Реферат на тему:

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі

Якщо кожний експеримент має лише два несумісні наслідки (події) зі
сталими ймовірностями p і q, то їх називають експериментами за схемою
Бернуллі. У кожному експерименті випадкова подія з імовірністю p
відбувається, а з імовірністю q — не відбувається, тобто p + q = 1.

Простір елементарних подій для одного експерименту містить дві
елементарні події, а для n експериментів за схемою Бернуллі —2n
елементарних подій.

1. Формула Бернуллі

Імовірність того, що в результаті n незалежних експериментів за схемою
Бернуллі подія А з’явиться m раз, подається у вигляді

. (29)

Імовірність того, що в результаті n незалежних експериментів подія А
з’явиться від mі до mj раз, обчислюється так:

. (30)

Оскільки

, (31)

дістанемо

; (32)

. (33)

Приклад 1. Імовірність того, що електролампочка не перегорить при
ввімкненні її в електромережу, є величиною сталою і дорівнює 0,9.

Обчислити ймовірність того, що з п’яти електролампочок, увімкнених у
електромережу за схемою, наведеною на рис. 14, не перегорять: 1) дві; 2)
не більш як дві; 3) не менш як дві.

Рис. 14

Розв’язання. За умовою задачі маємо: р = 0,9; q = 0,1; n = 5; m = 2.
Згідно з (29), (32), (33) дістанемо:

;

= q5 + 5p q4 + 10p2 q3 = (0,1)5 + 5 0,9 (0,1)4 + 10 (0,9)2 (0,1)3=

= 0,00001 + 5 · 0,9 ( 0,0001 + 10 ( 0,81 ( 0,001 =

= 0,00001 + 0,00045 + 0,0081 = 0,00856;

.

Приклад 2. Робітник обслуговує шість верстатів-автоматів. Імовірність
того, що протягом години верстат-автомат потребує уваги робітника, є
величиною сталою і дорівнює 0,6. Яка ймовірність того, що за годину
уваги робітника потребують: 1) три верстати; 2) від двох до п’яти
верстатів;

3) принаймні один.

.

Згідно з (29), (30), (33), дістаємо:

;

=15 (0,6)2 (0,4)4 + 20 (0,6)3 (0,4)3 + 15 (0,6)4 (0,4)2+ 6 (0,6)5 0,4
=

= 15 ( 0,36 ( 0,0256 + 20 ( 0,216 ( 0,064 + 15 ( 0,1296 ( 0,16 + 6 (
0,07776 ( 0,4 =

= 0,13824 + 0,27648 + 0,31104 + 0,186624 = 0,902384;

.

2. Найімовірніше число появи

випадкової події (мода)

Найімовірнішим числом появи випадкової події А в результаті n незалежних
експериментів за схемою Бернуллі називається таке число m0, для якого
ймовірність Рn (m0) перевищує або в усякому разі є не меншою за
ймовірність кожного з решти можливих наслідків експериментів.

Приклад. Імовірність появи випадкової події А в кожному з

n = 8 незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює р = 0,5 (q
= 1 – р = 0,5). Обчислити ймовірності подій для m = 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8. Значення обчислених імовірностей наведено в таблицi:

. Отже, найімовірніше число появи події є m0 = 4.

.

Справді, запишемо формули для обчислення ймовірностей при значеннях
m = m0; m = m0 – 1; m = m0 + 1 і розглянемо їх відношення:

; (а)

. (б)

Об’єднавши нерівності (а) і (б), дістанемо:

. (34)

Число m0 називають також модою.

Приклад 1. У разі додержання певної технології 90% усієї продукції,
виготовленої заводом, є найвищого сорту. Знайти найімовірніше число
виробів найвищого сорту в партії з 200 штук.

Розв’язання. За умовою задачі n = 200; р = 0,9; q = 1 – р = 0,1.

Використовуючи подвійну нерівність (34), дістаємо:

.

Отже, найімовірніше число виробів першого сорту серед 200 дорівнює 180.

Приклад 2. Імовірність того, що студент складе іспит з математики, є
величиною сталою і дорівнює в середньому 0,8. Нехай є група з восьми
студентів. Знайти найімовірнішу кількість членів цієї групи котрі
складуть іспит з математики, і обчислити відповідну ймовірність.

Розв’язання. За умовою задачі n = 8; p = 0,8; q = 0,8.

.

