Реферат на тему:

Різницеві інтерполяційні формули

Як побачимо далі, ІП можна розглядати як узагальнення відрізку ряду
Тейлора.

, РР 1- го порядку визначаються рівністю

РР 2- го порядку:

-1)-го порядку за формулою

Лема.Справедлива рівність

. (1)

Безпосередньо з (1) випливає ряд наслідків.

РР є лінійним функціоналом від функції :

, тобто не змінюється при їх перестановці.

, то таблицю

називають таблицею розділених різниць.

За допомогою РР можна одержати іншу форму запису ІП Лагранжа:

.

. Таким чином, можна написати

, (2)

визначено нами раніше.

можна подати у вигляді

). (3)

. Отже,

.

, одержуємо

.

, маємо

.

, тому

.

Підставляючи це в (3), одержимо

.

Таке представлення ІП називається формулою Ньютона з розділеними
різницями. З порівняння ІП Ньютона і Лагранжа випливає важлива рівність

. (4)

, то на підставі (4) маємо

.

, то внаслідок (4) маємо

.

.

Справедлива рівність

. (5)

полягає в послідовному обчисленні за допомогою (5) елементів таблиці
значень ІП.

або з найкращою можливою точністю при наявній інформації,

Побудова алгоритму, яку ми зараз розглянемо, є досить типовою для
ситуації, що виникає на практиці. Неможливо запропонувати обгрунтований
алгоритм розв’язку поставленої задачі для всіх функцій, якщо про функцію
нічого не відомо, крім її значень в заданих точках. Але, припускаючи, що
функція є досить гладкою, одержуємо практичний критерій оцінки похибки
і, грунтуючись на ньому, будуємо алгоритм розв’язку задачі.

.

Раніше ми одержали вираз для похибки (2)

,

припиняються.

Розглянемо тепер дещо узагальнену задачу інтерполювання. Якщо у вузлах
інтерполяції відомі не лише значення шуканої функції, а й її похідних до
деякого порядку, то було б нерозумним не скористатися цією додатковою
інформацією.

, що задовольняє умовам:

. . . . . . . (6)

,

відповідно.

задoвoльняє cпіввідношенням

,

+1.

.

. Таблиця РР, відповідних цьому набору вузлів, має вигляд:

Запишемо ІП Ньютона з розділеними різницями:

Виражаючи РР через похідні, маємо

.

прямують до деякого поліному

,

.

Поліном

записується у вигляді

.

. Отже, цей поліном є шуканим.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

1. Довести рівність

.

При доведенні можна викристати метод математичної індукції.

.

, РР більш високих порядків дорівнюють нулю.

4. Дать порівняльну характеристику ІП Лагранжа та Ньютона.

.

.

.

.

Похожие записи