2.5. Розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена.
Рядом Маклорена функції f(x) називають степеневий ряд по степенях х,
який можна дістати з ряду (38) при х0 = 0:
(41)
З п. 2.4 випливає таке правило розкладання функції в ряд: щоб функцію
f(x) розкласти в ряд Маклорена потрібно:
а) знайти похідні f?(х), f?(х), …., fп(х), …;
б) обчислити значення похідних в точці х = 0;
в) записати ряд Маклорена (41) для даної функції і знайти інтервал його
збіжності;
г) визначити інтервал (–R; R), в якому залишковий член формули Маклорена
Rп (х) ? 0 при п ? ?.
Якщо такий інтервал існує (він може відрізнятись від інтервалу збіжності
ряду (41)), то в цьому інтервалі функція f (х) і сума ряду Маклорена
збігаються:
Розглянемо ряди Маклорена деяких елементарних функцій (вони часто
використовуються і тому їх варто запам’ятати):
(42)
(43)
(44)
(45)
(46)
††???–????????†??††††††††††††???
Доведемо формули (42) – (48).
Нехай f (x)=ex. Маємо:
отже знайдений ряд зберігається в інтервалі (– ?;+ ?);
(—?; + ?), а отже, і на всьому інтервалі (—?; + ?). Формулу (42)
доведено.
Нехай f (x) = sin x. Дістанемо
);
);
);
……………………………..
N;
;
тобто формулу (43) доведено.
3.Нехай f(х) = cos x. Формулу (44) можна довести так само, як і формулу
(43). Проте це можна зробити значно простіше, про диференціювавши
почленно ряд (43).
R.Маємо:
а) f’(x) =m(1+x)m-1, fn(x) =m(m-1) (1+x)m-2,…,
N;
N;
в) 1+ mx
, опускаємо.
дістаємо відомий розклад двочлена, який називають біномом Ньютона (гл.
5. п. 5.4.).
Збіжність біноміального ряду в кінцевих точках інтервалу (-1;1) залежить
від числа m.
Ряд ((45) збіжний до функції (1+ч)m в таких випадках:
;
;
.
Приймемо ці твердження без доведення.
і сума його дорівнює (1-х)-1.
6. Не зупиняючись на деталях, зазначимо, що коли у формулі (46)
покласти – х замість х, потім – х2 замість х і знайдені ряд про
інтегрувати, то дістанемо розклад в степеневий ряд функції ln(1+x) і
функції arctg x (формули (47), (48)).
Ряди (42) = (48) використовуються при знаходження степеневих рядів для
інших функцій.
Приклади
1.Розкласти в ряд функцію f(x) = x2 ln (1-x3).
Поклавши у форму (47) – х3 замість х, маємо
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
