Шпаргалка

Лінійна алгебра

1.Озн. Матрицею називається прямокутна таблиця чисел, яка має m рядків і
n стовпчиків. Числа aij називають елементами матриці,а запис m x n –
розмірністю матриці. Якщо кількість рядків і стовпчиків матриці
збігаються, то матриця називається квадратною. Квадратна матриця, в якої
елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а всі інші нулю,
називається одиничною матрицею. Якщо всі елементи матриці, що
знаходяться по один бік від головної діагоналі, дорівнюють нулю, то
матриця називається трикутною.Кожній квадратній мватриці можна поставити
у відповідність визначник, який складається з тих самих елементів. Якщо
такий визначник відмінний від нуля, то матриця називається неособливою
(невиродженою).Якщо визначник дорівнює нулю, то матриця особлива
(вироджена).

2.Дії над матрицями. Сумою матриць одного порядку A=(aij) i B=(bij)
називається матриця С=А+В; С=(cij) будь-який елемент якої дорівнює сумі
відповідних елементів матриць А і В: Cij=aij+bij. Добутком матриці
A=(aij) на деяке число_ називається така матриця С, кожен елемент якої
Cij одержується множенням відповідних елементів матриці А на , Cij=_ x
Aij. Добутком матриці A=(Aij) розмірності m x p на матрицю B=(Bij)
розмірності p x n називається така матриця С=А х В розмірністю m x n,
C=(Cij), кожен елемент якої знаходиться за формулою:

3. Визначником матриці A n-го порядку називається алгебраїчна сума всіх
можливих добутків n елементів матриці, узятих по одному з кожного її
рядка і кожного стовпця.Визначником другого порядку називається вираз
вигляду:

Визначником третього порядку називається вираз:

4. Властивість1. Визначник не змінюється при транспонуванні. Звідси
випливає, що будь-яке твердження, яке справедливе для рядків визначника,
буде справедливим і для його стовпчиків і навпаки. В2. Якщо один із
рядків визначника складається з нулів, то такий визначник дорівнює нулю.
В3. Якщо поміняти місцями будь-які два рядки визначника, то його знак
зміниться на протилежний. В4. Визначник, який має два однакові рядки,
дорівнює нулю. В5. Якщо елементи будь-якого рядка визначника помножити
на стале число С, то і визначник помножиться на С. В6. Визначник, який
має два пропорційні рядки, дорівнює нулю.В7. Якщо всі елементи
будь-якого рядка визначника можна подати у вигляді суми двох доданків,
то визначник буде дорівнювати сумі двох визначників, у яких елементами
цого рядка будуть відповідно перший доданок в першому визначнику і
другий доданок в другому визначнику, а всі інші елементи будуть ті самі,
що і в початковому визначнику. В8. Визначник не змінюється, якщо до
елементів будь-якого рядка додати відповідні елементи будь-якого іншого
рядка, попередньо помножені на деяке число.В9. Сума добутків елементів
рядка або стовпчика визначника n-го порядку на алгебраїчні доповнення до
елементів іншого рядка або стовпчика цього ж визначника дорівнює нулю.

5. Озн. Викреслимо у визначнику n-го порядку k-й рядок і s-й стовпець, а
з решти елементів утворимо визначник (n-1)-го порядку зі збереженням
розміщення рядків і стовпців. Здобутий визначник називається Мінором
визначника і позначається Мks . Визначник, утворений у результаті
викреслювання кількох рядків і стовпців даного визначника, також
називається його мінором. Викреслимо в матриці А розміру n x m кілька
рядків і стовпців так, щоб із решти елементів можна було скласти
визначник. Цей визначник називається мінором матриці. Алгебраїчним
доповненням елемента Aij називають мінор Mij, взятий зі знаком +, якщо
сума номеру стовпця і номеру рядка, на перетині яких знаходиться елемент
Aij, і зі знаком – якщо ця сума непарна. Позначається Aij=(-1)i+j
Mij.Озн. Визначником n-го порядку називається число, яке дорівнює
алгебраїчній сумі добутків елементів будь-якого рядка або стовпчика на
відпровідні їм алгебраїчні доповнення.

6. Правило Крамера.Якщо головний визначник системи _ відмінний від нуля,
то така система рівнянь має єдиний розв(язок, який знаходиться за
формулами:

де ( — головний визначник системи, а (j — визначник, який одержується
шляхом заміни j-го стовпчика в головному визначнику на стовпчик вільних
членів.

7.Озн. матриця А-1 називається оберненою матрицею для квадратної
невиродженої матриці А, якщо виконується співвідношення: А х А-1 =А-1 х
А=Е. Для того, щоб квадратна матриця А мала обернену матрицю А-1 ,
необхідно і достатньо, щоб матриця А була неособливою, тобто щоб її
визначник не дорівнював нулю.

8.Припустимо, що матриця А – невироджена і має обернену матрицю. Тоді,
множачи матричну рівність АХ=В зліва на обернену матрицю, одержимо Ех=Х

Останній вираз є формулою розв(язку системи лінійних рівнянь.
озв(язування систем лінійних рівнянь за допомогою оберненої матриці дуже
ефективне в разі, коли ліва частина залишається незмінною, а стовпець
вільних членів змінюється. В такому разі замість того, щоб повністю
розв(язувати кожну систему згідно методу оберненої матриці, достатньо
один раз обчислити А-1 , а потім за формулою Х=А-1В знаходити значення
невідомих при кожному зміненому стовпці вільних членів, виконуючи
множення матриці А-1 на стовпець В.

