискретні, так і неперервні випадкові величини. Закони розподілу систем випадкових величин задаються різними способами. Так, закон розподілу системи двох дискретних випадкових величин можна задати таблицею: Для незалежних випадкових величин кореляційний момент дорівнює нулю. r((1, або -1(rxy(1.Отже якщо випадкові величини Х таУ є незалежними , то Кху =0 і rxy=0. Якщо кореляційний момент (коефіцієнт кореляції) дорівнює нулю, то величини називаються некорельованими. обмежений згори і праворуч Функція розподілу має такі властивості: — неспадна функція х і y; які входять до системи. За допомогою функції розподілу можна подати ймовірність потрапляння випадкової точки у прямокутник, сторони якого паралельні осям координат: має такі властивості: у довільну область D подається формулою: Функція розподілу системи двох випадкових величин виражається через щільність розподілу: Скориставшись властивостями функції розподілу системи неперервних величин, можна знайти щільності розподілу величин, які входять до цієї системи: і кореляційною матрицею: , дістанемо матрицю, складену з коефіцієнтів кореляції: 20.Нехай закон дискретной випадкової величини Х задано таблицею: Х=хі х1 х2 х3 ... хк Р(Х=хі)=рі р1 р2 р3 .. рк Тоді закон розподілу випадкової величини У=((х) матиме такий вигляд: У=((хі) ((х1) ((х2) ((х3) ................... ((хк) Р(У=((хі)=рі р1 р2 р3 .................... рк Де кожне можливе значення У дістають,виконуючи ті операції,які вказані в невипадковій функції,умовно позначеній (. Числові властивості: 23. Означення дискретної випадкової величини яку задано на просторі елементарних подій, називається випадковою величиною. Якщо простір ( дискретний, то випадкова величина дискретна. Неперервному простору елементарних подій відповідає неперервна випадкова величина. b d ? ? a ae Z \ h | ¬ ® x ? ? Ue ? o ’ o & & & & j j & F & j j› j jue Співвідношення між значеннями випадкової величини і їхніми ймовірностями називається законом розподілу випадкової величини. Для дискретних випадкових величин закони розподілу можуть задаватися множиною значень, що їх набуває випадкова величина, і ймовірностями цих значень. 24. Біноміальний закон розподілу Закон розподілу Пуассона 25. Числові характеристики розподілу Біноміального закону розподілу: m = 0,1,2, …, n. Закон справджується для схеми незалежних повторних випробувань, у кожному з яких подія А настає з імовірністю р. Частота настання події А має біноміальний закон розподілу. Числові характеристики розподілу: Пуасонівський закон: M(X)=a=np; D(X)=a; P(X)=a. 26. Рівномірний закон розподілу Якщо ймовірність потрапляння випадкової величини на інтервал пропорційна до довжини інтервалу і не залежить від розташування інтервалу на осі, то вона має рівномірний закон розподілу. Щільність такого розподілу: Рівномірний закон розподілу легко моделювати. За допомогою функціональних перетворень із величин, розподілених рівномірно, можна діставати величини з довільним законом розподілу. Числові характеристики розподілу: , які входять до виразу щільності розподілу, є відповідно математичним сподіванням та середнім квадратичним відхиленням випадкової величини. Нормальний закон розподілу широко застосовується в математичній статистиці. Для обчислення ймовірності потрапляння випадкової величини, розподіленої нормально, на проміжок використовується функція Лапласа: Часто застосовується також формула: 28. Логарифмічний нормальний закон розподілу , - ?= aі

2.D(Xі )<= с Для всіх і=1,2,3…..n , то до послідовності (1) можна застосувати закон великих чисел. Це означає що середне арифметичне достатньо великої кількості незалежних випадкових величин дуже мало відрізняється від середнього арифметичного їхніх математичних сподівань ,взятого за абсолютним значенням . Ця теорема є законом великих чисел ,так само як і центральна гранична теорема 36) Теорема Бернулі Нехай проводиться n незалежних повторних випробувань, у кожному з яких імовірність настання події А дорівнює р.Якщо ймовірність появи випадкової події А в кожному з незалежних випробувань n є величиною сталою і дорівнює P,то при необмеженому збільшенні числа експериментів n?? Імовірність відхилення відносної частоти появи випадкової події W(A) від імовірності p ,взятої за абсолютною величиною на ?(?>0) прямуватиме до
одиниці зі зростанням n ,що можна записати так:

— частота події А у даних випробуваннях. Таким чином при необмеженому
збільшенні числа незалежних випробувань за схемою Бернулі відносна
частота дуже мало відрізняється від ймовірності .

Наведена теорема є законом великих чисел ,так само як і центральна
гранична теорема

розглянемо:

Теорема. Якщо випадкові величини в послідовності незалежні, однаково
розподілені і для них існують моменти другого порядку, то

є нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням і
одиничною дисперсією.

, існують моменти третього порядку і виконується умова

виконується співвідношен-

ня (2).

Наслідком розглянутих теорем є інтегральна теорема Лапласа.

У схемі незалежних повторних випробувань

Це випливає з того, що частоту події можна подати як суму n випадкових
величин — частот настання події в окремих випробуваннях. При достатньо
великих значеннях n закон розподілу цієї суми близький до нормального.

Аналогічними міркуваннями для цієї схеми легко дістати формулу:

де m — частота події А у n випробуваннях.

називається процес, значення якого за будь-якого значення аргументу t
є випадковою величиною.

внаслідок випробування, тобто його траєкторія.

, оскільки вона не виражає залежності між його перерізами в різні
моменти часу.

утворену з усіх перерізів цього процесу.

Таких перерізів нескінченно багато, але для задання випадкового процесу
вдається обмежитись порівняльно невеликою кількістю перерізів.

Випадковий процес може бути заданий числовими характеристиками.

Математичне сподівання випадкового процесу характеризує середню
траєкторію всіх можливих його реалізацій, а його дисперсія або середнє
квадратичне відхилення

— розкид реалізацій відносно середньої траєкторії

впвпапаапв

О

Y

Х

M(x; y)

О

(2

f(x)

Х

О

f(t)

t

О

f(x)

Х

Похожие записи