X = xi x1 x2 x3 … xk

ni n1 n2 n3 … nk

Wi W1 W2 W3 … Wk

Шпаргалка

39) Потоком подій називається послідовність подій, які відбуваються одна
за одною у випадкові моменти часу. Наприклад, потік заявок, що надходить
до підприємства побутового обслуговування, потік викликів до телефонної
станції, потік відказів (збоїв) під час роботи на ПЕОМ тощо. Середня
кількість подій, які відбуваються за одиницю часу, називається
інтенсивністю потоку.

Потік називається найпростішим, якщо він має такі властивості:

стаціонарність — імовірність того, що за деякий проміжок часу t
відбудеться та чи інша кількість подій, залежить лише від довжини
проміжку і не залежить від початку його відліку, тобто інтенсивність
потоку стала;

відсутність післядії — імовірність настання деякої кількості подій на
довільному проміжку часу не залежить від того, яка кількість подій
відбулась до початку цього проміжку;

ординарність — імовірність настання двох і більше подій за малий
проміжок часу t істотно менша за ймовірність того, що відбудеться одна
подія.

— інтенсивність потоку. Ця формула відбиває всі
властивостінайпростішого потоку, а отже, є його математичною моделлю.

40)Формула Пуассона для найпростішого потоку

Імовірність того ,що за проміжок часу t+?t не відбудеться жодна подія
,подається у вигляді

Імовірність того, що за цей самий проміжок часу здійсниться т подій,
визначається так

Поділимо ліву і праву частини системи рівнянь на ?t і виконаємо
граничний перехід при ?t -0

У результаті дістанемо систему лінійних диференціальних рівнянь:

Імовірність того ,що за час t відбудеться m випадкових подій ,які
утворюють найпростіший потік ,обчислюється за формулою

Pm(t)= (?t)m*e-?t /m! де ?-інтенсивність найпростішого
потоку, тобто :середне число подій ,які відбудуться за одиницю часу.

41) Випадкові процеси можна класифікувати залежно від того, плавно чи
стрибкоподібно змінюються стани системи, в якій вони відбуваються,
скінченна чи нескінченна множина цих станів. Серед випадкових процесів
особливе місце посідають марковські випадкові процеси, що становлять
основу теорії масового обслуговування.

і не залежать від того, коли і як система набула цього стану.

Деякі процеси можна наближено вважати марковськими.

42). Системи для розвязування однотипних задач називаються системами
масового обслуговування -(СМО) Процеси, які при цьому відбуваються,
називають процесами обслуговування.Кожна МСО складається з певної
кількості обслуговуваних одиниць (пристроїв, пунктів, станцій), які
називатимемо каналами обслуговування.За кількістю каналів СМО
поділяються на одно- та багатоканальні. Заявки надходять до СМО звичайно
не регулярно, а випадково, створюючи так званий випадковий потік заявок
(посилань). Обслуговування заявок також триває протягом певного
випадкового часу. З огляду на випадковість потоку заявок і часу
обслуговування СМО завантажуються нерівномірно: у певні періоди
нагромаджується дуже багато заявок (вони або стають у чергу, або
залишають СМО не обслуговуваними), в інші періоди СМО працює з
недовантаженням або простоює.

Предметом теорії масового обслуговування є побудова математичних
моделей, що пов’язують задані умови роботи СМО з показниками її
ефективності, які описують здатність цієї системи обробляти потоки
заявок.

СМО поділяються на два основні класи:

СМО з відмовами і СМО з очікуванням (чергою).

У СМО з відмовами заявка, яка надійшла в момент, коли всі канали були
зайняті, отримавши відмову, залишає СМО і в подальшому процесі
обслуговування не бере участі.

У СМО з очікуванням заявка, що надходить у момент, коли всі канали
зайняті, не залишає систему, а стає в чергу на обслуговування.

Процес роботи СМО являє собою випадковий процес.

можна зарані перелічити, а перехід системи з одного до іншого
відбувається миттєво (стрибкоподібно). Процес називається процесом із
неперервним часом, якщо моменти можливих переходів системи з одного
стану до іншого не фіксовані заздалегідь, а випадкові.

Процес функціонування СМО являє собою випадковий процес із дискретними
станами та неперервним часом.