9.Сукупність впорядкованих систем з n-дійсних чисел, для яких означені
дії додавання і множення на число, утворює n-вимірний векторний простір.
Елементами означеного таким чином простору будуть впорядковані системи
чисел, які називатимемо n-вимірними векторами.

_______________________

числа___________________ називаються компонентами вектора__. Якщо
розглянути ще один

елемент простору _,_________________, то в просторі _ можна виконувати
такі дії:

Додавання двох векторів за

правилом________________________

Множення вектора на число_ за правилом__________.

Два вектори ______вважаються рівними, якщо

виконуються рівності_____________________. З означень дій додавання і
множення вектора на число випливають властивості:

Озн. Вектор__ називається лінійною комбінацією

векторів____________, якщо існують такі

числа_________________, що___________________.

10.Система векторів______________ називається лінійно залежною, якщо
існують такі числа__________ хоча б одне з яких відмінне від нуля, що
має місце рівність____________________________Якщо ця рівність можлива
лише у випадку, коли всі_____________________ , то система
векторів_________________називається лінійно незалежною. Кількість
векторів, що входять в будь-яку масимальну, лінійно незалежну підсистему
даної системи векторів, називається рангом цієї системи.Ранг системи
векторів має відповідний зв(язок з рангом матриці. Якщо, наприклад, з
компонентів векторів системи_______________ утворити матрицю, то її ранг
дорівнюватиме рангу системи векторів і буде вказувати на максимальну
кількість лінійно незалежних векторів-рядків(стовпчиків) цієї матриці.

11.Озн. Базисом векторного простору_ називається будь-яка максимальна
(повна) лінійно незалежна система векторів цього простору. Так систему

векторів_____________ _________________

_____________можна розглянути як базис простору__. Озн. Матрицю
, стовпчики якої є координати векторів нового
базису____________

в старому базисі_____________, будемо називати матрицею переходу від
базису__ до базису__.Матриця переходу від одного базису до іншого завжди
є невиродженою. Якщо є два базиси, то матриці переходу від одного до
іншого взаємно обернені.

12.Рангом матриці А розмірністю _______ називається найвищий порядок
відмінного від нуля мінора утвореного з елементів матриці. Максимально
можливий ранг матриці може дорівнювати мінімальному з чисел_____.Теорема
Кронекера-Капеллі: Для того щоб система рівнянь

була сумісною (мала розв(язок), необхідно і достатньо щоб ранг основної
матриці А дорівнював рангу розширеної матриці .

13.Озн. Лінійне алгебраїчне рівняння називають однорідним, якщо вільний
член його дорінює нулю. Нехай задано систему лінійних однорідних рівнянь

Ця система є окремим випадком систем лінійних рівнянь

Тому для них справедлива теорема Кронекера-Капеллі. Матриця В
відрізняється від матриці А стовпцем вільних членів-нулів, який не
змінює рангу матриці. Отже, r(A)=r(B), тобто системи лінійних однорідних
рівнянь завжди сумісні. Всі однорідні системи лінійних рівнянь мають
розв(язок_______________, який називають нульовим або тривіальним. Нехай
ранг матриці системи дорівнює . Випадок1. Якщо_____, то система має
єдиний розв(язок, який є нульовим. Випадок2. Якщо______, то система має
нескінченну множину ненульових розв(язків, які визначаються так само, як
і для довільної системи______.

14.Метод Гаусса розв(язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь
полягає в послідовному виключенні змінних і перетворенні системи рівнянь

до трикутного вигляду.

15.Метод Жордана-Гаусса є модифікацією методу Гаусса і часто
застосовується в економічних розрахунках. Сутність методу полягає в
тому, що кожне невідоме виключається не тільки з розміщених нижче, а з
усіх рівнянь. У такому разі зростає обсяг обчислень. Якщо система__
рівнянь з __ невідомими

має єдиний розв(язок, то вона перетворюється до

вигляду________________________________-.

16.Нехай______деякаквадратна матриця розмірності____з дійсними
елементами, __ — деяке невідоме число. Тоді матриця_______, де Е –
одинична матриця називаєтьсяхарактеристичною матрицею для матроиці Аю.

Поліном __-го степеня _________називається характеристичним поліном
матриці А, а його корені називаються власними числами матриці А.
Розглянемо лінійне перетворення__ в просторі__ таке, що переводить
відмінний від нуля вектор__ в вектор пропорційний самому вектору__,
тобто_______________ Такий вектор__ називається власним вектором
перетворення__, а __ — власним числом, що відповідає цьому власному
вектору.

17.Озн. Квадратичною формою__від__-невідомих

_____________ називається сума, кожен член якої є або квадратом однієї з
невідомих, або добутком двох різних невідомих, помножених на деякий
коефіцієнт. Озн. Квадратична форма __ від
__-невідомих_______________з дійсними каефіцієнтами називається додатньо
визначеною, якщо при будь-яких дійсних значеннях цих невідомих, хоча б
одне з яких відмінне від нуля, ця форма набуває тільки додатних значень.
Необхідною і достатньою умовою того, що квадратична форма додатньо
визначена, є строга додатність всіх її головних мінорів. Квадратична
форма __ називається невід(ємною (або додатньо напіввизначеною), якщо
для всіх дійсних значень__ виконується нерівність___.

Аналітична геометрія.

18. три взаємно перпендикулярні осі __,__,__, які мають спільний початок
точку О і однакову масштабну одиницю, утворюють прямокутну декартову
систему координат у просторі. Якщо таких осей дві__ і __, то маємо
систему координат на площині. Осі__,__,__ називаються відповідно осями
абсцис, ординат і аплікат, точка О – початок системи координат. Існують
такі перетворення системи координат: а) Паралельний зсув осей, коли
змінюється положення початку системи координат, а напрям осей
залишається таким самим; б) поворот осей, коли обидві осі повертаються
на деякий кут відносно початку системи координат.

