Пошукова робота на тему:

Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних
величин. Обчислення площ плоских фігур в декартових і полярних
координатах.

План

Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних
величин

Обчислення площі плоскої фігури

Обчислення площі в декартових координатах

Площа криволінійного сектора в полярних координатах

ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА

1. Площа  плоскої фігури

1.1. Обчислення площі в декартових координатах

 може бути як додатною, так і від’ємною, то площа такої криволінійної
трапеції обчислюється за формулою

                                       (10.1)

 (рис.10.1) обмежена кривими

.

                               (10.2)

                 Рис.10.1                                      
Рис.10.2         

            Обчислимо тепер площу криволінійної трапеції у випадку, коли
крива задана рівняннями в параметричній формі

                          (10.3)

а тому площа криволінійної трапеції може бути обчислена за формулою

 одержимо

                                   (10.4)

1.2. Площа криволінійного сектора в полярних координатах

 ,

 Інтегруючи, одержимо            

                             (10.5)

Приклад 1.

, що лежить на гіперболі, з початком координат.

Р о з в ’ я з о к. З рівняння гіперболи маємо

.

.

Найкращим методом для обчислення цього інтеграла є інтегрування
частинами. В результаті інтегрування дістанемо

Оскільки

.

            Цікаво, що цю площу можна записати у вигляді

                Рис.10.3                                     Рис.10.4

,

.

Пропонується переконатися в цьому самостійно.

Приклад 2. Знайти площу фігури, обмеженої кривою

.

, проходить

Похожие записи