Математичний аналіз роботи СМО істотно спрощується, якщо процес цієї
роботи — марковський.

43) Процеси відновлення

з якими зустрічаються ці значення, дістанемо варіаційний, або
статистичний, ряд:

, то статистична функція розподілу збігається д теоретичної функції
розподілу.

45) Дискретний статистичний розподіл вибірки

Перелік варіант варіаційного ряду і відповідних їм частот, або відносних
частот, називають дискретним статистичним розподілом вибірки.

У табличній формі він має такий вигляд:

Дискретний статистичний розподіл вибірки можна подати емпіричною
функцією F ((x).

, називається емпіричною, або комулятою.

Тут n — обсяг вибірки;

nx — кількість варіант статистичного розподілу вибірки, значення яких
менше за фіксовану варіанту х;

F ((x) — називають ще функцією нагромадження відносних частот.

Властивості F ((x):

1) 0 ( F ((x) ( 1;

2) F(xmin) = 0, де xmin є найменшою варіантою варіаційного ряду;

, де xmax є найбільшою варіантою варіаційного ряду;

4) F(x) є неспадною функцією аргументу х, а саме: F(x2) ( F(x1) при
x2 ( x1.

Інтервальний статистичний розподіл

h x1 – x2 x2 – x3 x3 – x4 … xk–1 – xk

ni n1 n2 n3 … Nk

Wi W1 W2 W3 … Wk

Перелік часткових інтервалів і відповідних їм частот, або відносних
частот, називають інтервальним статистичним розподілом вибірки.

У табличній формі цей розподіл має такий вигляд:Тут h = xi – xi–1 є
довжиною часткового i-го інтервалу. Як правило, цей інтервал береться
однаковим.

Інтервальний статистичний розподіл вибірки можна подати графічно у
вигляді гістограми частот або відносних частот, а також, як і для
дискретного статистичного розподілу, емпіричною функцією F ((x)
(комулятою).

46) Полігон частот і відносних частот. Дискретний статистичний розподіл
вибірки можна зобразити графічно у вигляді ламаної лінії, відрізки якої
сполучають координати точок (xi; ni), або (xi; Wi).

У першому випадку ламану лінію називають полігоном частот, у другому —
полігоном відносних частот.

.

.

.

47) Числові характеристики:

. Величину, яка визначається формулою

називають вибірковою середньою величиною дискретного статистичного
розподілу вибірки.

Тут xi — варіанта варіаційного ряду вибірки;

ni — частота цієї варіанти;

).

Якщо всі варіанти з’являються у вибірці лише по одному разу, тобто
ni = 1, то

вибирається дисперсія.

, яке обчислюється за формулою

або

3) середнє квадратичне відхилення вибірки (B. При обчисленні DB
відхилення підноситься до квадрата, а отже, змінюється одиниця виміру
ознаки Х, тому на основі дисперсії вводиться середнє квадратичне
відхилення

, але в тих самих одиницях, в яких вимірюється ознака Х;

4) мода (Mo(). Модою дискретного статистичного розподілу вибірки
називають варіанту, що має найбільшу частоту появи.

Мод може бути кілька. Коли дискретний статистичний розподіл має одну
моду, то він називається одномодальним, коли має дві моди — двомодальним
і т. д.;

5) медіана (Me(). Медіаною дискретного статистичного розподілу вибірки
називають варіанту, яка поділяє варіаційний ряд на дві частини, рівні за
кількістю варіант;

які дістають при обробці вибірки. Вони є величинами непередбачуваними,
тобто випадковими.

— випадкова величина, що має певний закон розподілу ймовірностей.
Зауважимо, що до реалізації вибірки кожну її варіанту розглядають як
випадкову величину, що має закон розподілу ймовірностей ознаки
генеральної сукупності з відповідними числовими
характеристиками:M(xi)=Xг=M(x), D(xi)=Dг, ?(xi)=?г

буде незміщеною й ефективною.

,

що покриває оцінюваний параметр ? генеральної сукупності з заданою
надійністю (, називають довірчим.

, тобто заперечує твердження нульової.

і яка має нормований нормальний закон розподілу ймовірностей. При
великих обсягах вибірки (n > 30) закони розподілу статистичних критеріїв
наближатимуться до нормального. Спостережуване значення критерію, який
позначають через K(, обчислюють за результатом вибірки.