19.Найпростіші задачі аналітичної геометрії. Відстань між двома
точками__________________; Поділ відрізка у заданому відношенні , де __
— відношення, в якому точка М ділить відрізок АВ.

_________, _____________, _____________.

Частинний випадок (поділ відрізка

навпіл)______________,_____________.

20. Озн. Вектором називається напрямлений відрізок.
Позначається___________.Якщо точка А початок вектора, а точка В – його
кінець, то — ____. Вектор, у якого початок і кінець збігаються,
називається ннульовим вектором. Вектор вважається заданим, коли відома
його довжина___, __ і напрям по відношенню до деякої осі. Два
вектори_______називаються коланеарними, якщо вони лежать на одній
прямій, або на паралельних прямих. Вектори___ вважаються рівними, коли
вони 1) колінеарні; 2) однаково напрямлені; 3) їх довжини рівні.

Дії над векторами виконуються за правилами:

1.Додавання:_____________________________________, 2.Множення вектора на
число______:_________________________. Для лінійних операцій над
векторами виконуються такі властивості:

1._______________________,

2._________________________,

3.______________________,

4.________________________,

5.________________________________.

21.Озн. Проекцією вектора___ на вісь __ називається величина_____
направленого відрізка______ на осі____. Позначається проекція вектора___
на вісь___ — __________. Формула знаходження проекції вектора на
вісь_________________. Якщо розглянути прямокутну декартову систему
координат і точки початкуА__________- і кінця В_________ вектора АВ, то
проекції вектора АВ на кожну з осей мають вигляд:________________,
_____________________, _____________________. Т.1. Проекція суми двох
векторів на вісь дорівнює сумі їх проекцій на цю вісь,
тобто:__________________________. Т.2. При множенні вектора на число
його проеуція на цю вісь також множиться на це
число_____________________. Вектори__________ називаються лінійно
незалежними, якщо рівність__________________________ виконується лише
при________________________. Якщо ця рівність досягається тоді, коли
коефіцієнти____________________ не перетворюються одночасно на нуль, то
вектори___________ називаються лінійно залежними.

22. Довжина вектора знаходиться за формулою_________________________.(1)
Якщо позначити________ — кути між вектором__ і осями системи координат,
то їх косинуси можна знайти за формулами:

____________________________(2)

Ці косинуси називаються напрямними косинусами вектора___. Якщо піднести
кожну з формул (2) до квадрату і скористатися(1), то будемо

мати_______________________.

23.Озн. Скалярним добутком двох ненульових векторів__ і __ азивається
число 9скаляр), яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус
кута між ними. якщо хоча б один з векторів дорівнює нулю, то кут між
векторами не аизначений і за означенням скалярний добуток дорівнює нулю.
Отже:________________________

де__ — кут між векторами. Використовуючи формулу проекції вектора можна
також записати:________________

Властивості скалярного добутку:1.________________,

2.___________________

3._____________________,

4.______________________,

5.____________________________________________

_________________.

Озн. Векторним добутком вектора___ на вектор____ називається
вектор___________, якщо:

довжина вектора___________________, де____ — кут тіж двома векторами.

вектор__ перпендикулярний до кожного з векторів_________.

вектор__ спрямований так, що якщо дивитися з його кінця на площину, в
якій лежать вектори__і__, то поворот вектора__ відбувається на найменший
кут проти бігу годинникової стрілки. Модуль векторного добутку двох
неколінеарних векторів дорівнює площі паралелограма побудованого на
векторах як на стовпах.

Властивості векторного добутку:

1)___________________________________ — колінеарні вектори.

2)______________________,

3)_________________________,

4)________________________________-__

Озн.Змішаним добутком векторів____________ називається число, яке
дорівнює скалярному добутку вектора____ на векторний добуток
векторів________, тобто_____________. Властивості змішаного добутку:

1).___________________,

2)____________________________.

24.

25. Нехай задано деяку пряму, знайдемо її рівняння. Точка_________лежить
на прямій тоді і тільки тоді, коли виконується умова___________.

Позначимо___________ і назвемо цю величину кутовим коефіцієнтом прямої
лінії. Тоді, враховуючи,

що_________________- маємо рівняння прямої з

кутовим коефіцієнтом__________________.(1)

Нехай деяка точка_____________ надежить заданій прямій, тоді___________.
Знайдемо з цього рівняння величину__ і підставивши в рівняння прямої (1)
одержимо________________ (2)рівняння прямої, що проходить через задану
точку_______. Зі зміною кутового коефіцієнта___ в рівнянні (2)
утворюються різні прямі, що проходять через точку_______. Рівняння(2)
називається рівнянням пучка (в(язки) прямих.

26. Розглянемо дві прямі

__________________________________. Озн. Кутом між двома
прямими________ називається такий кут___, поворот на який, відносно
точки перетину прямих, від першої прямої до другої і їх збігання
відбувається на найменший кут проти бігу годинникової стрілки. Маємо

___________________(1)

З формули(1) легко одержати умови паралельності і перпендикулярності
двох прямих. Так, коли_______кут__між ними дорівнює нулю –
маємо:________________________. Якщо

______________________________________________

_________________ підставляючи значення кутових кофіцієнтів маємо

____________.

27. В прямокутній системі координат пряма лінія задається
рівняннямпершого степеня відносно__ і___._____________(1). Це рівняння
називається Загальним рівнянням прямої лінії. Дослідження:

1.___________________, тоді_______________ і останнє визначає пряму, що
проходить через початок системи координат, бо точка___________ лежить на
цій прямій.

