Реферат на тему:
Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі
Якщо кожний експеримент має лише два несумісні наслідки (події) зі
сталими ймовірностями p і q, то їх називають експериментами за схемою
Бернуллі. У кожному експерименті випадкова подія з імовірністю p
відбувається, а з імовірністю q — не відбувається, тобто p + q = 1.
Простір елементарних подій для одного експерименту містить дві
елементарні події, а для n експериментів за схемою Бернуллі —2n
елементарних подій.
1. Формула Бернуллі
Імовірність того, що в результаті n незалежних експериментів за схемою
Бернуллі подія А з’явиться m раз, подається у вигляді
. (29)
Імовірність того, що в результаті n незалежних експериментів подія А
з’явиться від mі до mj раз, обчислюється так:
. (30)
Оскільки
, (31)
дістанемо
; (32)
. (33)
Приклад 1. Імовірність того, що електролампочка не перегорить при
ввімкненні її в електромережу, є величиною сталою і дорівнює 0,9.
Обчислити ймовірність того, що з п’яти електролампочок, увімкнених у
електромережу за схемою, наведеною на рис. 14, не перегорять: 1) дві; 2)
не більш як дві; 3) не менш як дві.
Рис. 14
Розв’язання. За умовою задачі маємо: р = 0,9; q = 0,1; n = 5; m = 2.
Згідно з (29), (32), (33) дістанемо:
;
= q5 + 5p q4 + 10p2 q3 = (0,1)5 + 5 0,9 (0,1)4 + 10 (0,9)2 (0,1)3=
= 0,00001 + 5 · 0,9 ( 0,0001 + 10 ( 0,81 ( 0,001 =
= 0,00001 + 0,00045 + 0,0081 = 0,00856;
.
Приклад 2. Робітник обслуговує шість верстатів-автоматів. Імовірність
того, що протягом години верстат-автомат потребує уваги робітника, є
величиною сталою і дорівнює 0,6. Яка ймовірність того, що за годину
уваги робітника потребують: 1) три верстати; 2) від двох до п’яти
верстатів;
3) принаймні один.
.
Згідно з (29), (30), (33), дістаємо:
;
=15 (0,6)2 (0,4)4 + 20 (0,6)3 (0,4)3 + 15 (0,6)4 (0,4)2+ 6 (0,6)5 0,4
=
= 15 ( 0,36 ( 0,0256 + 20 ( 0,216 ( 0,064 + 15 ( 0,1296 ( 0,16 + 6 (
0,07776 ( 0,4 =
= 0,13824 + 0,27648 + 0,31104 + 0,186624 = 0,902384;
.
2. Найімовірніше число появи
випадкової події (мода)
Найімовірнішим числом появи випадкової події А в результаті n незалежних
експериментів за схемою Бернуллі називається таке число m0, для якого
ймовірність Рn (m0) перевищує або в усякому разі є не меншою за
ймовірність кожного з решти можливих наслідків експериментів.
Приклад. Імовірність появи випадкової події А в кожному з
n = 8 незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює р = 0,5 (q
= 1 – р = 0,5). Обчислити ймовірності подій для m = 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8. Значення обчислених імовірностей наведено в таблицi:
. Отже, найімовірніше число появи події є m0 = 4.
.
Справді, запишемо формули для обчислення ймовірностей при значеннях
m = m0; m = m0 – 1; m = m0 + 1 і розглянемо їх відношення:
; (а)
. (б)
Об’єднавши нерівності (а) і (б), дістанемо:
. (34)
Число m0 називають також модою.
Приклад 1. У разі додержання певної технології 90% усієї продукції,
виготовленої заводом, є найвищого сорту. Знайти найімовірніше число
виробів найвищого сорту в партії з 200 штук.
Розв’язання. За умовою задачі n = 200; р = 0,9; q = 1 – р = 0,1.
Використовуючи подвійну нерівність (34), дістаємо:
.
Отже, найімовірніше число виробів першого сорту серед 200 дорівнює 180.
Приклад 2. Імовірність того, що студент складе іспит з математики, є
величиною сталою і дорівнює в середньому 0,8. Нехай є група з восьми
студентів. Знайти найімовірнішу кількість членів цієї групи котрі
складуть іспит з математики, і обчислити відповідну ймовірність.
Розв’язання. За умовою задачі n = 8; p = 0,8; q = 0,8.
.
Доходимо висновку: найімовірніша кількість студентів, які складуть
екзамен, m0 = 7. Відповідна ймовірність дорівнює 0,524288.
Обчислення ймовірностей за формулою Бернуллі при великих значеннях n і m
пов’язане з певними труднощами. Щоб уникнути їх, застосовують
асимптотичні формули, що випливають з локальної та інтегральної теорем
Муавра—Лапласа.
3. Локальна теорема
, то для великих значень n і m імовірність того, що випадкова подія А
настане m раз, подається такою асимптотичною формулою:
, (35)
називається функцією Гаусса. Функція Гаусса протабульована, і її
значення наведено в дод. 1, де
. (36)
Тут x є рівномірно обмеженою величиною відносно n і m.