, називають критичними і позначають через Kкр. Існують три види
критичних областей: Якщо при K < Kкр нульова гіпотеза відхиляється, то в цьому разі ми маємо лівобічну критичну область, яку умовно можна зобразити (рис. 1). ”… ”… ”… e i D l p ” ¬ TH a i V X j l J L ? i ? ???????? A gd§p? gd§p? gd§p? jth j ????????? ???????? ?????? ???????? CJ aJ ???????µ ???????? ???????? ????????????? j ????????????? j j Лівобічна і правобічна області визначаються однією критичною точкою, двобічна критична область — двома критичними точками, симетричними відносно нуля. 55) Перевірка правельності нульової гіпотези про нормальний закон розподілу ознаки генеральної сукупності Для перевірки правильності Н0 задається так званий рівень значущості (. а ця подія малоймовірна і все ж відбулася, то немає підстав приймати нульову гіпотезу. Пропонується такий алгоритм перевірки правильності Н0: 1. Сформулювати Н0 й одночасно альтернативну гіпотезу Н(. 2. Вибрати статистичний критерій, який відповідав би сформульованій нульовій гіпотезі. , тоді, якщо , то вибирається правобічна критична область, якщо , то вибирається лівобічна критична область і коли , то вибирається двобічна критична область. 4. Для побудови критичної області (лівобічної, правобічної чи двобічної) необхідно знайти критичні точки. За вибраним статистичним критерієм та рівнем значущості ( знаходяться критичні точки. . симетрично розташовані відносно нуля. Н0 приймається. 58) Дисперсійний аналіз був створений спочатку для статистичної обробки агрономічних дослідів. В наш час його також використовують як в економічних експериментах, так і технічних, соціальних. Сутність цього аналізу полягає в тому, що загальну дисперсію досліджуваної ознаки розділяють на окремі компоненти, які обумовлені впливом певних конкретних чинників. Істотність їх впливу на цю ознаку здійснюється методом дисперсійного аналізу. Відповідно до дисперсійного аналізу будь-який його результат можна подати у вигляді суми певної кількості компонент. Так, наприклад, якщо досліджується вплив певного чинника на результат експерименту, то модель, що описує структуру останнього, можна подати так: — випадкова компонента, що впливає на значення ознаки Х в i-му експерименті на j-му рівні. ). У разі проведення дисперсійного аналізу досліджуваний масив даних, одержаних під час експерименту, поділяють на певні групи, які різняться дією на результати експерименту певних рівнів факторів. Вважається, що досліджувана ознака має нормальний закон розподілу, а дисперсії в кожній окремій групі здобутих значень ознаки однакові. Ці припущення необхідно перевірити. 59) Однофакторний аналіз. Нехай потрібно дослідити вплив на ознаку Х певного одного фактора. Результати експерименту ділять на певне число груп, які відрізняються між собою ступенем дії фактора. Для зручності в проведенні необхідних обчислень результати експерименту зводять в спеціальну таблицю: , 60) Таблиця результатів спостережень , 61) Загальна дисперсія ,міжгрупова та внутрішнлогрупова дисперсія Відповідно до моделі однофакторного дисперсійного аналізу необхідно визначити дві дисперсії, а саме: міжгрупову (дисперсію групових середніх), зумовлену впливом досліджуваного фактора на ознаку Х, і внутрішньогрупову, зумовлену впливом інших випадкових факторів. Загальна дисперсія розглядається як сума квадратів відхилень: . оді поділ загальної дисперсії на компоненти здійснюється так: оскільки Таким чином, дістаємо: Для того щоб мати виправлені дисперсії, необхідно кожну зі здобутих сум поділити на число ступенів свободи. . , .ї , яке викликане впливом фактора на результат експерименту ознаки Х, обчислюється за формулою: , . істотне, то в цьому разі вибірки слід вважати здійсненими з різних сукупностей, тобто з сукупностей з різним рівнем впливу фактора. — про рівність дисперсій двох вибірок. , ступенями свободи. , знаходимо критичну точку (додаток 7). Спостережуване значення критерію обчислюється за формулою , то цим самим підтверджується вплив фактора на ознаку Х. Результати спостережень та обчислення статистичних оцінок зручно подати в упорядкованому вигляді за допомогою табл. 2. 