2._________________________-, тоді______________,

або______________, де__ — величина відрізку, що пряма відтинає на
осі____, а сама вона розташована паралельно осі_____, якщо_____, то_____
маємо рівняння самої осі___.

3. ____________________, тоді____________, або____________, де_____ —
величина відрізка, що відтинає пряма на осі___, при_____маємо______ —
рівняння осі___.

28.Нехай деяка точка______належить заданій прямій,
тоді___________________.Знайдемо з цього рівняння величину__ і
підставивши в рівняння прямої________________
одержимо:____________________рівняння прямої, що проходить через задану
точку____________________(1). Нехай ще одна точка_________також належить
заданій прямій, тоді з означення лінії маємо

_____________________

Знайдемо значення__ з останнього співвідношення і підставивши його в
рівняння прямої(1) одержимо:

_____________________ рівняння прямої, що проходить через дві задані
точки.

29.Щоб побудувати графік прямої, достатньо знати дві її різні точки і
черезних провести пряму. Якщо пряма перетинає осі координат у точках

_______________________________________, то її можна записати рівнянням:

____________________, яке називається рівнянням прямої у відрізках на
осях.

30.Нехай задано деяку точку____________і

пряму____________________. Пересвідчимось,

що___не лежить на прямій,_____________________, тоді відстань від
точки________до

прямої__________________можна знайти за формулою:

____________________________.

31.Озн. Множина точок, що знаходяться на однаковій відстані від заданої
точки центра, називається колом. З означення

___________, або__________________________. Піднесемо обидві частини
рівняння до квадрату,

одержимо_______________________________ — канонічне рівняння кола. Тут
________ — координати центра кола, ___ — його радіус. Якщо розкрити
дужки в лівій частині рівняння, то одержимо рівняння другого степеня,
тобто коло також крива другого порядку.

32.Озн. ножина точок площини, для яких сума відстаней від двох заданих
точок, що називаються фокусами, є величиною сталою рівною____ і більшою,
чим відстань між фокусами називається еліпсом. ___________ — фокуси
еліпса, _______ — точка множини. Канонічне рівняння еліпса:

________________, (1) Ексцентриситет еліпса – це відношення________. Е-т
характеризує степінь витягнутості еліпса.

Якщо____________________, тобто точки___________________ є точками
перетину еліпса з віссю___. Величину____називають малою піввіссю еліпса.
При________, _______ і відповідно точки________________точки перетину
еліпса з віссю___-. Величина______ — велика піввісь еліпса. З парності
виразу(1) по__ і по __ випливає симетрія еліпса відносно осей___і____.
На малюнку зображено еліпс.

Озн. Множина точок площини, для яких модуль різниці відстаней від двох
заданих точок, що називаються фокусами, є величиною сталою, рівною____,
меншою за відстань між фокусами називається гіперболою. Канонічне
рівняння гіперболи має вигляд:

_________________ де_______________. Дослідимо одержане рівняння.
Гіпербола не перетинає вісь___. При__________________ і
точки________________ — точки перетину з віссю____. Величини__і__
називають відповідно уявною і дійсною осями гіперболи. Ексцентриситет
гіперболи_________, але________________. Маючи на увазі,

що____________, маємо

_____________________________________________,

або__________________-. З останньої рівності випливає, що для гіперболи
е-т характеризує степінь нахилу гілок гіперболи до осі_______.

Озн.Множина точок площини, що знаходяться на однаковій відстані від
даної точки фокуса і даної прямої, яка не проходить через фокус і
називається директрисою, є парабола. За означенням маємо канонічне
рівняння параболи

Для параболи______. Ппарабола симетрична осі___, проходить через початок
системи координат.

33.Нехай задано прямокутну систему координат____, площину-__,
вектор_____, який має координати_______________ і
точку___________________, яка належить площині. Точка_______________ —
довільна точка площини. Вона належить площині лише в тому випадку, коли
вектори_____ і __ взаємно перпендикулярні. Умова перпендикулярності
векторів_______________.(1) Останній вираз можна розглядати як векторне
рівняння площини. Координати вектора_________ рівні
відповідно__________________________________. Записавши вираз(1) у
розгорнутому вигляді, одержимо рівняння площини, що проходить через
задану точку____________________________(2). Розкривши дужки в(2) і
позначивши_________________________, одержимо загальне рівняння
площини_____________________________(3). Дослідження.Якщо одна з
координат_______ не входить до рівняння поверхні____________________, то
зі зміною цієї координати вид поверхні не змінюється. Иака поверхня буде
циліндричною із твірною, що паралельна осі, яка відповідає зазначеній
координаті. Дамо інтерпретацію загального рівняння
площини___________________в разі, якщо один або кілька його коефіцієнтів
перетворюються на нуль.

1.А=0- площина паралельна осі__.

2.В=0- площина паралельна осі__.

3.С=0 – площина паралельна осі__.

4.D=0 – площина проходить через початок координат.

5. А=0. В=0 – площина перпендикулярна до осі__.

6. А=0, С=0 – площина перпендикулярна до осі__.

7. В=0, С=0 – площина перпендикулярнадо осі__.

8. А=0, D=0 – площина проходить через вісь__.

9. В=0,D=0 – площина проходить через вісь__.

10. С=0,D=0 – площина проходить через вісь__.

11. А=0, В=0, D=0 – площина проходить через осі_____.

