Практичне заняття

і покажемо, що існує такий номер N, що для всіх членів послідовності з
номерами n > N виконується нерівність

(1)

Для визначення N досить розв’язати нерівність (1) відносно n:

.

, то за N можна взяти 1 або будь-яке інше натуральне число.

2. З’ясувати, чи має границю послідовність (xn), якщо:

) монотонно зростає. Отже, вона має границю.

. Отже, згідно з означенням, послідовність немає границі, тобто є
розбіжною.

. Тоді за властивістю 2) задана послідовність має границю, що дорівнює
0.

3. Обчислити границі:

, тому його границя також дорівнює нулю. Отже, за властивістю 1( задана
послідовність є нескінченно малою.

(найвищий степінь n). Дістанемо

, то, застосувавши теорему про границю суми і добутку, помічаємо, що
границя чисельника дорівнює 1, а знаменника 3. за теоремою про границю
частки маємо

, а потім скористаємось теоремою про границю суми і частки. Дістанемо

г) Аналогічно попередньому маємо

У прикладах б) — г) порівняйте старші степені чисельників і знаменників
заданих дробів і зробіть висновок відносно одержаних відповідей.

д) У даному випадку маємо різницю двох нескінченно великих
послідовностей. Позбавимося ірраціональності в чисельнику, вважаючи, що
знаменник дорівнює 1, і застосуємо теорему про зв’язок нескінченно малої
і нескінченно великої послідовностей. Матимемо.

е) Поділивши чисельник і знаменник виразу, що стоїть в дужках, на n і
скориставшись властивістю степеня, дістанемо

Користуючись теоремою про границю добутку, частки і формули (1), маємо

, то

ж) Маємо границю послідовності комплексних чисел. Обчислимо границі
дійсної та уявної частин цієї послідовності. Оскільки

Вправи для самоперевірки

1. Довести, що:

, коли:

, якщо:

;

Відповідь: а) так; б) так; в) ні.

4. Обчислити границі:

; 6) 6; 7) 1; 8) 2;

;

.

Відповідь: S=3.

Використовуючи теорему про границю добутку маємо:

Відповідь: — 9.

.

Завдання для перевірки знань

має границею число 2.

має границею число 1,5.

Похожие записи