Реферат з вищої математики
на тему:
Правило Лопіталя.
Теореми Коші і Лагранжа
1. Правило Лопіталя
У попередній главі ми ознайомилися з деякими способами розкриття
невизначеностей. Розглянемо ще один спосіб, який ґрунтується на
застосуванні похідних.
визначені і диференційовні в околі точки х0, за винятком, можливо,
самої точки х0, причому
.
, для якої
, то з рівності маємо:
, маємо
то теорему і можна застосувати ще раз. При цьому дістанемо
. Цю саму границю матиме й відношення функцій:
.
визначені і диференційовні в околі точки х0 і в цьому околі
і
Цю теорему приймемо без доведення.
Виражене теоремами 1 і 2 правило обчислення границь називають правилом
Лопіталя за іменем математика, який опублікував його. Але це правило
відкрив І. Бернуллі, тому правило Лопіталя називають ще правилом
Бернуллі – Лопіталя.
покажемо, як ці невизначеності зводяться до основних.
можна звести до основних так:
або
:
, то
.
, їх треба спочатку звести до основних і лише після цього застосувати
правило Лапіталя.
Приклад.
Обчислити границі:
;
, тому за правилом Лопіталя маємо
тому
після чого застосовуємо правило Лопіталя:
після чого застосуємо правило Лопіталя:
. Маємо
, потім скористаємось правилом Лопіталя:
тому
, тоді
є). Тут невизначеність виду 00, тоді
ж). Для розкриття цієї невизначеності правило Лопіталя потрібно
застосувати п разів:
2. Теореми Коші і Лагранжа
, що
Введемо допоміжну функцію
, в якій F’(c)=0 або
звідки й випливає формула.
, в якій
дістанемо формулу.
Розглянемо геометричний зміст теореми Лагранжа. Запишемо формулу у
вигляді
тоді
задовольняє умові теореми Лагранжа, та на графіку цієї функції
знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична до графіка паралельна
хорді, що сполучає кінці кривої А (a;f(a)) i B(b;f(b)). Таких точок може
бути і кілька, але хоча б одна завжди існує.
. У теоремі Лагранжа вказується лише на існування точки с, для якої
справедлива формула, але використання цієї теореми у математичному
аналізі надзвичайно широке.
миттєва швидкість неодмінно збігається із середньою швидкістю:
.
неодмінно знайдеться така швидкість S’(c), що коли її підтримувати
сталою, то за той самий проміжок часу [t1;t2] точка пройде той самий
шлях S(t2)-S(t1) , що і при русі із зміною швидкістю S’(t):
. Зрозуміло, що ці інтерпретації вірні лише тоді, коли закон руху S(t)
задовольняє умови, які відповідають умовам теорем Ролля і Лагранжа.
Приклади.
має лише один дійсний корінь.
Знайдена суперечність показує, що припущення про існування ще одного
кореня було хибним.
на відрізку [1;5]? При якому значенні с?
то теорема Ролля на цьому відрізку справджується.
Значення с знаходимо з рівняння f’(x)=2x-6=0, звідки с=3.
3. Крива у=х2-4х сполучає точки А(1;-3) і В(4;0). На дузі АВ знайти
точку М0(х0; у0), в якій дотична паралельна хорді АВ.
для якої
де f’(x)=2x-4. Підставивши відповідні значення, дістанемо
Довести.
Необхідність була доведена в п.2.2
Тоді за теоремою Лагранжа.
.
5. Довести, що
тоді
тому з попередньої задачі випливає, що
arcsinx+arccosx=c.
.
тоді за теоремою Лагранжа:
дорівнює
Тому
Застосуємо тепер формулу Лагранжа до різниці перших похідних:
, то дістанемо оцінку
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter