Пошукова робота

на тему:

Приклади складання рівняння лінії на площині за даними її геометричними
властивостями. Пряма на площині. Площина. Пряма в просторі. Пряма і
площина.

План

Приклади складання рівняння лінії на площині за даними її геометричними
властивостями.

Рівняння прямої на площині.

Площина.

Пряма в просторі.

Кут між прямими, умови паралельності та перпендикулярності. Кут між
площинами, умови паралельності та перпендикулярності.

Віддаль від точки до прямої на площині та від точки до площини.

Пряма та площина.

Пряма на площині

1. Рівняння прямої на площині

     Рівняння першого степеня, що зв’язує координати точки на площині, —
це рівняння

      (3.3)

.

     Рівняння (3.3) називається загальним рівнянням прямої на площині.

). Це значить, що її координати задовольняють рівняння (3.7)

Вираховуючи із рівняння (3.7) дану рівність, одержимо рівняння прямої,
що проходить через задану точку

      (3.4)

) також лежить на прямій. В цьому

  Рис.3.7

 (параметр), що

    (3.5)

Рівняння (3.5) називається векторно-параметричим рівнянням прямої.

Записавши рівняння (3.5) в координатній формі, одержимо параметричні
рівняння прямої на площині

     (3.6)

    (3.7)

     Із рівняння (3.17) одержимо

в заданому напрямку

(3.8)

) з

із рівняння (3.8) одержимо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

 (3.9)

Підставивши в рівняння (3.7)

 одержимо рівняння прямої, що проходить через дві заданих точки

    (3.10)

Використавши рівняння (3.10), одержимо

 або

      (3.11)

Рівняння (3.11) називається рівнянням прямої у відрізках.

 перетинаються

 Рівняння

   (3.12)

називається рівнянням пучка прямих на площині.

2. Кут між прямими. Умови паралельності та перпендикулярності двох
прямих

 задані рівняннями

 . Позначимо через

 це кут між цими прямими.

Рис.3.8

то

   (3.13)

   (3.14)

    

3. Віддаль від точки до прямої

 і точка

Тоді

  (рис.3.9).

Рис.3.9

     Знайдемо площу паралелограма

Тоді одержимо:

  (3.15)

     Рівняння

     (3.16)

називається нормальним рівнянням прямої на площині.

 Діагоналі його перетинаються в початку координат. Написати рівняння
двох інших сторін паралелограма та його діагоналей.

 рівняння

шукаємо у вигляді

Рівняння діагоналі

          Рис.3.10

та проходить посередині між ними, якщо:

 

Площина

3. Рівняння площини

     Алгебраїчне рівняння першого степеня, що зв’язує координати точки в
просторі має вигляд

      (3.17)

. Отже, площина – це алгебраїчна поверхня першого порядку.

     Рівняння (3.17) називається загальним рівнянням площини.

Тоді

Вираховуючи із рівняння (3.17) дану рівність, одержимо рівняння площини,
що проходить через задану точку

.     (3.18)

 називається нормальним вектором площини.

    

   Рис.3.11            Рис.3.12

,

.

Записавши змішаний добуток трьох векторів в координатній формі, одержимо

      (3.19)

Рівняння (3.19) називається рівнянням площини, що проходить через три
заданих точки.

Тоді одержимо із рівняння (3.19)

або

.      (3.20)

Рівняння (3.20) називається рівнянням площини у відрізках.

Рівняння зв’язки площин

      

     Пучком площин називається сукупність площин, що проходять через
фіксовану пряму – вісь пучка. Рівняння пучка площин має вигляд

 де в дужках стоять ліві частини  рівняння двох площин пучка.

     Нехай ми маємо три площини, задані рівняннями

     Щоб знайти їх спільні точки, треба розв’язати систему заданих трьох
рівнянь, що описують ці площини. Якщо система має єдиний розв’язок, то
площини мають спільну точку (перетинаються в одній точці).

     Якщо розв’язки не існують, то спільних точок немає. У випадку
безлічі спільних точок можливі два випадки: або всі три

площини перетинаються по спільній прямій (пучок трьох площин), або всі
три площини співпадають. Другий випадок можливий лише тоді, коли всі три
рівняння зводяться до одного (пропорційність всіх чотирьох
коефіцієнтів).

3.4.2 . Кут між двома площинами

Умови  паралельності і перпендикулярності двох площин

 (рис.3.13). Очевидно, що величина  двогранного кута між двома

площинами дорівнюватиме відповідному куту між їх нормальними

 .

 і

, тобто      

 (3.21)

. Отже, умови паралельності двох площин визначаються так:

,     (3.22)   

     (3.23)     

     Рис.3.13

3.4.3. Віддаль від точки до площини

 її нормальний вектор. то рівняння (3.18) можна записати у векторній
формі

Тоді рівняння площини можна записати у вигляді

(3.24)

, поділивши об’єм паралелепіпеда на площу основи (рис.3.14). Ми
одержимо

     Рис.3.14   або в координатній формі

 маємо

     (3.25)

.

а) Перевірити чи лежать чотири точки в одній площині;

Написати рівняння:

 і перпендикулярна

     Обчислити:

     Р о з в ‘ я з о к.

 компланарні (змішаний добуток трьох векторів дорівнює нулю) :

 не лежать в одній площині.

:

 

 тоді

)

 

3.5. Пряма в просторі

3.5.1. Рівняння прямої в просторі

 то останню рівність в координатній формі можна записати так:

     (3.26)

параметр).

одержимо канонічне рівняння прямої в просторі

(3.27)

 Підставляючи в рівняння (3.27)

 , одержимо рівняння прямої, що проходить через дві задані точки

  (3.28)

     Пряма в просторі може задаватися як лінія перетину двох площин

.  

що лежить на прямій, буде лежати і в цих площинах, то її координати
будуть задовольняти обидва рівняння цих площин, тобто систему рівнянь.
Отже рівняння такої прямої можна записати у вигляді системи рівнянь

 (3.29)

3.5.2. Кут між двома прямими в просторі.

Умови паралельності та перпендикулярності

, заданих рівняннями

,

 Тому

     (3.30)

  будуть колінеарні. Тоді одержимо умову паралельності двох прямих

   (3.31)

, і ми маємо умову перпендикулярності двох прямих

 (3.32)

3.5.3. Кут між прямою і площиною.

Умови паралельності та перпендикулярності прямої і площини

задана канонічним рівнянням

— загальним рівнянням

.

це кут між  

 і

Отже, кут між прямою і площиною визначається за формулою

    (3.33)

 перпендикулярні. Тому умова паралельності прямої і площини має вигляд

      (3.34)

 колінеарні, і умова перпендикулярності прямої і площини запишеться так

 (3.35)

     Приклад 1. Обчислити віддаль між двома паралельними прямими

.

, розв’язавши систему рівнянь

 в параметричній формі

, тобто

 і розв’яжемо систему рівнянь

Похожие записи