12. А=0, С=0, D=0 – площина проходить через осі_____.

13. В=0, С=0, D=0 – площина проходить через вісі_____.

$ ?

?

&

&

У загальному випадку, коли жоден з коефіцієнтів рівняння не
перетворюється на нуль, рівняння площини можна звести до вигляду

__________________-.

34. Нехай дано три точки____________, _____________, _____________-, які
не лежать на одній прмій. Знайдемо рівняння площини, яка проходить через
ці три точки. Записавши
рівняння_______________________;____________________ складемо систему:

______________________________________

Оскільки ця однорідна система рівнянь має ненульовий
розв(язок___________, то її визначник дорівнює нулю:

________________________________(1). Рівняння (1) є рівнянням площини,
що проходить через три точки.

35. Площина, що визначається рівнянням

________________, претинає осі координат у точках___________________.

Тому рівняння(1) називається рівнянням площини у відрізках на осях.

36. Дано площину____________________ і точку___________поза нею.
Знайдемовідстань від точки____ до площини. Нехай точка_____________
лежить на площині. Тоді відстань__від точки____до площини дорівнює
модулю роекції вектора______, на нормаль до площини.

Отже, _________________________________________

Оскільки__________________________, то

_______________________________.

37.Пряму у просторі можна задати як перетин двох площин в прямокутній
системі координат

Система(1) називається загальним рівнянням прямої. Канонічне рівняння
прямої: ____________________

Нехай у системі координат______ задано пряму__і ненульовий вектор__,
колінеарний цій прямій. Точка____________ належить прямій, а напрямний
вектор_____________. Тоді довільна точка_______ буде лежати на прямій
тоді і тільки тоді, коли вектори______ і___ колвнеарні. Тобто канонічне
рівняння прямої у просторі:

_____________________.(1) В рівнянні прямої(1) позначимо через__ кожне з
рівних відношень.

Тоді______________________ З останнього
одержимо____________________________параметричне рівняння прямої у
просторі.

38. Дано площину_________________, а також пряму з канонічним рівнянням
______________________. Знайдемо кут__ між цією прямою і заданою
площиною. Обчислимо насамперед кут_________ між вектором нормалі__ і
напрямленим вектором прямої__

Згідно зі співвідношенням_____________________

Маємо ____________________________

Основи математичного аналізу.

39.Озн. Якщо задана закономірність, згідно з якою кожному натуральному
числу1,2,3…, відповідає деяке дійсне число, то говорять, що задано
послідовність. Послідовність можна розглядати як Функцію, областю
визначення якої є множина натуральних чисел. Послідовність із загальним
членом__ позначається_____, або просто__.

Озн. Число__ називається границею послідовності_____, якщо для кожного
як завгодно малого додатнього числа_____ існує таке число_____,

що_________________________.

Позначення:_________________.

Озн. Послідовність, яка має границю, називається збіжною, а яка не має
границі називається розбіжною. Послідовність, границя якої дорівнює
нулю, називається нульовою послідовністю.

40.Властивості збіжних послідовностей.Т.1. Границя сталої дорівнює цій
сталій_______________

Т.2. Якщо послідовність__має границю, то ця границя єдина. Т.3.
Послідовність__, яка має границю, є обмеженою. Т.4.
Нехай____________________. Тоді знайдеться число N, таке, що при
будь-якому___>N справджуватиметься нерівність______. Т.5. Нехай_______.
Якщо послідовність__при всіх__задовольняє нерівність_____, то________.

Т.6.

Якщо_________ і____________, _______________,

то_________. Т.7. Нехай виконується нерівність ___________. Якщо
послідовності ____________збіжні,

причому____________,______________-, то послідовність____ також буде
збіжною і____________. Т.8. (Больцано-Веєрштрасса).Будь-яка монотонна
послідовність має границю.

41. Озн.Послідовність___називається нескінченно малою, якщо____________.
Послідовність__називається нескінченно великою, якщо________. Т.1. Сума
двох нмв є нмв. Наслідок: Алгебраїчна сума нескінченного числа нмв є
нмв. Т.2.Добуток обмеженої величини на нмв є нмв. Т.3. Добуток двох нмв
є нмв. Т.4.Для існування границі__ послідовності___необхідно і
достатньо, щоб послідовність_____________- була нмв.

Зв(язок між нмв і нвв.1. Якщо ____-нмв і ______, то обернена їй
послідовність_________ буде нвв, і навпаки.

2. Якщо___-нвв, то обернена їй _________ — нмв.

42.Теореми, які полегшують знаходження границь послідовностей.

Т.1. (Граничний перехід у нерівності).Якщо для будь-якого__виконується
нерівність___________і___________ — збіжні,

то_________________.

Т.2. (Про границю затисненої послідовності) Якщо для

будь-якого____________і_____________-,

то_____________.

Т.3. (Веєрштрасса):Про границю монотонної й обмеженої послідовоності:

Якщо монотонно зростаюча послідовність обмежена зверху, то вона збіжна;

Якщо монотонно спадна послідовність обмежена знизу, то вона збіжна.

43. Довести, що_______________. Нехай ________, тоді
послідовність_________ — монотонно спадна і обмежена знизу(________).
Отже, за теоремою Веєрштрасса послідовність_________ має границю, яку
позначимо так:_________. Послідовність_____________, за виключенням
першого члена, збігається з послідовністю________, значить_________.
Звідси випливає,

що____________________________________,

тобто________ або____________,

але______,значить____________________. Нехай

тепер________________. Розглянемо

______________________________________________.

44.Число е. Розглянемо послідовність

________________. Можна довести, що ця послідовність монотонно зростає і

обмежена____________________. За теоремою Веєрштрасса існує границя цієї
послідовності, яку позначають так:

_________________. Число е(так зване “неперове число”)=2,7183… є основою
натуральних логврифмів____________. Взагалі число е, як і число__,
широко застосовується в різних задачах, у тому числі й у задачах з
економічним змістом.