Доходимо висновку: найімовірніша кількість студентів, які складуть
екзамен, m0 = 7. Відповідна ймовірність дорівнює 0,524288.

Обчислення ймовірностей за формулою Бернуллі при великих значеннях n і m
пов’язане з певними труднощами. Щоб уникнути їх, застосовують
асимптотичні формули, що випливають з локальної та інтегральної теорем
Муавра—Лапласа.

3. Локальна теорема

, то для великих значень n і m імовірність того, що випадкова подія А
настане m раз, подається такою асимптотичною формулою:

, (35)

називається функцією Гаусса. Функція Гаусса протабульована, і її
значення наведено в дод. 1, де

. (36)

Тут x є рівномірно обмеженою величиною відносно n і m.

!

Доведення. Із (36) випливає, що

; (37)

. (38)

вирази (37), (38) прямують до нескінченності.

Із (37), (38) маємо:

; (39)

. (40)

Із (39), (40) випливає, що за досить великих значень n

m ( np, n – m ( nq. (41)

Для доведення теореми скористаємося формулою Стірлінга:

?–k . (42)

Використовуючи (42) для формули Бернуллі, дістаємо:

. (43)

Коли n ( ?, маємо:

.

Для дослідження поводження А при n ( ? прологарифмуємо (43)

. (44)

Розклавши логарифмічні функції у виразі (44) у ряд Тейлора і обмежившись
двома членами ряду, скористаємося (37) і (38):

маємо:

Отже,

,

а для великих, хоча й обмежених значень n

,

що й потрібно було довести.

Властивості функції Гаусса:

;

;

;

;

— максимум функції Гаусса;

.

Таким чином, х1 = –1, х2 = 1 будуть точками перегину. При цьому

.

Графік функції Гаусса зображено на рис. 15.

Рис. 15

Зауважимо, що розв’язуючи задачі, додержують такого правила:

.

, що показано на графіку функції Гаусса (рис. 16).

Рис. 16

Приклад 1. Фабрика випускає 75% виробів 1-го сорту. Із партії готових
виробів навмання беруть 400 деталей. Обчислити ймовірності таких
випадкових подій:

1) виробів 1-го сорту виявиться 290 шт.;

2) 300 шт.;

3) 320 шт.

Розв’язання. За умовою задачі маємо:

n = 400; p = 0,75; q = 0,25; m = 290; 300; 320.

;

;

;

;

;

;

.

Z

\

~

?

?

E

E

I

o

o

T

AE

gdHD•

@

B

D

F

?

?

U

Ue

u

ue

th

????????

???????????

jE

??

???

????????????

gdHD•

???????????

j

?????????????

AE

AE

AE

gdHD•

AE

gdHD•

gdHD•

u

??????????????

gdHD•

в лабораторних умовах. Визначити найімовірніше число зернин, що
проростуть із цієї кількості зернин, та обчислити ймовірність цього
числа.

Розв’язання. За умовою задачі:

Отже, шукане число m0 = 630.

Відповідна ймовірність буде така:

;

;

;

.

4. Інтегральна теорема

, то для великих значень n імовірність появи випадкової події від mі до
mj раз обчислюється за такою асимптотичною формулою:

, (45)

,

є функцією Лапласа, значення якої наведено в дод. 2.

!

Доведення. Імовірність того, що в результаті n незалежних експериментів
подія відбудеться від mі до mj раз, обчислюється за формулою

.

Згідно з (35) для досить великого числа спроб n маємо наближену
рівність:

,

де

;

.

Отже, можна записати:

. (46)

Тут (46) є інтегральною сумою, а тому

Для великих, але обмежених значень n дістанемо:

, що й потрібно було довести.

Властивості функції Лапласа

1. Ф(x) визначена на всій осі абсцис.

2. Ф(–x) = – Ф(x), отже, Ф(x) є непарною функцією.

3. Ф(0) = 0.

є інтегралом Пуассона.

, як непарна функція.

, отже, Ф (х) є функцією неспадною.

Таким чином, x = 0 є точкою перегину.

Графік функції Ф(х) зображено на рис. 17

Рис. 17 Рис. 18

Розв’язуючи задачі, додержують такого правила:

.

, що ілюструє рис. 18.

Приклад 1. Верстат-автомат виготовляє однотипні деталі. Імовірність
того, що виготовлена одна деталь виявиться стандартною, є величиною
сталою і дорівнює 0,95. За зміну верстатом було виготовлено 800 деталей.
Яка ймовірність того, що стандартних деталей серед них буде: 1) від 720
до 780 шт.; 2) від 740 до 790 шт.?

Розв’язання. За умовою задачі:

;

.

;

;

;

;

Приклад 2. В електромережу ввімкнено незалежно одну від одної 500
електролампочок, які освітлюють у вечірній час виробничий цех заводу.
Імовірність того, що електролампочка в електромережі не перегорить, є
величиною сталою і дорівнює 0,8. Яка ймовірність того, що з 500
електролампочок не перегорить:

1) не більш як 380 шт.;

2) не менш як 390 шт.

Розв’язання. За умовою задачі:

;

;

;

;

5. Використання інтегральної теореми

За допомогою (45) можна оцінити близькість відносної частоти W(А) до
ймовірності p випадкової події А. Нехай p — імовірність появи випадкової
події А в кожному експерименті за схемою Бернуллі й W(А) — відносна
частота появи цієї події при n експериментах.

Необхідно оцінити ймовірність події (W(A) – р(< ( (( > 0 і є малою
величиною). Якщо n набуває великих значень, то можна за формулою (45)
дістати:

Р(|W(A) – p| < () = . Отже, . (46а) Приклад 1. Імовірність виходу з ладу виробу під час проведення експерименту, який має на меті виявити надійність виробу в роботі, дорівнює 0,2. Було перевірено 400 виробів. Чому дорівнює ймовірність такої події: абсолютна величина відхилення відносної частоти виходу із ладу виробів від імовірності p = 0,2 становить ( = 0,01? Розв’язання. За умовою задачі: n = 400; p = 0,2; q = 0,8; ( = 0,01. Підставивши ці значення в (46), дістанемо: Приклад 2. У разі автоматичного виготовлення втулок брак становить у середньому 10%. Скільки втулок має взяти контролер, аби ймовірність того, що абсолютна величина відхилення відносної частоти появи стандартної втулки W(A) (А — випадкова подія, що полягає в появі стандартної втулки) від імовірності p виготовлення такої втулки не перевищує ( = 0,001, дорівнювала 0,999: . Розв’язання. За умовою задачі: q = 0,1, ( = 0,001, p = 1 – q = 1 – 0,1 = = 0,9; . Далі маємо: Оскільки 2Ф(x) = 0,999, то Ф(x) = 0,4995 ? x ( 3,4 (див. дод. 2). . Тобто контролер має перевірити 1 040 400 втулок. Приклад 3. Імовірність появи випадкової події в кожному з 900 незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює 0,75. Яким має бути значення ( > 0, щоб P(|W(A) – p| < () = = 0,99? Розв’язання. За умовою задачі: n = 900; p = 0,75; q = 0,25; 2Ф(x) = 0,99. Далі маємо Ф(x) = 0,495; x = 2,74 і . Отже, умову задачі задовольняє значення ( ( 0,04. 6. Формула Пуассона для малоймовірних випадкових подій обчислюється за такою асимптотичною формулою: , (47) яка називається формулою Пуассона. ! . Запишемо формулу Бернуллі у такому вигляді: , дістаємо: . , . Отже, , а для великих, але обмежених значень n маємо: , що й потрібно було довести. Із (47) випливає: ; (48) . утворюють повну групу. Функція Рn (m) визначається за таблицею, наведеною в дод. 3, за заданим m і обчисленим значенням а = np. Приклад 1. Радіоприлад містить 1000 мікроелементів, які працюють незалежно один від одного, причому кожний може вийти з ладу під час роботи приладу з імовірністю р = = 0,002. Обчислити ймовірності таких випадкових подій: 1) під час роботи приладу з ладу вийдуть 3 мікроелементи; 2) від трьох до шести. . Оскільки n велике, а р мале число, то для обчислення ймовірностей застосуємо формули (47) і (48). Для цього обчислимо значення параметра а = np = 1000 · 0,002 = 2. . Приклад 2. Імовірність того, що під час епідемії грипу мешканець міста захворіє на цю хворобу, становить у середньому 0,03%. Яка ймовірність того, що серед навмання вибраних 300 мешканців міста хворих на грип виявиться: 1) 5 осіб; 2) не більш як 3 особи. Обчислюємо значення параметра а = np = 300 ( 0,003 = 0,9. 0,002001. ЛІТЕРАТУРА Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерное приложение. — М.: Наука, 1988. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1961. PAGE 1 PAGE

Похожие записи