Реферат

MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 1 Section 1 SEQ
MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ
MTChap \r 1 \h \* MERGEFORMAT

1. В двох ящиках знаходиться більше 29 однакових деталей. Число деталей
у першому ящику, зменшилося на 2, більше чим в 3 рази перевищує число
деталей у другому ящику. Потроєне число деталей в першому ящику
перевищує подвоєне число деталей у другому ящику, але не більше, чим на
60. Скільки деталей у кожному ящику?

Розв’язання.

Позначимо через x число деталей в першому ящику, а через y – число
деталей у другому ящику. Тоді згідно умови має місце система
нерівностей:

Перепишемо дану систему у вигляді

(1)

Звідси слідує, що справедливі нерівності

(2)

(3)

і y – натуральне число, то y дорівнює або 6, або 7. Якщо y дорівнює 6,
то система нерівностей (1) перепишеться у вигляді

Ясна річ, що не існує натуральних чисел x, котрі задовольнили її. Отже,
y = 7. Тоді система (1)

перепишеться у вигляді

Звідки випливає, що існує єдине натуральне число x = 24, яке задовольняє
її. Отже, в першому ящику 24 деталі, а в другому 7 деталей.

Відповідь: В першому ящику 24 деталі, а в другому 7 деталей.

Двом бригадам, загальною чисельністю 18 чоловік, було доручено
організувати протягом трьох діб неперервне цілодобове чергування по
одній людині. Перші дві доби чергували члени першої бригади, розділивши
між собою цей час порівну. Відомо, що у другій бригаді три дівчини, а
інші хлопчики, причому дівчата чергували по одній годинні, а всі хлопці
розділили між собою залишок чергування порівну. Підчас підрахунку
виявилося, що сума тривалості чергувань кожного хлопчика із другої
бригади і будь-кого з першої бригади менша дев’яти годин. Скільки людей
у кожній бригаді?

Розв’язання.

годин. З умови задачі

Зробивши очевидні перетворення, перепишемо цю нерівність так:

. Так як x (число членів бригади) – ціле додатне число і так як із
умови слідує, що x < 15, то умові задачі задовольняє лише одне число: x = 9. Відповідь: В бригаді було по 9 чоловік. Школяр переклеює всі свої марки в новий альбом. Якщо він наклеїть по 20 марок на один лист, то йому не хватить альбому, а якщо по 23 марки на лист, то в крайній мірі один лист буде пустим. Якщо школяру подарувати такий альбом, на кожному листі, якого наклеєно по 21 марки, то всього у нього стане 500 марок. Скільки листів у альбомі? Умова задачі Рівняння, нерівність Якщо школяр наклеїть по 20 марок на лист, то йому не хватить альбому. Якщо школяр наклеїть по 23 марки на один лист, то в крайній мірі один лист виявиться пустим. Якщо школяру подарувати такий самий альбом, в якому на кожному листі по 21 марці, то всього у нього буде 500 марок. 20m < N 23(m-1) ? N 21m+N = 500 Розв’язання. Нехай в альбомі m листів, а в школяра є N марок. Тоді рівняння і нерівності цієї задачі складаються наступним чином. Таким чином, в даній задачі є одне рівняння і дві нерівності. Виразимо N з рівняння цієї системи і підставимо його в кожну із нерівностей: 20m<500 – 21 m, 23(m – 1) ? 500 - 21 m. Враховуючи, що m – ціле число, з першої нерівності цієї системи знаходимо, що m ? 12, а з другої нерівності – що m ? 12. Порівнюючи між собою ці результати, отримаємо m = 12. Відповідь: В альбомі 12 листів. Із пункту А до В виходить автобус о 7 год і одночасно з ним із пункту В до А виходять легковий автомобіль і мотоцикл, причому швидкість легкового автомобіля в 2 рази більша від швидкості мотоцикла. Автобус зустрічає легковий автомобіль не раніше 9 год 30 хв і прибуває до В о 12 год 50 хв того ж дня. Знайти час прибуття мотоцикла в пункт А , коли відомо, що між моментами зустрічей автобуса з легковим автомобілем і автобуса з мотоциклом проходить не менше години. Розв’язання. - час, що минає від початку руху до зустрічі автобуса і мотоцикла. Рівняння і нерівності задачі запишемо в таблицю. Умова задачі Рівняння, нерівність Автобус прибув до пункту В о 12 год 50 хв, тобто через 5 год 50 хв. Автобус зустрівся з легковим автомобілем не раніше 9 год 30 хв, тобто не менше, ніж через 2 год 30 хв від початку руху. (1) (2) (3) Нерівності (2) і (3) запишемо у вигляді: і виконаємо перетворення. Матимемо систему нерівностей: або Отже, мотоцикл був у дорозі 8 год 45 хв і прибув до пункту А о 15 год 45 хв. Відповідь: Мотоцикл прибув до пункту А о 15 год 45 хв. Пункт А стоїть в полі на відстані 8 км від дороги. На дорозі, яка є прямою лінією, стоїть пункт В. Швидкість руху автомобіля по дорозі в два рази більша, чим по полю. Відомо, що якщо їхати із А в В так, що частина шляху пройде по дорозі, то навіть при найбільш вдалому виборі шляху руху на це піде не менше часу, чим потрібно буде, якщо їхати прямо по полю. Найти максимально можливу відстань між А і В. Розв’язання. Позначимо відстань від А до В через s . Відстань AD від пункту А до дороги з умови задачі рівна 8 км. Нехай С – точка, в якій автомобіль виїжджає з поля на дорогу. При цьому достатньо обмежитись розглядом тільки прямолінійних ділянок АС по полю, оскільки будь-який криволінійний шлях від А до С довший відрізка АС і , значить, потрібно більше часу для його подолання. Аналогічно точку С можна вважати, що вона лежить між точками В і D. Якщо позначити швидкість руху автомобіля по полю через v , то згідно умови задачі матимемо таку нерівність або яка виконується при будь-яких значеннях СВ. Підставляючи СВ і АС в вище написану нерівність, отримаємо Потрібно знайти s, при якому отримана нерівність буде виконуватися при будь-яких значеннях x. Перепишемо нерівність у вигляді >0, то можна піднести обидві частини нерівності до квадрату, після чого
отримаємо квадратичну нерівність відносно x

