Пошукова робота на тему:
Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних
величин. Обчислення площ плоских фігур в декартових і полярних
координатах.
План
Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних
величин
Обчислення площі плоскої фігури
Обчислення площі в декартових координатах
Площа криволінійного сектора в полярних координатах
ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА
1. Площа плоскої фігури
1.1. Обчислення площі в декартових координатах
може бути як додатною, так і від’ємною, то площа такої криволінійної
трапеції обчислюється за формулою
(10.1)
(рис.10.1) обмежена кривими
.
(10.2)
Рис.10.1
Рис.10.2
Обчислимо тепер площу криволінійної трапеції у випадку, коли
крива задана рівняннями в параметричній формі
(10.3)
а тому площа криволінійної трапеції може бути обчислена за формулою
одержимо
(10.4)
1.2. Площа криволінійного сектора в полярних координатах
,
Інтегруючи, одержимо
(10.5)
Приклад 1.
, що лежить на гіперболі, з початком координат.
Р о з в ’ я з о к. З рівняння гіперболи маємо
.
.
Найкращим методом для обчислення цього інтеграла є інтегрування
частинами. В результаті інтегрування дістанемо
Оскільки
.
Цікаво, що цю площу можна записати у вигляді
Рис.10.3 Рис.10.4
,
.
Пропонується переконатися в цьому самостійно.
Приклад 2. Знайти площу фігури, обмеженої кривою
.
, проходить
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter