Шпаргалка

(І)1) Частинні похідні і повний диференціал.

Добуток F’(x)*(x назив. диференціалом ф-ції у=f(x), зображують символом
dy, тобто dy=f’(x)* (x.

Знайдемо диференціал ф-ції у=х; для цього випадку y’=x’=1, отже
dy=dx=(x. Таким чином диференціал не залеж змінної збігається з її
приростом (x. ( dy=f’(x)dx

(І)2) Похідна за напрямом.

Відомо, що механіч. зміст похідної ф-ції 1 незалеж змінної – змінювання
ф-ції в даний момент х. Аналогічно можна тлумачити мех. зміст частин
похідних І-го порядку ф-ції z=f(x;y)

(z/(x – швидкість зміни ф-ції в напрямі Ох.

(z/(y — швидкість зміни ф-ції в напрямі Оу.

Частин похідну ф-ції z не залеж змінної за напрямом ех, еу знаходять:

де ( і ( — кути, які утвор. Вектор е з осями координат.

(І)3) Градієнт.

Напрям найбільшої швидкості зміни ф-ції z=f(x;y) співпадає з напрямом
вектора – градієнтом.

За формулою довж вектора знаходять величину цієї найбільшої швидкості:

(І)4) Екстремуми.

Ф-ція має екстремуми в т. М0 (х0;у0), якщо існує такий окіл цієї т., що
для всіх точок М(х;у) з цього околу виконується нерівність f(x0;y0) >
f(x;y). Точки, в яких частинні похідні І порядку =0 або не існують
називаються критичними.

(І)5) Необхідна і достатня умови існування екстремуму.

В т. екстремуму ф-ції її частинна похідна = 0 або не існує ( в т.
екстремуму диференційованої ф-ції виконується нерівність:

df/dx=0 і df/dy=0.

Необхідна:

Достатня:

AC – B2<0 – НЕ ІСНУЄ АС – В2=0 – ? A=(2z/(x2 (M0) C=(2z/(y2 (M0) B=(2z/(x(y (M0) (І)6) Умовний екстремум. Рівняння ((х;у) назив рівнянням зв’язку, т. (х0;у0) є Е назив т. Умовного строгого максимуму ф-ції u=f(x;y). Відносно рівн зв’язку, якщо існує такий окіл т. (х0;у0), для всіх точок якого (х;у) ( (х0;у0), що задовольняють рівняння зв’язку, вірна нерівність: f(x;y) ( f(x0;y0). z = f(x;y) ((x;y) = 0 F(x,y,() = f(x;y) + ((x;y) (І)7) Найбільше і найменше значення ф-ції на замкненій області. (І)8) Метод найменших квадратів. Нехай х1, x2, … xn – послідовність значень незалеж змінної, а y1, y2, … yn – послідовн. значень залежної змінної. Необхідно підібрати пряму, яка найліпшим чином відображає залежність між х і у ( відхилення фактичних значень ф-ції від підібраної прямої має бути мінімальним. Нехай y=ax+b є рівн. цієї прямої ( y1=ax1+b1 … yn=axn=bn Відхилення складає: y1 – yi = yi – (axi + b) = yi – axi – b. Це відхилення має бути додат або від’ємним, тому пряма підбирається так, щоб сума квадратів відхилень була найменшою. Необхідна умова існування min полягає в тому, що (f/(a = 0 (f/(b = 0. Маємо: (y1-b-ax1)2=y12+b2+a2x12-2abxi-2bxiyi, отже: Таким чином ми отримали 2 рівн з двома змінними a і b. Розв’язання цих двох рівн дає значення a і b, які визначають пряму, яка найкраще відображає хід змінної ф-ції. (ІІ)9) Поняття первісної ф-ції та невизначеного інтеграла. Первісною ф-цією для даної ф-ції f(x) називають ф-цію F(x) таку, що f(x)=F’(x) або f(x)dx=dF(x). Теорема про множину первісних: Будь-які 2 первісні однієї і тієї ж ф-ції відрізняються тільки на постійний доданок. F2(x)=F1(x+c). Всю множину первісних F9x)+с для ф-ції f(x) називають невизначеним інтегралом і позначають: (f(x)dx = F(x)+c. Геометрично не визначений ( представляє множину інтеграл прямих. (ІІ)10) Основні властивості невизначених інтегралів. Похідна не визначеного ( = підінтегральній ф-ції, а диференціал від невизначеного ( = підінтегральному виразу. Не визнач ( від диференц. ф-ції = тій самій ф-ції + постійний доданок. (dF(x)=(f(x)dx=F(x)+c. Постійний множник можна виносити за знак невизначеного (. Не визнач ( від алгебраїчної суми декількох ф-цій = тій самій сумі від заданих ф-цій. (ІІ)11) Методи інтегрування. Метод підстановки (заміни змінної): (f(x)dx=(f(((t))(’(t)dt Метод інтегрування частинами: (udv=u*v-(v*du. Інтегрування виразів з квадратним тричленом. (ІІ)12) Раціональні дроби. Інтегрування раціональних дробів. Неінтегровні ф-ції. Інтегрування рац дробів. Теорема: правильний рац дріб R(x)/Q розклад на суму простіших рац дробів. 1) Корені знаменника дійсні та різні: Q(x)=(x-(1)(x-(2)…(x-(n) 2) Корені дійсні, деякі кратні. 3) Корені дійсні, серед них є кратні, знаменник містить квадратний тричлен. Неінтегровні ф-ції. Теорема Коші: неперервна ф-ція має первісну. Для кожної неперервної ф-ції існує визначений ( f(x)=F(x)+c, але т. Коші стверджує, що для неперерв. ф-ції можна знайти первісну за допомогою скінченого числа операцій. (ІІ)13) Поняття визначеного інтегралу. Означення 1: сума вигляду: називається інтегральною сумою для ф-ції f(x) на відрізку [a;b]. Означення 2: Якщо існує скінчена границя інтегральної суми (див. вище), при max (xi(0 і не залежить від способу розбиття відрізка [a;b] на часткові відрізки і вибору проміжних точок (і, то цю границю називають визначеним інтегралом від a до b від ф-ції f(x) і позначають: або (ІІ)14) Властивості визначеного інтегралу. Теорема про середнє. Формула Ньютона-Лейбніца. 5) Якщо f1(x) та f2(x) – інтегровані ф-ції на [a;b], то: 6)Якщо ф-ція f(x) інтегрована на кожному з відрізків [a;b], [a;c], [c;b], то справедлива рівність: 7) Якщо ф-ція f(x) інтегровна на відрізку [a;b] і f(x)(0, xє[a;b], то: 8) Якщо f(x) та g(x) інтегровні ф-ції на [a;b] та f(x)(g(x) для xє[a;b], то: 9) Якщо ф-ція f(x) інтегровна на відрізку [a;b] та m та M – відповідно найменше і найбільше значення ф-ції на відрізку [a;b], тобто m(f(x)(M, то: Теорема про середнє. Якщо ф-ція f(x) інтегровна на відрізку [a;b], то на цьому відрізку існує така т. С, що справедлива рівність: Формула Ньютона-Лейбніца (ІІ)15) Метод підстановки у визначеному інтегралі. Метод інтегрування частинами у визначеному інтегралі. Теорема: Нехай заданий (: f(x) – неперервна ф-ція на відрізку [a;b] та x=((t) – неперервна ф-ція на відрізку [(;(]. Якщо при цьому: 1) При зміні t від ( до ( x змінюється від а до b, тобто ((()=a і ((((=b 2) Складна ф-ція f(((t)) – визначена і неперервна на відрізку [(;(], то справедлива формула: Метод інтегрування частинами у визначеному інтнгралі. (ІІ)16) Невласні інтеграли. Інтеграл від розривних ф-цій. 1)[a;() 2) (-(;b] 3) (((;((( $ e $ & \ - " 4 6 : < @ B D ? ‚ „ † ? ? E I ? O Oe O TH a a L N R T h l n r t v x & \ j Інтеграл від розривних ф-цій. (ІІ)17) Подвійний інтеграл. Означення: Якщо границі інтегр. суми існує і не залежить від способу розбиття області D на часткові області, від вибору т. М, то цю границю називають подвійним інтегралом від ф-ції f(x;y) по області D: або: Отже, подвійний інтеграл є прямим узагальненням поняття звичайного визначеного інтеграла на випадок двох змінних. Обчислення подвійного інтегралу зводиться до обчислення повторного інтегралу: (ІІІ)18) Диференційні рівняння І порядку з відокремленими та відокремлюваними змінними. Означення: Диф. Рівнянням називається рівняння, яке містить шукану похідну ф-ції. Найбільший порядок похідних називається порядком диференційного рівняння. Означення: Д.Р. вигляду M(x)dx+N(y)dy=0 називаються Д.Р. з відокремленими змінними. Загальний розв’язок має вигляд: (M(x)dx+(N(y)dy=C і розв. Задачі Коші з початковими умовами х=х0, у=у0 має вигляд: Означення: Д.Р. виду N1(y)M1(x)dx+M2(x)N2(y)dy=0 називаються Д.Р. з відокремлюваними змінними, тобто рівняння, що зводяться до рівнянь з відокремленими змінними. (ІІІ)19) Однорідні і лінійні диференційні рівняння І порядку. Означення: Д.Р. називається однорідним, якщо його можна подати у вигляді: Воно за допомогою заміни змінної y/x=u (y=ux зводиться до Д.Р. з відокремлюваними змінними. та знаходження розв’язку зводиться до квадратур: Лінійні Д.Р. І порядку. Означення: Д.Р. виду y’+P(x)y=Q(x) називається лінійним Д.Р. Якщо Q(x)(0, то Д.Р. є однорідним, якщо Q(x)(0, то неоднорідним. Рішення лінійного Д.Р. І порядку: y'+P(x)y=Q(x) y=uv y’=u’v+v’u u’v+v’u+P(x)uv=Q(x) u’v+u(v’+P(x)v)=Q(x) v’+P(x)v=0 u’v=Q(x) (ІІІ)20) Лінійні Д.Р. ІІ порядку з сталими коефіцієнтами. В загальному випадку Д.Р. ІІ порядку має вигляд F(x,y,y’,y’’)=0. Загальний розв’язок рівняння містить 2 довільні сталі y=((x,C1,C2) і за рахунок вибору C1 і С2 можна розв’язати задачу Коші, яка полягає в пошуку частинного розв’язку y=y(x), що задовольняє початковій умові y(x0)=y0, y’(x0)=y0’. Однорідні. Означення: Рівняння вигляду y’’+a1y’+a2y=0 називаються однорідними лінійними Д.Р. Розв’язок: y’’+a1y’+a2y=0 Складаємо характеристичне рівняння: K2+a1K+a2=0 А) D>0

Б) D=0, K1,2= –b/2

В) D<0, K1,2 – комплексні числа. K1,2=X((I Зі спеціальною правою частиною. А) f(x)=Pn(x); (IV)21) Числові ряди. Означення: числовим рядом є вираз, який має вигляд суми нескінченої послідовності доданків: U1+U2+U3+…+Un+…(1), де U1 – перший член ряду, U2 – другий, а Un – n-член, або загальний член ряду. Утворимо так звані часткові суми ряду: S1=U1 S2=U1+U2 ………………………… Sn=U1+U2+U3+…+Un+... ………………………… Означення: Ряд (1) називають збіжним, якщо: тобто сума існує. Ряд (1) коротко можна записати: (1’) Якщо ряд (1) збіжний, то пишуть: Означення: якщо: то ряд (1) називають розбіжним рядом, такий ряд суми не має. Різницю між сумою S ряду і n-початковою сумою називають залишком ряду і позначають: Rn=S-Sn. Якщо ряд збіжний, то: (ІV)22) Необхідна ознака збіжності. Теорема: Якщо ряд збіжний, то: Доведення: Оскільки ряд збіжний, то: поряд з цією рівністю для збіжного ряду можна записати: Ця ознака є лише необхідною умовою збіжності. Якщо вона не виконується, то ряд розбіжний, якщо виконується, то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним. (IV)23)Достатня ознака збіжності для знакододатних рядів. (Ознака порівняння рядів; ознака Даламбера; радикальна ознака Коші; інтегральна ознака Коші) Означення: знакододатний ряд – ряд вигляду U1+U2+…+Un+…, всі члени якого є додатними. 1) Ознака порівняння рядів. Складаємо геометричний прогресію або гармонійний ряд і порівнюємо. Якщо порівняємо з розбіжним рядом, всі члени якого менше відповідних членів шуканого ряду, то шуканий ряд – теж розбіжний, якщо більшіші, то шуканий ряд – збіжний. Якщо порівнюємо із збіжним рядом, всі члени якого більше відповідних членів шуканого ряду, то шуканий ряд – теж збіжний, якщо менші, то шуканий ряд є розбіжним. Гармонійний ряд – ряд вигляду: Приклад: Порівнюємо з гармонійним рядом, який є розбіжний. маємо: (Ряд розбіжний. 2) Ознака Даламбера: Якщо для знакододатного ряду існує то, якщо: а)D>1, ряд – розбіжний

б)D<1, ряд – збіжний в)D=1, –??? 3) Радикальна ознака Коші. а)k<1, ряд – збіжний б)k>1, ряд – розбіжний

в)k=1, – ???

4) Інтегральна ознака Коші.

Беремо ( від Un-члена ряду. Якщо невласний інтеграл збіжний, то ряд –
збіжний, якщо ж розбіжний, то ряд – розбіжний.

(IV)24) Знакопочергові ряди. Ознака Лейбніца.

Означення: Знакопочерговий ряд – ряд вигляду:

Для дослідження знакопочергового ряду на абсолютну і умовну збіжність
складається ряд з абсолютних величин.

Означення: Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо
збігається ряд із абсолютних величин членів знакозмінного ряду.

Означення: Знакозмінний ряд називається умовно збіжним, якщо цей ряд
збігається, а ряд із абсолютних величин його членів розбігається.

Ознака Лейбніца.

Теорема: Якщо члени знакопочергового ряду спадають по абсолютній
величині і границя абсолютної величини загального члена ряду = 0, то ряд
збігається. Коротко цю теорему можна записати так:

Наслідок1:

Знак суми збіжного знакопочергового ряду такий же, як і знак першого
члену ряду.

Наслідок2:

Якщо знакопочерговий ряд збігається, то його сума за абсолютною
величиною не перевищує перший член ряду, тобто |S|<|U1|. Наслідок3: Якщо при обчисленні суми збіжного знакопочергового ряду обмежитись тільки першими n членами, а всі інші відкинути, то похибка за абсолютною величиною не перевищить першого із відкинутих членів. Наслідок4: Якщо для ряду не виконується умова теореми Лейбніца: то ряд є розбіжним, оскільки не виконується необхідна умова збіжності. (IV)25) Функціональні ряди. Область збіжності ряду. Степеневі ряди. Теорема Абеля. Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду. Означення: Ряд вигляду U1(x)+U2(x)+…+Un(x)+…, де членами рядуUn(x) є ф-ції від аргументу х, називається функціональним рядом. При х=х0 функціональний ряд перетворюється на на числовий ряд. Означення: Всі значення аргументу х, при яких функціональний ряд збігається, називаються областю збіжності функціонального ряду. Степеневі ряди: Означення: Функціональний ряд вигляду a0+a1x+a2x2+…+anxn+… називається степеневим рядом, його загальний член Un(x)=anxn, а числа а0,а1,а2,...,аn,... – називають коефіцієнтами степеневого ряду. Степеневий ряд можна записати як: Степеневий ряд може мати вигляд: a0+a1(x-с)+a2(x-с)2+…+an(x-с)n+… Такий ряд за допомогою заміни х-с=у зводиться до звичайного степеневого ряду. Теорема Абеля. Якщо степеневий ряд: 1) якщо при х=х0, то він абсолютно збігається для будь-якого х, що задовольняє нерівність |x|<|x0|; 2) якщо ряд розбігається при х=х1, то він розбігається при всіх х, що задовольняють нерівніст |x|>|x1|.

Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду.

Як наслідок із теореми Абеля для Степ. Р. існує інтервал збіжності з
центром в точці х0.

Означення: Інтервалом збіжності Степ. Ряду називається такий інтервал, у
всіх внутрішніх точках якого ряд збігається абсолютно, а для всіх точок
|x|>R ряд є розбіжним, при цьому число R>0 називається радіусом
збіжності ряду.

Зауваження:

На кінцях інтервалу збіжності, тобто в точках x=-R, x=R ряд може як
збігатись, так і розбігатись. Це питання потребує спеціального
дослілження в кожному випадку.

Похожие записи