Ця нерівність повинна виконуватися тотожно, тобто при всіх значеннях
величини x, яка визначає положення точки С, в якій автомобіль виїжджає
з поля на дорогу.

не був позитивний, тобто

або

км.

км.

О 7 год ранку із пункту А в пункт В по течії річки відправляються
байдарка і катер. Байдарка припливає в пункт В о 17 год того ж дня.
Катер, добравшись до пункту В, миттєво повертає назад і на своєму шляху
із В в А зустрічає байдарку не пізніше 15 год, а прибуває в пункт А не
раніше 23 год того ж дня. Знайти час прибуття катера в пункт В, якщо
відомо, що власна швидкість катера в два рази більша швидкості байдарки.

Розв’язання.

, s – відстань між пунктами А і В. Тоді отримаємо наступну таблицю:

Умова задачі Рівняння, нерівність

Байдарка знаходилась в дорозі 10 год

На зворотному шляху із В в А катер зустрів байдарку не пізніше 15
год того ж дня

Катер прибув назад в пункт А не раніше 23 год того ж дня

Катер може пливти проти течії

(1)

(2)

(3)

(4)

Пояснимо, як була складена нерівність (2) системи. Нехай t – час (в
год), який пройшов з початку руху до зустрічі катера і байдарки. Тоді

– час руху катера вниз по річці із А в В. Знайшовши час t із
отриманого рівняння, ми приходимо до лівої частини нерівності (2).

і враховуючи рівність (1), отримаємо

і

Отримані нерівності можна записати у наступній формі:

і

. Тоді із рівняння (1) отримаємо

В задачі необхідно знайти час прибуття катера в пункт В.

Шукаємо

Відповідь: Катер припливе в пункт В о 13 год.

В шкільній газеті повідомляється, що відсоток учнів деякого класу, котрі
підвищили в другому семестрі успішність, знаходиться в межах від 2,9%
до 3,1%. Визначити мінімально можливе число учнів в такому класі.

Розв’язання.

