Шпаргалка

Означення матрець, типи матрець.

Означення: Матрицею називається прямокутна таблиця чисел, яка має m
рядків і n стовпчиків. Їх позначають великими літерами A,B,C і т.д.

Типи матрець:

Квадратна матриця, в якої елементи головної діагоналі дорівнюють
одиниці, а всі інші нулю називається одиничною матрецею.

Якщо всі елементи матриці, що знаходяться по один бік від головної
діагоналі, дорівнюють нулю, то матриця назівається трикутною.

Якщо візначник відмінний від нуля, то матриця називається неособливою
або невиродженою.

Якщо визначник дорівнює нулю, то матриця особліва або вироджена.

Дії над матрицями.

.

Суми матрець і добутку матрець виконуються рівності:

A+B=B+A; 2. aA=Aa 3. a(A+B)=aA+aB 4. (a+b)A=aA+bA 5. a(bA)=(ab)A

Визначники першого, другого та третього порядку.

Визначником другого порядку називається вираз вигляду:

Визначником третього порядку називається вираз вигляду:

Властивоті визначника.

Властивість 1: Визначник не змінюється при транспортуванні.

Властивість 2: Якщо один із рядків визначника складається з нулів, то
такий визначник дорівнює нулю.

Властивість 3: Якщо поміняти місцями будь-які два рядки визначника, то
йго знак змінюється на протилежний.

Властивість 4: Визначник, який має два однакові рядки, дорівнює нулю.

Властивість 5: Якщо елементи будь-якого рядка визначника помножити на
стале число С, то і визначник помножиться на С.

Властивість 6: Визначник, який має два пропорційні рядки, дорівнює нулю.

Властивість 7: Якщо всі елементи будь якого рядка визначника можна
подати у вигляді суми двох доданків, то визначник бкде дорівнювати сумі
двох визначників, у яких елементами цього рядка будуть відповідно перший
доданок в першому визначнику і другий доданок в другому визначнику.

Властивість 8: Визначник не змінюється, якщо до елементів будь-якого
рядка додати відповідні елементи будь-якого іншого рядка, попередньо
помножені не деяке число.

Мінори та алгебраїчні доповнення. Визначник n-ого порядку.

Мінором k-того порядку k є [1; n-1] називається визначник утворений з
елементів, які стоять на перетені будь-яких k рядків і k товпчиків
визначника.

— сума номерів і стовпчиків — парна, то знак “+”, якщо не парна, то
знак “-“.

Означення: Визначником n–ого порядку називається число, яке дорівнює
алгебраїчній сумі добутків елементів будь-якого рядка, або стовпчика на
відповідні їм алгебраїчні доповнення.

Правило Крамера.

складений з коефіцієнтів при невідомих, системи n-лінійних рівнянь з
n-невідомими відмінний від нуля, то така система рівнянь має єдиний
розв’язок (сумісна і визначена), який знаходиться за формулами:

.

-головний визначник, який складається з коефіцієнтів при невідомих у
лівій частині системи.

-визначник, який одержується шляхом заміни j-го стовпчика в головному
визначник на стовпчик вільних членів.

Оберненна матриця.

.

Оберенні матриці існують для квадратних не особливих матриць.

Розв’язування систем рівнянь за допомогою оберненної матриці.

Знаходять обернену матрицю таким чином:

L N P R T V X ¬ O

4

6

8

:

@

B

h

j

l

n

?

?

?

?

 

c

¦

?

?

?

AE

x

?????~?AE

I

?

O

O

jT

???? ?, до всіх елементів матриці А.

N-вимірний векторний простір.

Сукупність впорядкованих систем з n-дійсних чисел, для яких означені дії
додавання і множення на число, утворює n-вимірний векторний простір.

Елементами означенного таким чином простору будуть впорядковані системи
чисел, які називаємо n-вимірними вектороми.

Лінійна залежність та незалежність векторів. Ранг сукупності векторів.

називається лінійною залежною, якщо існують такі числа

хоча б одне з яких відмінне від нуля, що має місце рівність:

(1)

називається лінійно незалежною.

Кількість векторів, що входять в будь-яку максимальну, лінійну незалежну
підсистему даної системи векторів, називаюється рангом цієї системи.

Базис. Перехід від одного базису до іншого.

називається будь-яка максимальна (повна) лінійно незалежна система
векторів цього простору.

.

Ранг матриці. Теорема Кронекера-Капеллі.

Рангом матриці A розмірність mXn називається найвищий порядок відмінного
від нуля мінора утворенного з елементів матриці. Позначають ранг – r чи
r(A)

Теорема: система лінійних алгебрарічних рівнянь сумісна тоді, і тількі
тоді, коли ранг основної матриці дорівнює рангу розширенної матриці.

Однородні системи рівнянь.

Метод Гаусса.

Метод Жорданна-Гаусса.

Розв’язання рівнянь методом Г-Ж здійснюється за допомогою розрахункової
таблиці в яку записують коофіцієнти при невідомих, стовпчики вільних
членів і контрольний стовпчик.

В контрольний стовпчик 1-ого стовбця записують сумму елементів по
рядках. Елементи контрольного стовпчика 2-ого і наступних таблиць
продовжують за правилом прямокутника. Контроль здійснюють так: якщо скма
елементів рядка, крім останньго дорівнює останньму елементу, то
обчислення зроблене вірно.

Розв’язування продовжується доки ми не отримаємо стільки одиночних
векторів, скількі залишилося рівнянь.

Власні числа та власні вектори матриці.

, або спекторм матриці A.

— власним числом, що відповідає цьому власному вектору.

Квадратичні форми. Означення. Умови визначенності.

називається сума, кожен член якої є або квадратом однієї з невідомих,
або добутком двох різних невідомих, помножених на деякий коефіцієнт.

з дійсними коефіцієнтами називається додатньо визначеною, якщо при
будь-яких дійсних значеннях цих невідомих, хоча б одне з них відмінне
від нуля, ця форма набуває толькі додатніх значень.

Похожие записи