Реферат на тему:

Різницеві лінійні рівняння

При використанні ПЕОМ усі неперервні за часом процеси дискретизуються.
Від неперервно змінних аргументів переходять до дискретно змінних
аргументів, бо цифрова машина може діяти тільки з числами. При цьому від
диференціальних рівнянь переходять до різницевих рівнянь. Зокрема,
економічні дані фіксуються дискретно, наприклад, через тиждень, місяць,
рік і т. п. Аналіз цих даних також приводить до різницевих рівнянь.
Наведемо основні положення про лінійні різницеві рівняння зі сталими
коефіцієнтами.

Оператор зсуву

Введемо символічний оператор S, дія якого на функцію у(х) полягає в
збільшенні значення аргументу на сталу величину h(h > 0):

. (8.67)

Оператор S називається оператором зсуву. У загальному випадку рівність

. (8.68)

Приклад. Справджуються такі рівності:

,

.

.

.

яку можна записати у вигляді символічної формули:

(8.69)

У подальшому проводимо дискредитацію аргументу х, беручи

(8.70)

Із попередніх формул (8.67) — (8.70) дістаємо рівність

На практиці користуємось функціями від оператора зсуву

, (8.71)

які називаються операторами спадної і зростаючої різниць.

.

Із формули

, (8.72)

використовуючи формулу бінома Ньютона, дістаємо формулу для операторів
(k, що називаються спадними різницями порядку k

Аналогічні формули можна дістати для додатних степенів оператора зсуву S
через степені оператора (.

(8.73)

Звідси знаходимо формули:

Зауважимо, що різниці k-го порядку від многочлена k-го порядку є
сталими.

при x0 = 0, h =1 (табл. 8.2):

Таблиця 8.2

xn yn (yn (2yn (3yn

0

1

2

3

4

5

6 –1

–1

1

5

11

19

29

0

2

4

6

8

10

2

2

2

2

2

0

0

0

0

Аналогічно знаходять зростаючі різниці функції у(х).

Інтерполювання функцій,

що задаються таблично

.

Використовуючи формулу бінома Ньютона, дістаємо інтерполяційну формулу
Грегорі—Ньютона:

. (8.74)

Приклад. Із таблиці 8.2 знайдемо значення функції у(х) при х = 3.5.

( При xn = 3 знаходимо значення функції і її спадних різниць у(3) = 5,
(у(3) = 6, (2у(3) = 2, (3у(3) = 0.

З формули (8.74) при t = 0,5, h = 1 дістаємо:

.

Аналогічно можна використати іншу формулу Грегорі—Ньютона

(8.75)

, можна знайти похідну функції у(х). З формули (8.69) знайдемо оператор
диференціювання:

. (8.76)

З цієї формули знаходимо формулу чисельного диференціювання:

. (8.77)

Приклад. Використовуючи таблицю 8.2, знайдемо значення у((4).

.

Підносячи рівність (8.76) у квадрат, дістаємо формулу для знаходження
похідної другого порядку:

.

Підсумовування функцій

Наведемо відомий спосіб для обчислення суми виду

. (8.78)

Введемо функцію (F)x, яка задовольняє різницеве рівняння

. (8.79)

і підсумовуючи рівняння, дістаємо рівність

. (8.80)

.

:

Звідси знаходимо розв’язок різницевого рівняння (8.79) у вигляді
розкладу:

(8.81)

Приклад. Знайдемо розв’язок різницевого рівняння

.

( З формули (8.81) при h = 1 дістаємо вираз

.

Знайдемо вираз для суми

.

З формули (8.81) знайдемо формулу Ейлера для виразу суми через
визначений інтеграл:

(8.82)

Формула Ейлера пов’язує суму з визначеним інтегралом. На основі цієї
формули можна вивести формули для знаходження визначених інтегралів:

(8.83)

Наведемо також формулу чисельного інтегрування Грегорі:

(8.84)

яка використовує тільки дискретні значення функції у (х).

Приклад. Обчислимо інтеграл від функції у = х2 – х – 1, заданий у табл.
8.2.

По формулі (8.84) знаходимо значення інтеграла:

Лінійні різницеві рівняння

зі сталими коефіцієнтами

Означення. Лінійним різницевим рівнянням n-го порядку називається
рівняння

, (8.85)

через оператор зсуву S (8.72), то можемо записати різницеве рівняння в
рівносильній формі

(8.86)

Число n називається порядком різницевого рівняння. Це рівняння можна
також записати в операторній формі:

(k = 0, 1, 2, …).

. (8.87)

, то рівняння називається неоднорідним.

Нагадаємо, що оператор зсуву має таку властивість:

(8.88)

Далі, замість слів «різницеве рівняння» будемо використовувати
позначення РР. Для однозначного визначення розв’язків РР достатньо
задати початкові умови:

. (8.89)

, яка при підставлянні її в РР (8.86) перетворює його на тотожність.

