Індивідуальне завдання

на тему:

“Різницеві рівняння”

ПЛАН

1. Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами

2. Однорідні різницеві рівняння

3. Неоднорідне різницеве рівняння

4. Використана література

1. Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами

Означення. Лінійним різницевим рівнянням n-го порядку називається
рівняння

(1)

через оператор зсуву S, то можемо записати різницеве рівняння в
рівнозначній формі

(2)

Число n називається порядком різницевого рівняння. Це рівняння можна
також записати в операторній формі

(3)

, то рівняння називається неоднорідним.

Нагадаємо, що оператор зсуву S

(4)

Далі, замість слів “різницеве рівняння” будемо використовувати
позначення РР. Для однозначного визначення розв’язків РР достатньо
задати початкові умови

(5)

(k=0, 1, 2,…), яка при підстановці її в РР (2) перетворює його в
тотожність.

2. Однорідні різницеві рівняння

Наведемо деякі властивості розв’язків однорідного РР

(6)

Звідси маємо, що РР має розв’язок:

.

(7)

називають загальним, якщо за рахунок вибору довільних сталих С1, С2,…,
Сn можна задовольнити довільні початкові умови (6).

Завжди має розв’язок відносно сталих С1, С2, …, Сn.

Означення. Визначник

(8)

називається визначником Вронського.

.

З рівняння при k=0, 1, 2… одержимо рівняння

Виходячи з цього, РР (6) має частинний розв’язок.

Число ? називається мультиплікатором розв’язків РР (6).

, то для визначення мультиплікаторів одержимо алгебраїчні рівняння

Це рівняння називається мультиплікаторним або характеристичним.

будуть лінійно незалежні, так як визначник Вронького

.

Приклад. Знайдемо загальний розв’язок РР.

(k=0, 1, 2, …).

Приклад. Знайдемо частинний розв’язок РР

з початковими умовами у0=0, у1=1.

Загальний розв’язок в комплексній формі має вигляд

(k=0, 1, 2,…).

Цей розв’язок у дійсній формі має вигляд

Для визначення сталих С3, С4 одержимо систему лінійних алгебраїчних
рівнянь

що задовольняє задані початкові умови.

має корінь ?1 кратності п1, то РР (6) має п1 лінійно незалежних
часткових розв’язків

Наведемо теорему про загальний розв’язок РР (6).

, то загальний розв’язок РР (6) одержимо у вигляді

Приклад. Знайдемо загальний розв’язок РР

3. Неоднорідне різницеве рівняння

Неоднорідне РР

(9)

завжди може бути зведене до підсумовування відомих функцій, якщо
використовувати метод варіації довільних сталих.

Загальний розв’язок неоднорідного РР (9) є сумою частинного розв’язку
неоднорідного РР та загального розв’язку однорідного РР.

Найбільш часто зустрічається РР

(10)

де Qq(k) – многочлен від k степеня q. Можна довести теорему.

, де Rq(k) деякий многочлен від k степеня q.

.

Многочлен Rq(k) можна знайти методом невизначенних коефіцієнтів.

Підставляючи у РР, одержимо рівняння для визначення А, В.

з якого знаходимо

.

Приклад. Шукаємо частинний розв’язок РР

Використана література:

Дубовик В. П., Юрчик І. І. Вища математика. -К.: Вища школа., 1993.

Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов. — М.: ЮНИТИ, 1997.

Рудницький В.Б., Кантемир І.І. Практичні заняття з курсу вищої
математики. – Хмельницький, 1999. – ч.1. – 437 с.

Рудницький В.Б., Кантемир І.І. Практичні заняття з курсу вищої
математики. – Хмельницький, 2000. – ч.2. – 315 с.

Кантемир І.І. Вища математика. Методичні вказівки та контрольні завдання
для студентів спеціальності “ Менеджмент організацій” заочної форми
навчання. Хмельницький, 2001. — 155 с.

М.С.Красс. Математика для экономических специальностей.- М.: ИНФА, 1998.
– 463 с.

PAGE

PAGE 9

Похожие записи