!
Доведення. Із (36) випливає, що
; (37)
. (38)
вирази (37), (38) прямують до нескінченності.
Із (37), (38) маємо:
; (39)
. (40)
Із (39), (40) випливає, що за досить великих значень n
m ( np, n – m ( nq. (41)
Для доведення теореми скористаємося формулою Стірлінга:
?–k . (42)
Використовуючи (42) для формули Бернуллі, дістаємо:
. (43)
Коли n ( ?, маємо:
.
Для дослідження поводження А при n ( ? прологарифмуємо (43)
. (44)
Розклавши логарифмічні функції у виразі (44) у ряд Тейлора і обмежившись
двома членами ряду, скористаємося (37) і (38):
маємо:
Отже,
,
а для великих, хоча й обмежених значень n
,
що й потрібно було довести.
Властивості функції Гаусса:
;
;
;
;
— максимум функції Гаусса;
.
Таким чином, х1 = –1, х2 = 1 будуть точками перегину. При цьому
.
Графік функції Гаусса зображено на рис. 15.
Рис. 15
Зауважимо, що розв’язуючи задачі, додержують такого правила:
.
, що показано на графіку функції Гаусса (рис. 16).
Рис. 16
Приклад 1. Фабрика випускає 75% виробів 1-го сорту. Із партії готових
виробів навмання беруть 400 деталей. Обчислити ймовірності таких
випадкових подій:
1) виробів 1-го сорту виявиться 290 шт.;
2) 300 шт.;
3) 320 шт.
Розв’язання. За умовою задачі маємо:
n = 400; p = 0,75; q = 0,25; m = 290; 300; 320.
;
;
;
;
;
;
.
Z
\
~
?
†
?
E
E
I
o
o
T
AE
gdHD•
@
B
D
F
?
?
U
Ue
u
ue
th
????????
???????????
jE
??
???
????????????
gdHD•
???????????
j
?????????????
AE
AE
AE
gdHD•
AE
gdHD•
gdHD•
u
??????????????
gdHD•
в лабораторних умовах. Визначити найімовірніше число зернин, що
проростуть із цієї кількості зернин, та обчислити ймовірність цього
числа.
Розв’язання. За умовою задачі:
Отже, шукане число m0 = 630.
Відповідна ймовірність буде така:
;
;
;
.
4. Інтегральна теорема
, то для великих значень n імовірність появи випадкової події від mі до
mj раз обчислюється за такою асимптотичною формулою:
, (45)
,
є функцією Лапласа, значення якої наведено в дод. 2.
!
Доведення. Імовірність того, що в результаті n незалежних експериментів
подія відбудеться від mі до mj раз, обчислюється за формулою
.
Згідно з (35) для досить великого числа спроб n маємо наближену
рівність:
,
де
;
.
Отже, можна записати:
. (46)
Тут (46) є інтегральною сумою, а тому
Для великих, але обмежених значень n дістанемо:
, що й потрібно було довести.
Властивості функції Лапласа
1. Ф(x) визначена на всій осі абсцис.
2. Ф(–x) = – Ф(x), отже, Ф(x) є непарною функцією.
3. Ф(0) = 0.
є інтегралом Пуассона.
, як непарна функція.
, отже, Ф (х) є функцією неспадною.
Таким чином, x = 0 є точкою перегину.
Графік функції Ф(х) зображено на рис. 17
Рис. 17 Рис. 18
Розв’язуючи задачі, додержують такого правила:
.
, що ілюструє рис. 18.
Приклад 1. Верстат-автомат виготовляє однотипні деталі. Імовірність
того, що виготовлена одна деталь виявиться стандартною, є величиною
сталою і дорівнює 0,95. За зміну верстатом було виготовлено 800 деталей.
Яка ймовірність того, що стандартних деталей серед них буде: 1) від 720
до 780 шт.; 2) від 740 до 790 шт.?
Розв’язання. За умовою задачі:
;
.
;
;
;
;
Приклад 2. В електромережу ввімкнено незалежно одну від одної 500
електролампочок, які освітлюють у вечірній час виробничий цех заводу.
Імовірність того, що електролампочка в електромережі не перегорить, є
величиною сталою і дорівнює 0,8. Яка ймовірність того, що з 500
електролампочок не перегорить:
1) не більш як 380 шт.;
2) не менш як 390 шт.
Розв’язання. За умовою задачі:
;
;
;
;
5. Використання інтегральної теореми
За допомогою (45) можна оцінити близькість відносної частоти W(А) до
ймовірності p випадкової події А. Нехай p — імовірність появи випадкової
події А в кожному експерименті за схемою Бернуллі й W(А) — відносна
частота появи цієї події при n експериментах.
Необхідно оцінити ймовірність події (W(A) – р( 0 і є малою
величиною). Якщо n набуває великих значень, то можна за формулою (45)
дістати:
Р(|W(A) – p| 0, щоб P(|W(A) – p| ЛІТЕРАТУРА Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерное приложение. — М.: Наука, 1988. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1961. PAGE 1 PAGE
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