.

Однорідні різницеві рівняння

Наведемо деякі властивості розв’язків однорідного РР

(8.90)

1. Якщо РР (8.90) має частинні розв’язки yk = yk,1 (k = 0, 1, 2, …), то
воно має також розв’язок yk = Cуk,1, C = const.

2. Якщо РР (8.90) має два розв’язки yk = yk,1, yk = yk,2, то воно має
також розв’язок yk = yk,1 + yk,2. Звідси випливає, що РР має розв’язок:

Означення. Розв’язок РР (8.90) при а0 ? 0.

(8.91)

називають загальним, якщо за рахунок вибору довільних сталих С1, С2,
…, Сn можна задовольнити довільні початкові умови (8.89).

завжди має розв’язок відносно сталих С1, С2, …, Сn.

Означення. Визначник

(8.92)

називається визначником Вронського.

Замінюючи k на k + 1 у визначнику (8.92), дістаємо рівняння для
визначника Вронського:

.

.

З рівняння при k = 0, 1, 2, … дістаємо:

.

L N \ ^ z ¶ ? ae e e i .

0

d

f

h

j

x

z

 

c

¤

¦

E

I

ae

\ ^ | x

?

$

O

j

j

$

$

$

$

!

$

gdA{Y

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

j%

j8

-зв’язок.

(k = 0, 1, 2, …) обмежений при (a( ( 1; прямує до нуля при k ( +(;
якщо (a( ( 1; необмежено зростає за модулем при (a( ( 1.

Л. Ейлер запропонував шукати розв’язок РР (8.90) у вигляді yk = (k,
( = const (k = 0, 1, 2 …). Число ( називається мультиплікатором
розв’язків РР (8.90).

, то для визначення мультиплікаторів дістанемо алгебраїчне рівняння

Це рівняння називається мультиплікаторним або характеристичним.

.

будуть лінійно незалежні, оскільки визначник Вронського

.

Приклад. Знайдемо загальний розв’язок РР.

.

.

Приклад. Знайдемо частинний розв’язок РР

з початковими умовами у0 = 0, у1 = 1.

.

Загальний розв’язок в комплексній формі має вигляд

.

Цей розв’язок у дійсній формі має вигляд

.

Для визначення сталих С3, С4 дістаємо систему лінійних алгебраїчних
рівнянь:

.

, що задовольняє задані початкові умови.

має корінь (1 кратності n1, то РР (8.90) має n1 лінійно незалежних
частинних розв’язків

.

Наведемо теорему про загальний розв’язок РР (8.90).

, то загальний розв’язок РР (8.90) подається у вигляді

Приклад. Знайдемо загальний розв’язок РР

.

має трикратний корінь ( = 2. Тому загальний розв’язок має вигляд

.

Будь-яке різницеве рівняння n-го порядку (8.90) можна записати у вигляді
системи n рівнянь першого порядку виду

Приклад. Різницеве рівняння

.

Введемо позначення

.

При цьому дістанемо рівняння

які можна записати у вигляді системи РР

,

.

Звідси маємо загальний розв’язок системи РР:

.

Приклад. Знайдемо загальний розв’язок системи РР

Знайдемо власні числа матриці А із рівняння

Дістанемо:

Знаходимо фундаментальну матрицю розв’язків

і загальний розв’язок системи різницевих рівнянь:

Неоднорідне різницеве рівняння

Неоднорідне РР

(8.93)

завжди може бути зведене до підсумовування відомих функцій, якщо
використовувати метод варіації довільних сталих.

Загальний розв’язок неоднорідного РР (8.93) є сумою частинного розв’язку
неоднорідного РР та загального розв’язку однорідного РР.

Найчастіше зустрічається РР

, (8.94)

— многочлен від k степеня q. Можна довести теорему.

деякий многочлен від k степеня q.

можна знайти методом невизначених коефі-

цієнтів.

.

.

Підставляючи у РР, дістаємо рівняння для визначення А, В:

,

.

.

Приклад. Шукаємо частинний розв’язок РР

.

.

Економічна модель прискорення

Самюельсона—Хікса

Споживання Ct через прибутки Yt виражається формулою

(8.95)

Вкладання Іt через прибутки Yt виражається формулою

(8.96)

Прибуток Yt у сучасний період є сума споживання Ct, вкладання Іt та
постійних витрат А:

. (8.97)

Виключаючи Ct, Іt, дістаємо різницеве рівняння

(8.98)

Частинний розв’язок РР знаходимо у вигляді

. Однорідне РР

.

Тоді мультиплікатори мають вигляд

.

.

ЛІТЕРАТУРА

Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы,
ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. —
К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. —
М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ,
1967. — 352 с.

Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука,
1986. — 224 с.

Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1975. — 416 с.

Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б.
П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь,
1995. — 240 с.

Похожие записи