.

Розклад числа на прості множники (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 1835
Скачать документ

Реферат на тему:

Розклад числа на прості множники

, де pi – взаємно прості числа, ki ??1 .

Задача перевірки числа на простоту є простішою за задачу факторизації.
Тому перед розкладанням числа на прості множники слід перевірити число
на простоту.

Означення. Розбиттям числа називається задача представлення натурального
числа n у вигляді n = a * b, де a, b – натуральні числа, більші за 1 (не
обов’язково прості).

Метод Ферма

Нехай n – складене число, яке не є степенем простого числа. Метод Ферма
намагається знати такі натуральні x та y, що n = x2 – y2. Після чого
дільниками числа n будуть a = x – y та b = x + y: n = a * b = (x – y)(x
+ y).

Якщо припустити що n = a * b, то в якості x та y (таких що n = x2 – y2)
можна обрати

Приклад. Виберемо n = 143 = 11 * 13.

Тоді x = (13 + 11) / 2 = 12, y = (13 – 11) / 2 = 1.

Перевірка: x2 – y2 = 122 – 11 = 143 = n.

< x < (n + 1) / 2.< x.., (n + 1) / 2], перевіряючи при цьому чи є вираз x2 - n повним квадратом.= 19.202 – 391 = 9 = 32. Маємо рівність: 391 = 202 – 32.Звідси 391 = (20 – 3)(20 + 3) = 17 * 23.Алгоритм Полард - ро факторизації числаУ 1974 році Джон Полард запропонував алгоритм знаходження нетривіального дільника натурального числа n. Пр цьому алгоритм використовує лише операції додавання, множення та віднімання модулярної арифметики., тобто починаючи з індекса i = n1 послідовність {xi mod n} буде періодичною.+ 3 mod 21.Тоді послідовність xi має вигляд: 1, 4, 19, 7, 10, 19, 7, 10, ... .Таким чином x3 = x6, період послідовності дорівнює 3.Послідовність xi можна відобразити у вигляді кола з хвостом: коло відповідає періодичній частині, а хвіст – доперіодичній. Картинка нагадує грецьку літеру ?, тому метод який застосовується в алгоритмі називається ? – евристикою. Послідовність із попереднього прикладу можна зобразити так:Ідея алгоритму полягає в обчисленні для кожного i > 0 значення d =
НСД(x2i – xi, n). Якщо на деякому кроці d > 1, то це і є нетривіальний
дільник числа n.

Побудуємо послідовність елементів xi наступним чином:

+ 1) mod n, i > 0

Алгоритм

Вхід: натуральне число n, параметр t ? 1.

Вихід: нетривіальний дільник d числа n.

1. a =?2, b =?2;

2. for i ??1 to t do

2.1. Обчислити a ???a2 + 1) mod n; b ???b2 + 1) mod n; b ???b2 + 1) mod
n;

2.2. Обчислити d ??НСД(a – b, n);

2.3. if 1 < d < n return (d); // знайдено нетривіальний дільник3. return (False); // дільника не знайдено) операцій модулярного множення.Якщо алгоритм Поларда – ро не знаходить дільника за t ітерацій, то замість функції f(x) = (x2 + 1) mod n можна використовувати f(x) = (x2 + c) mod n, для деякого цілого c, c ? 0, -2.Приклад. Нехай n = 19939.Послідовність xi: 2, 5, 26, 677, 19672, 11473, 12391, 6582, 15217, 5483, 15217, 5483, 15217, ... .a b d2 2 15 26 126 19672 1677 12391 119672 15217 111473 15217 112391 15217 157Знайдено розклад 19939 = 157 * 127.Нехай n = 143. Послідовність xi: 2, 5, 26, 105, 15, ... .a b d2 2 15 26 НСД(21, 143) = 126 15 НСД(11, 143) = 11Знайдено розклад 143 = 11 * 13.Ймовірносний квадратичний алгоритм факторизації числаТвердження. Нехай x та y – цілі числа, x2 ? y2 (mod n) та x ? ?y (mod n). Тоді x2 – y2 ділиться на n, при чому жоден із виразів x + y та x – y не ділиться на n. Число d = НСД(x2 – y2, n) є нетривіальним дільником n.Теорема. Якщо n – непарне складене число, яке не є степенем простого числа, то завжди існують такі x та y, що x2 ? y2 (mod n), при чому x ? ? y (mod n).Доведення. Нехай n = n1 * n2 – добуток взаємно простих чисел. Оберемо таке y, що НСД(y, n) = 1. Далі розв’яжемо систему рівнянь:Розв’язком системи будуть такі x та y за модулем n = НСК(n1, n2), що x2 ? y2 (mod n). Якщо при цьому припустити, що x ? – y (mod n), то з другого рівняння системи маємо: y ? – y (mod n2), або 2 * y = 0 (mod n2). Оскільки було обрано НСД(y, n2) = 1, то з останньої рівності випливає що n2 ділиться на 2, тобто є парним. Це суперечить умові теореми про непарність n.Приклад. Виберемо n1 = 11, n2 = 13 – взаємно прості числа. Тоді n = 11 * 13 = 143. Покладемо y = 5, НСД(5, 143) = 1. Складемо систему порівнянь:Розв’язком системи буде x ? 60 (mod 143).Має місце рівність 602 ? 52 (mod 143) , при чому 60 ? ?5 (mod 143).Тоді дільником числа n буде d = НСД(60 – 5, 143) = 11.Формально ймовірносний квадратичний алгоритм факторизації будується на наступній ідеї:Нехай F = {p0, p1, p2, …, pt} – множникова основа, pi – різні прості числа, при чому дозволяється обрати p0 = -1. Побудуємо множину порівнянь? zi ,таку що значення zi є повіністю факторизованими у множині F :,та добуток деякої підмножини значень zi є повним квадратом:= y2, y ??Z, fi ??{0, 1}і перевіривши виконання нерівності x ? ? y (mod n), отри маємо x2 ? y2 (mod n). Число d = НСД(x2 – y2, n) є нетривіальним дільником n.Приклад. Знайти дільник числа n = 143.Обираємо випадково число x ? [2, 142], обчислюємо x2 (mod 143) та розкладаємо результат на множники:1. z1 = 192 (mod 143) = 75 = 3 * 52.2. z2 = 772 (mod 143) = 66 = 2 * 3 * 11.3. z3 = 292 (mod 143) = 126 = 2 * 32 * 7.4. z4 = 542 (mod 143) = 56 = 23 * 7.Можна помітити, що добуток z3 та z4 є повним квадратом:z = z3 * z4 = 24 * 32 * 72 = (22 * 3 * 7)2 = 842Маємо рівність:z3 * z4 = 292 * 542 ? 842 (mod 143)або враховуючи що 29 * 54 (mod 143) ? 136, маємо:1362 = 842 (mod 143), при чому 136 ? ?84 (mod 143)Дільником числа n = 143 буде d = НСД(136 – 84, 143) = НСД(52, 143) = 13.Квадратичний алгоритм факторизації.. Розглянемо многочленq(x) = (x + m)2 - nКвадратичний алгоритм обирає ai = x + m (x = 0, ?1, ?2, …), обчислює значення bi = (x + m)2 – n та перевіряє, чи факторизується bi у множниковій основі F = {p0, p1, p2, …, pt}.= (x + m)2 – n ? (x + m)2 (mod n) ? bi (mod n).АлгоритмВхід: натуральне число n, яке не є степенм простого числа.Вихід: нетривіальний дільник d числа n.1. Обрати множникову основу F = {p0, p1, p2, …, pt}, де p0 = -1, pi – i - те просте число p, для якого n є квадратичним лишком за модулем p.].3. Знаходження t + 1 пари (ai, bi).Значення x перебираються у послідовності 0, ?1, ?2, … .Покласти i ? 1. Поки i ? t + 1 робити:3.1. Обчислити b = q(x) = (x + m)2 – n та перевірити, чи розкладається b у множниковій основі F. Якщо ні, обрати наступне x та повторити цей крок.. Покласти ai = x + m, bi = b, vi = (vi1, vi2, …, vit), де vij = eij mod 2, 1 ??j ??t.3.3. i ? i + 1.= 0.mod n.) / 2.mod n.= 0 та перейти до кроку 5.9. Обчислити дільник d = НСД(x – y, n).Приклад. Розкласти на множники n = 24961.1. Побудуємо множникову основу: F = {-1, 2, 3, 5, 13, 23}] = 157.3. Побудуємо наступну таблицю:i x q(x) факторизація q(x) ai vi1 0 -312 -23 * 3 * 13 157 (1, 1, 1, 0, 1, 0)2 1 3 3 158 (0, 0, 1, 0, 0, 0)3 -1 -625 -54 156 (1, 0, 0, 0, 0, 0)4 2 320 26 * 5 159 (0, 0, 0, 1, 0, 0)5 -2 -936 -23 * 32 * 13 155 (1, 1, 0, 0, 1, 0)6 4 960 26 * 3 * 5 161 (0, 0, 1 ,1, 0, 0)7 -6 -2160 -24 * 33 * 5 151 (1, 0, 1, 1, 0, 0)4. Виберемо T = {1, 2, 5}, оскільки v1 + v2 + v5 = 0.5. Обчислимо x = (a1a2a5) (mod n) = 936 = 26 * 34 * 132.6. l1 = 1, l2 = 3, l3 = 2, l4 = 0, l5 = 1, l6 = 0.7. y = -23 * 32 * 13 (mod n) = 24025.8. Оскільки 936 ??–24025 (mod n), необхідно шукати іншу множину T.9. Виберемо T = {3, 6, 7}, оскільки v3 + v6 + v7 = 0.10. Обчислимо x = (a3a6a7) mod n = 23405 = 210 * 34 * 56.11. l1 = 1, l2 = 5, l3 = 2, l4 = 3, l5 = 0, l6 = 0.12. y = -25 * 32 * 53 (mod n) = 13922.13. 23405 ? ?13922 (mod n).d = НСД(x – y, n) = НСД(9483, 24961) = 109 – дільник.Відповідь: 109 – дільник 24961.Література1. Pomerance C. Analysis and comparison of some integer factorization algorithms. In Computational Methods in Number Theory, vol.154, H.Lenstra and R.Tijdeman, Eds. Amsterdam Mathematics Center 1982, pp. 89 – 139.7101941

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019