. З умови задачі слідує

Отже, в класі, про який повідомляється в газеті, учнів не менше, чим
33. Тепер потрібно вияснити, яке мінімальне число учнів все-таки може
бути в класі. Легко помітити, що якщо в класі буде 33 учня і один з них
підвищить успішність, тобто якщо n = 33 і m = 1, то така пара чисел
задовольняє нерівність(1). Отже, в класі, про який повідомляється в
газеті, мінімально можливе число учнів 33.

Відповідь: 33

Вантаж спочатку завантажили у вагони місткістю по 80 тонн, але один
вагон виявився заповнений не повністю. Тоді весь вантаж переклали у
вагони місткістю по 60 тонн, проте знадобилося на вісім вагонів більше і
при цьому все одно один вагон залишився не повністю завантаженим. Врешті
решт, вантаж переклали у вагони місткістю по 50 тонн, проте знадобилося
ще на 5 вагонів більше, при цьому всі такі вагони були завантажені
повністю. Скільки було тонн вантажу?

Розв’язання.

Позначимо через n кількість вагонів місткістю 50 тонн, в котрі був
завантажений весь вантаж. Тоді маса вантажу рівна 50n тонн.

Вагонів місткістю 60 тонн було використано n – 5. Так як в них було
поміщено весь вантаж и один вагон виявився не повністю заповненим, то

60(n – 5) > 50n і 60(n –
6) < 50n. З цих нерівностей слідує, що 300 < 10n < 360 або 30 < n < 36. Оскільки n – ціле число, то 31? n ? 35. (1) а n – ціле число, то 35? n ? 37. (2) Із (1) і (2) тепер слідує, що n = 35. Отже, маса вантажу дорівнює 50?35 = 1750 тонн. Відповідь: 1750 т. Є три сплави. Перший сплав містить у собі 30% нікелю і 70% міді, другий – 10% міді і 90% марганцю, третій – 15% нікелю, 25% міді і 60% марганцю. З них необхідно приготувати новий сплав, який містить у собі 40% марганцю. Який найменший і який найбільший відсотковий вміст міді може бути в новому сплаві? Розв’язання. Нехай для приготування сплаву, котрий містить у собі 40% марганцю, взяли х кг першого сплаву, y кг другого сплаву і z кг третього сплаву. При цьому отримаємо (х + y + z) кг нового сплаву, в якому буде (0,9y + 0,6z) кг марганцю, тому 0,9y + 0,6z = 0,4(х + y + z) або 4х = 5y + 2z. (1) кг міді, а в одному кілограмі нового сплаву буде міді Якщо y ? 0, z ? 0, то то легко помітити, що в цьому випадку будуть справедливі нерівності На прямій дорозі розміщені послідовно пункти А, В, С, D. Відстані від пункту А до пунктів В, С і D відносяться як 1 : 2 : 4. В напрямку від А до D по дорозі через рівні проміжки часу з однієї і тією ж швидкістю їдуть автобуси. Із А в D вийшли в різний час три пішохода і пішли по дорозі з однією і тією ж швидкістю. Першого пішохода після виходу із пункту А и до приходу в пункт В обігнали 3 автобуси. Другого пішохода після виходу з пункту А і до приходу в пункт С обігнали 4 автобуси; відомо, що коли він виходив із пункту А, через пункт А не проїжджав подальший автобус. Третій пішохід вийшов із А і прибув в D, коли через ці пункти проїжджали подальші автобуси. Скільки автобусів обігнали третього пішохода на шляху між А і D? Розв’язання. Так як автобуси їдуть з однієї і тою ж швидкістю через рівні проміжки часу, і пішоходи ідуть з однієї і тою ж швидкістю, то від моменту обгону будь-якого пішохода k-м автобусом до моменту обгону його (k +1)-м автобусом проходить один і той же час. Позначимо його через t хвилин. Позначимо через n кількість автобусів, які обігнали третього пішохода після виходу із пункту А і до приходу в пункт D. Тоді час, затрачений третім пішоходом на весь шлях від А до D, дорівнює (n + 1) t хвилин. звідки n>7.

звідки n < 9. Із нерівності 7 < n < 9 слідує, що n = 8. Відповідь: 8 автобусів. v

Похожие записи