2.5. Розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена.

Рядом Маклорена функції f(x) називають степеневий ряд по степенях х,
який можна дістати з ряду (38) при х0 = 0:

(41)

З п. 2.4 випливає таке правило розкладання функції в ряд: щоб функцію
f(x) розкласти в ряд Маклорена потрібно:

а) знайти похідні f?(х), f?(х), …., fп(х), …;

б) обчислити значення похідних в точці х = 0;

в) записати ряд Маклорена (41) для даної функції і знайти інтервал його
збіжності;

г) визначити інтервал (–R; R), в якому залишковий член формули Маклорена
Rп (х) ? 0 при п ? ?.

Якщо такий інтервал існує (він може відрізнятись від інтервалу збіжності
ряду (41)), то в цьому інтервалі функція f (х) і сума ряду Маклорена
збігаються:

Розглянемо ряди Маклорена деяких елементарних функцій (вони часто
використовуються і тому їх варто запам’ятати):

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

††???–????????†??††††††††††††???

Доведемо формули (42) – (48).

Нехай f (x)=ex. Маємо:

отже знайдений ряд зберігається в інтервалі (– ?;+ ?);

(—?; + ?), а отже, і на всьому інтервалі (—?; + ?). Формулу (42)
доведено.

Нехай f (x) = sin x. Дістанемо

);

);

);

……………………………..

N;

;

тобто формулу (43) доведено.

3.Нехай f(х) = cos x. Формулу (44) можна довести так само, як і формулу
(43). Проте це можна зробити значно простіше, про диференціювавши
почленно ряд (43).

R.Маємо:

а) f’(x) =m(1+x)m-1, fn(x) =m(m-1) (1+x)m-2,…,

N;

N;

в) 1+ mx

, опускаємо.

дістаємо відомий розклад двочлена, який називають біномом Ньютона (гл.
5. п. 5.4.).

Збіжність біноміального ряду в кінцевих точках інтервалу (-1;1) залежить
від числа m.

Ряд ((45) збіжний до функції (1+ч)m в таких випадках:

;

;

.

Приймемо ці твердження без доведення.

і сума його дорівнює (1-х)-1.

6. Не зупиняючись на деталях, зазначимо, що коли у формулі (46)
покласти – х замість х, потім – х2 замість х і знайдені ряд про
інтегрувати, то дістанемо розклад в степеневий ряд функції ln(1+x) і
функції arctg x (формули (47), (48)).

Ряди (42) = (48) використовуються при знаходження степеневих рядів для
інших функцій.

Приклади

1.Розкласти в ряд функцію f(x) = x2 ln (1-x3).

Поклавши у форму (47) – х3 замість х, маємо

Похожие записи