45.Озн. функцією ____ називається така відповідність між
множинами_______, при якій кожному значенню змінної___ відповідає одне й
тільки одне значення змінної__. При цьому вважають, що:__ — незалежна
змінна(аргумент), __ — залежна змінна(функція), __ — символ закону
відповідності, __ — область визначення функції, __ — область значень
функції.

Властивості (стр. 7-9 пос.)

46. Озн.Функція_____ називається алгебраїчною , якщо________ — розв(язок

рівняння__________________________,

де___________, і_____________- — многочлени. Алгебраїчні ф-ції
поділяються на раціональні(цілі й дробові) та ірраціональні. Цілою
раціональною ф-цією буде упорядкований

многочлен________________________________.

Дробово-раціональною ф-цією буде відношення многочленів

_________________________

або_____________________________________.

47. Озн. Ф-ція_____, якщо_______,_____________ називається показниковою
ф-цією.

Властивості.

48.Озн. Ф-ція_________, якщо_________, ___________- називається
логарифмічною.

Властивості.

49.Озн. Ф-ції_______________________називаються тригонометричними.
Власт. (Валеев ст.49)

50. Озн. Ф-ції _______________________ Називаються оберненими
тригонометричними ф-ціями. Власт. (51-52).

51. Число А називається границею ф-ції_________ у точці____-, якщо для
будь-якого числа_________ існує таке число_____, що для

всіх___________,_____________ і таких,

що________________ виконується

нерівність__________________________________.

___________________,

або______________________________.

Теореми про границі. Т.1. Якщо ф-ції______ і ________ в точці___ мають
границі, то сума і добуток цих ф-цій також мають у цій точці границю,

причому________________________________,______

________________________

Т.2. Якщо ф-ції______і________в точці___ мають границі і ______________,
то й ф-ція__________ має в цій точці границю, яка дорівнює

__________________________________.

Т.3. Якщо при_________ ф-ція___________має границю А, то ця границя
єдина.

52.Невизначеність для раціональних ф-цій. Теорема Безу: Остача від
ділення многочлена___ на двочлен типу_____, дорівнює значенню многочлена

при______, тобто___________. Наслідок: Якщо число__ — корінь
многочлена_____, тобто_________,

то многочлен___________ділиться без остачі на

двочлен________.

За наслідком з теореми Безу чисельник і знаменник діляться без остачі
на______, тобто чисельник і знаменник мають спільний множник_________.
Отже, матимемо

_________________________________.

Невизначеність для ірраціональних ф-цій. Для розв(язання задач у
цьому випадку рекомендується звільнитися від тих ірраціональних
множників у чисельнику і знаменнику дробового виразу, які перетворюються
на нуль при виконанні граничного переходу. Для звільнення від радикалів
використовують формули скороченого множення, заміну змінної та інші
штучні прийоми.

Невизначеність_______. У цьому випадку і чисельник, і знаменник
рекомендується розділити на найбільший степінь змінної, що знаходиться у
знаменнику та чисельнику.

Невизначеність_______. Цей тип невизначеності зводиться до
невизначеностей типу_____ або______; наприклад зведенням виразу до
спільного знаменника, множенням на спряжений вираз.

53. Перша особлива границ ____________________. Границі-наслідки першої
особливої границі:

__________________ ____________________

___________________ ____________________.

За допомогою першої особливої границі можна досліджувати
невизначеності_____для виразів з тригонометричними ф-ціями.

Друга особлива границя_________________. Границі-наслідки другої
особливої границі:

_________________ _______________________

______________________

__________________________-.

За допомогою другої особливої границі та її наслідків можна досліджувати
невизначеності______,_________,________.

54. Виходячи з наслідків першої та другої особливих границь, можна
записати таку шкалу еквівалентних нмв при______:
_______________________________________________________. Як наслідок
звідси випливає, наприклад, що при___________
буде:______________________і т.п. Використовується шкала нмв при
дослідженні невизначеностей типу_______.

55.Озн. Ф-ція_____називається неперервною у точці_______, якщо в цій
точці нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий
приріст ф-ції. Для неперервності ф-ції у точці мають виконуватися такі
умови:

Точка______належить області визначення ф-ції__________, тобто_____існує;

Деякий окіл точки_______входить до області визначення ф-ції;

Границя____при_______дорівнює значенню ф-ції у точці___________-, тобто
дорівнює_______.

Озн. Ф-ція______ називається неперервною на проміжку І, якщо вона
неперервна у кожній точці цього проміжку.

56.Властивості неперервних ф-цій.

Т.1. (Больцано-Коші). Нехай ф-ція__ неперервна на відрізку_______ і на
кінцях його набуває значень різних знаків. Тоді на інтервалі _______
знайдеться точка С, в якій ф-ція перетворюється на нуль.

Т.2. (Коші). Нехай ф-ція______ неперервна на відрізку_________ і на його
кінцях набуває різних значень.

Позначимо_____________ і ________________. Тоді при будь-якому
С:_____________ знайдеться точка__

із______, така що__________.

Т.3. (Веєрштрасса). Якщо ф-ція_____ визначена і неперервна на деякому
відрізку________, то вона обмежена на цьому відрізку.

