Про систему задач для вивчення інтеграла.

Система задач для вивчення первісної та інтеграла в навчальному
посібнику (1) недостатньо досконала. Завдання тут в основному зводяться
до обчислення площ фігур (№1022-1027, 1037-1042, 1081-1087) і інтеграла
(1028-1036, 1071-1080), тобто, так як і в задачниках з математичного
аналізу для втузів, мають тренувальний характер. Між тим відомо, що
різноманітність задач допомагає краще засвоїти вивчаюче поняття, його
різні прояви. До того ж у запропонованих в (1) задачах недостатньо
використовуються раніше засвоєні знання, поняття інтеграла тим самим
немов ізолюється від іншого курсу алгебри та початків аналізу, при
розв’язуванні задач не закріпляються раніше здобуті знання.

В методичній літературі є деякі спроби спростити систему вправ для
вивчення первісної та інтеграла. Так, наведені деякі вправи у збірнику
задач (3), але в більшості вони важкі для учнів XI класу й іноді далеко
виходять за рамки шкільної програми. Деякі цікаві і змістовні вправи є
в (4), (2), (5), але тут поміщені тільки деякі задачі.

В цій статті пропонуються задачі, для розв’язку яких крім знань про
інтеграл застосовуються знання, уміння і навички з інших розділів
алгебри і початків аналізу. При цьому розширюється клас функцій,
інтеграли від яких можуть бути обчисленні учнями XI класу, досягається
необхідна різноманітність задач, піднімається зацікавленість учнів у
вивченні цього розділу програми.

I

Відомо, що міцні, стійкі і гнучкі вміння формуються тоді, коли вони
застосовуються разом із раніше здобутими уміннями і навичками. Саме
таким чином знову сформовані уміння включаються у систему знань і умінь
учнів. До того ж розв’язування задач, які потребують застосування раніше
отриманих знань, істотно допомагає закріпленню вивченого і сприяє
формуванню важливого вміння застосовувати знання в різноманітних
ситуаціях.

На уроках у XI класі будуть корисними задачі, в яких знаходженню
первісної (обчисленню інтеграла) передувало б спрощення або перетворення
формули, що задає функцію. Такі наступні задачі.

Знайдіть яку-небудь первісну для заданої функції:

;

;

;

;

;

;

;

.

Обчисліть інтеграл, виконавши перед тим необхідні перетворення
підінтегральної функції:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

.

3*. Перетворивши підінтегральну функцію, обчисліть інтеграл:

;

;

;

.

Додаткового часу, як і додаткових завдань, для розгляду наведених задач
фактично не потрібно: їхній розв’язок потрібно зв’язати з повторенням.

Можна пропонувати і такі задачі на обчислення інтегралів, які
потребують більш складніших перетворень тригонометричних виразів.

4*. Обчисліть інтеграл:

;

;

;

;

;

.

Розв’язок задачі 4 (д):

Задачі 3–4 корисно розглядати на позакласних або факультативних
заняттях.

Принесе користь розв’язування і наступних задач.

5. Обчисліть, попередньо перетворивши підінтегральну функцію:

;

;

;

.

До цього часу розглядалися вправи, в яких потрібно було обчислити
інтеграл, використовуючи для цього відомості із попереднього курсу
алгебри і математичного аналізу. Але і задачам, в яких інтеграл відіграє
допоміжну роль, потрібно відвести час на уроках або позакласних
заняттях. Ось приклади таких вправ.

6. Розв’яжіть рівняння:

;

;

.

і є коренем рівняння:

;

.

.

, для яких правильна нерівність:

;

<4. 10*. Знайдіть найменше і найбільше значення інтеграла: ; . II Глибоке розуміння геометричного змісту інтеграла допомагає як обчислювати площі різних фігу, так і знаходити числові значення інтегралів, обчислювати які за відомими вивчаючими формулами не вдається. Скориставшись геометричним змістом інтеграла, можна знаходити числові значення інтеграла від деяких функцій, методи інтегрування яких не відомі учням, а площі фігур, обмежених графіками підінтегральних функцій, можна обчислювати і без допомоги інтеграла. 11. Виходячи із геометричного змісту інтеграла обчисліть: ; ; ; ; ; . В деяких випадках обчисленню інтеграла допомагають і додаткові міркування, наприклад застосування симетрії. . . Рис.1 (рис. 2б). Тепер площу заштрихованого трикутника (а він конгруентний трикутнику на рис. 2а) можна обчислити за допомогою інтеграла, але вже від функції, оберненої до арксинуса, тобто від функції синус: . Це і є первісна арксинуса. Рис.2 Таким самим чином можна знайти первісну ще для деяких функцій, попередньо встановивши, яка функція обернена до даної. Показаний прийом можна застосувати і для обчислення площ (див. [6]). . 14*. Обчисліть: ; ; 15*. Знайдіть функції, обернені до даних, і які-небудь первісні для обернених функцій: ; . 16*. Виберіть обернену функцію, первісна якої відома, і знайдіть одну із первісних оберненої функції. III Необхідно попереджати можливість формального підходу до обчислення інтегралів. Перед тим як обчислювати інтеграл, потрібно переконатися, що на відрізку інтегрування існує первісна підінтегральної функції: формула Нютона–Лейбніца використовується тільки для неперервних функцій, а вони мають первісну. Щоб не було непорозумінь, корисно привчати учнів перед формальним інтегруванням встановлювати, чи неперервна задана (під інтегралом) функція. З цією метою корисно розглянути наступну задачу: . Чи правильні ці рівності? Якщо ні, то в чому заключається помилка? функція не є неперервною. Дальше, час від часу, корисно пропонувати поряд із інтегралами від неперервних функцій і такі задачі, обчислення інтеграла в яких недопустиме через розрив функції на відрізку інтегрування, а також наступні задачі. ; 19*. При яких значеннях границі інтегрування існують наступні інтеграли: ; ? 20*. Обчисліть: ; , якщо це можливо. . В задачі 20 (б) підінтегральна функція на відрізку інтегрування не визначена. Запропоновані задачі, без сумніву, будуть допомагати свідомомому засвоєнню поняття первісної та інтеграла. Частина з них може бути розв’язаною на уроці, деякі, помічені зірочками, краще пропонувати на позакласних або факультативних заняттях. PAGE 6 x y 0 1 -1 б) а) 0 1 t 0

Похожие записи