Реферат на тему:
Рівняння в повних диференціалах
1. Загальна теорія
Якщо ліва частина диференціального рівняння
, тобто
,
то рівняння називається рівнянням в повних диференціалах. Звідси вираз
є загальним інтегралом диференціального рівняння.
Критерієм того, що рівняння є рівнянням в повних диференціалах, тобто
необхідною та достатньою умовою, є виконання рівності
Нехай маємо рівняння в повних диференціалах. Тоді
Звідси
.
Остаточно, загальний інтеграл має вигляд
Як відомо з математичного аналізу, якщо відомий повний диференціал
,
. Більш зручно брати криву, що складається із двох відрізків прямих. В
цьому випадку криволінійний інтеграл розпадається на два простих
інтеграла
В цьому випадку одразу одержуємо розв’язок задачі Коші.
.
2. Множник, що Інтегрує
В деяких випадках рівняння
така, що рівняння
вже буде рівнянням в повних диференціалах. Необхідною та достатньою
умовою цього є рівність
,
або
.
– відома функція. В цьому випадку одержуємо
Після підстановки в рівняння маємо
,
або
.
Розділимо змінні
Проінтегрувавши і поклавши сталу інтегрування одиницею, одержимо:
.
Розглянемо частинні випадки.
І формула має вигляд
.
І формула має вигляд
.Тоді
І формула має вигляд
.
І формула має вигляд
.
3. Вправи для самостійної роботи
.
Приклад 1.4.1. Розв’язати рівняння
.
Розв’язок. Перевіримо, що це рівняння є рівнянням в повних
диференціалах. Обчислимо
.
. Отримаємо
.
. Отримаємо
.
.
Перевірити, що дані рівняння є рівняннями в повних диференціалах, і
розв’язати їх:
;
Розв’язати, використовуючи інтегруючий множник
;
;
;
;
.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