Т.4. (Веєрштрасса). Ф-ція____, неперервна на відрізку______, досягає на
ньому свого найбільшого та найменшого значення.

57. Класифікація точок розриву ф-ції. Озн. Ф-ція _____ називається
розривною у точці____, якщо порушується хоча б одна з умов
рівності____________________________. Розрізняють точки розриву 1-го і
2-го роду.

Озн. Точка_____, називається точкою розриву 2-го роду для ф-ції______,
якщо в цій точці не існує хоча б одна з односторонніх границь (зліва чи
справа).

Озн. Точка_____ називається точкою розриву 1-го роду (розрив
неліквідовний) для ф-ції ______, якщо односторонні границі (зліва і
справа) ф-ції у цій точці існують, але не рівні між собою,

тобто________________________.

Озн. Точка_______ називається точкою розриву 1-го роду (розрив
ліквідовний) для ф-ції__________, якщо односторонні границі ф-ції у цій
точці існують, рівні між собою, але не дорівнюють значенню ф-ції у цій
точці, або ф-ція у цій точці не існує,

тобто____________________________.

58. Методика дослідження ф-ції на неперервність.

1) Знайти область визначення ф-ції_____.

2) Дослідити ф-цію на неперервність у відкритих проміжках______.

3) Визначити скінченні граничні точки (сгт)___і обчислити односторонні
границі ф-ції у цих точках.

Зробити висновок про характер точок розриву (якщо вони є) і побудувати
графік ф-ції поблизу цих точок.

Диференціальне числення.

59.Озн. Похідною ф-ції______ за аргументом____ називається границя
відношення приросту ф-ції джо приросту аргументу, коли приріст аргументу
прямує до нуля. Фізичний зміст похідної: якщо точка рухається вздовж осі
__ і її координата змінюється за законом____, то миттєва швидкість
точки:

_______________________________________, а

прискорення:______________________________________.

Геометричний зміст похідної: Озн. Похідна у точці__дорівнює кутовому
коефіцієнту дотичної до графіка ф-ції______ у цій точці:

Економічний зміст похідної. Озн. Еластичністю ф-ції____ називається
границя відношення відносного приросту ф-ції до відносного приросту
аргументу__при______. Позначення:__________.

60 Правила диференціювання. Т.1. Похідна сталої дорівнює нулю, тобто
якщо____, де______, то_______.

Т.2. Похідна алгебраїчної суми скінченного числа диференційовних ф-цій
дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих
ф-цій______________________________. Т.3. Похідна добутку двох
диференційовних ф-цій дорівнює добутку першого множника на похідну
другого плюс добуток другого множника на похідну
першого:_____________________.

Т.4. Сталий множник можна виносити за знак
похідної:________________________.

Т.5. Якщо чисельник і знаменник дробу диференційовноі ф-ції (знаменник
не перетворюється в нуль), то похідна дробу також дорівнює дробу,
чисельник якого є різниця добутків знаменника на похідну чисельника і
чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат знаменника
початкового дробу______________________.

61.Похідна показникової ф-ції._____________________
_____________________. Похідна логарифмічної
ф-ції______________________________________

_________________________. Похідна тригонометричних

ф-цій:________ ____________________,

____________ _____________________,

_____________ _______________________,

_________ ________________.

Похідна обернених тригонометричних ф-цій:

_____________________, ___________________,

____________________, ______________________.

62. Нехай ф-ція_____ означена і неперервна на деякому проміжку________.
Визначимо рівняння дотичної й нормалі до графіка ф-ції______________ у
точці з абсцисою_____________. Оскільки дотична й нормаль проходять
через точку з абсцисою__, то їхнє рівняння будемо шукати у вигляді
рівняння прямої, що проходить через задану точку ______ у даному
напрямі:_________________________(1) де__ кутовий коефіцієнт дотичної.
Використовуючи геометричний зміст похідної маємо, _________. Рівняння
дотичної .Оскільки_________________, то з виразу(1) дістанемо рівняння
дотичної у вигляді________________________. Рівняння нормалі. Озн.
Нормаллю до графіка ф-ції в точці_____ називається перпендикуляр,
проведений до дотичної в цій точці. Використовуючи умову
перпендикулярності дотичної до нормалі, знаходимо кутовий коефіцієнт
нормалі__________________ і записуємо її рівняння у
вигляді__________________________.

63. Таблиця похідних (стр. 92 пос.)

64. Озн. Величина____________ називається диференціалом ф-ції____ за
приростом_______.Позначення:__________. Геометрична інтерпретація:
Диференціал_____ є лінійним наближенням до приросту
ф-ції:_________________. Наскільки менше______, настільки краще
наближення.

65. Правила знаходження диференціалу.

1._________________

2.____________________

3.____________________

4.___________________________.

________________________. Т. Форма диференціалу не залежить від того, чи
є аргумент незалежною змінною або ф-цією.

Нехай__________-. Тоді диференціал цієї ф-ції записується у
вигляді____________(1). Виконаємо заміну змінних______. Тоді
ф-ція_____________- буде ф-цією від змінної__:_______________.
Обчислюючи диференціал цієї ф-ціїї дістанемо:_______________________,

або_______________________________.

Вираз___________(2) є диференціалом ф-ції___,

оскільки____________________. Тому (2) можна

подати у вигляді_____________________. Маємо влстьивість диференціала,
яка називається його інваріантністю: формула для знаходження
диференціала_______________________ справджується в усіх випадках: як
тоді, коли__ є незалежною змінною, так і тоді, коли__ є ф-цією іншої
незалежної змінної. В останньому випадку під множником_____ слід
розуміти диференціал ф-ції____.