63) Двофакторний дисперсійний аналіз. Нехай необхідно визначити вплив двох факторів А і В на певну ознаку Х. Для цього необхідно, щоб дослід здійснювався при фіксованих рівнях факторів А і В, а також їх одночасній дії на ознаку. При цьому дослід здійснюватимемо n раз для кожного з рівнів факторів А і В. конкретне значення ознаки Х, якого вона набуває при i-му експерименті, j-му рівні фактора A і k-му рівні фактора В. 64) Функціональна ,статистична і кореляційна залежності. Показником, що вимірює стохастичний зв’язок між змінними, є коефіцієнт кореляції, який свідчить з певною мірою ймовірності, наскільки зв’язок між змінними близький до строгої лінійної залежності. ; ; Наведені можливі залежності між змінними X і Y називають функціями регресії. Форму зв’язку між змінними X і Y можна встановити, застосовуючи кореляційні поля, які зображені на рисунках Для двовимірного статистичного розподілу вибірки ознак (Х, Y) поняття статистичної залежності між ознаками Х та Y має таке визначення: статистичною залежністю Х від Y називають таку, за якої при зміні значень ознаки Y = yi змінюється умовний статистичний розподіл ознаки Х, статистичною залежністю ознаки Y від Х називають таку, за якої зі зміною значень ознаки X = xi змінюється умовний статистичний розподіл ознаки Y. Між ознаками Х та Y може існувати статистична залежність і за відсутності кореляційної. Але коли існує кореляційна залежність між ознаками Х та Y, то обов’язково між ними існуватиме і статистична залежність 65) Рівняння лінійної регресії . Ураховуючи вплив на значення Y збурювальних випадкових факторів, лінійне рівняння зв’язку X і Y можна подати в такому вигляді: , є випадковою змінною, що характеризує відхилення y від гіпотетичної теоретичної регресії. У результаті статистичних спостережень дослідник дістає характеристики для незалежної змінної х і відповідні значення залежної змінної у. 66) Вибірковий коефіцієнт кореляції Рівняння лінійної парної регресії: або , ; ; Як бачимо, коефіцієнт кореляції близький за своїм значенням до одиниці, що свідчить про те, що залежність між Х та Y є практично лінійною. 67) Довірчий інтервал для лінії регресії значення ознаки Y, обчислимо за формулою . Тоді . Звідси дістали: або .Випадкова величина ступенями свободи. Ураховуючи можна побудувати довірчий інтервал для лінійної парної функції регресії із заданою надійністю ?, а саме: . випливає 68) Множина регресії ,множинний коєфіцієнт кореляції та його властивості . пов’язана з впливом не одного, а кількох аргументів. У цьому разі регресію називають множинною. При цьому якщо аргументи в функції регресії в першій степені, то множинна регресія називається лінійною, у противному разі — множинною нелінійною регресією. Довірчий інтервал для множинної лінійної регресії має обернену. визначають з допомогою кореляційної матриці для вектора , вимірюють з допомогою коефіцієнта множинної кореляції R, що є узагальненням парного коефіцієнта кореляції rij і обчислюється за формулою . Чим ближче значення R до ±1, тим краще вибрано функцію регресії Нормування коефіцієнтів регресії репрезентують чинники, що мають різні одиниці виміру (кілограми, гривні, метри тощо). Отже, для того щоб порівняти і з’ясувати відносну вагомість кожного з чинників, використовують так звані нормовані коефіцієнти регресії, які визначають за формулою — виправлене середнє квадратичне відхилення ознаки Y. 69) Нелінійна регресія. , то регресія називається нелінійною. У загальному випадку нелінійна регресія записується в такому вигляді: між собою не корельовані. Реалізуючи вибірку обсягом n, згідно з (563), дістанемо систему нелінійних рівнянь виду: 40 ni xi –6 –4 –2 0 2 4 6 10 –6 –4 –2 0 2 4 6 0,4 Wi 0,1 xi 0 8 16 24 32 40 48 xi 3,75 2,5 1,25 0 8 16 24 32 40 48 xi 0,0375 0,025 0,0125 K < Kкр Область прийняття Н0 Kкр K K Kкр Область прийняття Н0 K > Kкр

Н0 приймається

0

Похожие записи