66.Похідна неявної ф-ції. Для знаходження похідної ф-ції___, заданої
неявно, достатньо продиференціювати обидві частини рівняння,
розглядаючи__ як ф-цію від____, а потім зі здобутого рівняння знайти
похідну___. Похідна оберненої ф-ції. Т. якщо ф-ція______ монотонна й має
в точці-___ відмінну від нуля похідну, то ф-ція, обернена до даної,
подається у вигляді_________ і має похідну____________, обернену до
похідної даної ф-

ції:_______________.

67. Похідні вищих порядків. Похідна_______ від ф-ції_________
називається похідною першого порядку і являє собою деяку нову ф-цію.
Можливі випадки, коли ця ф-ція сама має похідну. Тоді похідна від
похідної першого порядку___ називається похідною лругого порядку від
ф-ції________ і позначається_____________________. Похідна від похідної
другого порядку______, називається похідною третього порядку і
позначається_______________. Диференціали вищих порядків. Озн. Другим
диференціалом ф-ції________ називається вираз________.
Позначення:____________________. Диференціал незалежної змінної______ не
залежить від__ тому, диференціюючи__за___, слід розглядат_____ як
величину сталу відносно_____. Отже, приходимо до простих співвідношень
між послідовними диференціалами і послідовними похідними:

_____________________ ______________________
___________________________ ________________.

68. Виведемо так звану формулу Лейбніца , яка дає змогу обчислювати
похідну___-го порядку від добутку двох ф-цій_____ та______. Для того щоб
вивести цю формулу, знайдемо спочатку кілька похідних, а далі встановимо
загальне правило:___________ _______________
__________________________________________

Закон утворення похідних зберігається для похідних будь-якого порядку й
полягає ось у чому: Вираз______ потрібно розкласти за формулою бінома
Ньютона й у здобутому розкладі замінити показники степенів для____та____
показниками порядку похідних, причому нульові степені___________, що
входять у крайні члени розкладу, слід замінити самими ф-ціями(тобто
похідними нульового
порядку):_____________________________________________________. Це є
формула Лейбніца.

69. Озн. Ф-ція________ називається показниково-степеневою ф-цією.
Прологарифмуємо рівняння_________________

_______________________

________________________. Продиференціюємо обидві частини останнього
рівняння:

_____________________

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

Правило диференціювання показниково-степеневої ф-ції: Щоб знайти похідну
показниково-степеневої ф-ції, потрібно спочатку продиференціювати її як
показникову, а потім як степеневу ф-цію. Результати додати.

70. Теорема Ферма. Нехай ф-ція________ визначена на проміжку_________ і
в деякій точці С цього проміжку_______ набуває найбільшого або
найменшого значення. Якщо в точці_______ існує похідна,
то____________.Теорема Ролля. Нехай

задано ф-цію______, неперервну на відрізку______ і диференційовну на
інтервалі______. Тоді

якщо____________, то всередині відрізка_________

знайдеться точка________________, така що___________. Теорема Лагранжа.
(про скінченні прирости ф-ції). Нехай задано ф-цію______, неперервну на
відрізку___________ і диференційовну

на інтервалі____________. Тоді знайдеться

точка________________, така що похідна_________-

ф-ції в цій точці_________ дорівнюватиме

відношенню___________:______________________.

Теорема Коші. (про кінцеві прирости двох ф-цій).

Нехай на відрізку_____ задано дві ф-ції_____і______.

Якщо ці ф-ції неперервні на відрізку_________ і

диференційовні на інтервалі________-,

причому___________ не перетворюється на нуль, то

на інтервалі___________ існує

точка________________, така

що_____________________.

71. Правило Лопіталя. Границя відношення нескінченно малих величин
дорівнює границі відношення їх похідних, якщо остання існує у
зазначеному щойно сенсі.

______________________________.

72. Формула Тейлора. Нехай ф-ція_____ має в __-околі точки____________
похідну. Тоді для будь-якої точки__ із цього околу знайдеться точка__,
розміщена між точками__ і__, для якої справджується

рівність:__________________________, де ____ — __-й

многочлен Тейлора ф-ції___ у точці___.

73.

74. Умови зростання та спадання ф-ції на проміжку. (пос. стр. 74).

75. Екстремуми ф-ції. (пос. стр. 9, 75).

76. Опуклість ф-ції. Озн. Крива на проміжку називається випуклою, якщо
всі точки кривої лежать вище будь-якої її дотичної на цьому проміжку.

77. Озн. Точка, яка відокремлює випуклу частину кривої від вгнутої,
називається точкою перегину.

78. Асимптоти. (пос. стр. 10).

79. План дослідження ф-цій і побудови їхніх графіків.

Знайти область визначення ф-ції.

Встановити парність(непарність) і періодичність ф-ції.

Знайти точки розриву ф-ції та їхній характер.

Визначити точки перетину графіка ф-ції з осями координат.

Знайти точки екстремуму й обчислити значення ф-ції у цих точках.

Визначити інтервали зростання й спадання ф-ції.

Знайти точки пергину, інтервалу випуклості й вгнутості.

Знайти асимптоти.

Знайти граничні значення ф-ції, коли x прямує до граничних точок області
визначення.

Графік ф-ції будують за характерними точками й лініями, отриманими у
результаті дослідження. Якщо їх недостатньо, знаходять допоміжні точки
для деяких конкретних значень аргументу.

80. Задача про найбільше та найменше значення ф-ції на закритому
проміжку. (Стр. 153 підр.)

Похожие записи