Пошукова робота

на тему:

Поверхні обертання.Циліндричні та конічні поверхні. Канонічні рівняння
поверхонь другого порядку (сфера, еліпсоїд, гіперболоїди, еліптичний і
гіперболічний параболоїди).

План

Поверхні обертання.

Циліндричні поверхні.

Конічні поверхні.

Еліпсоїд.

Однопорожнинний і двопорожнинний гіперболоїди.

Еліптичний та гіперболічний параболоїди.

3.7. Поверхні другого порядку

            Розглянемо алгебраїчні поверхні другого порядку. Загальне
рівняння такої поверхні має вигляд:

                                           (3.44)

Опишемо важливі поверхні другого порядку. Скласти собі загальне
представлення про більшість поверхонь другого порядку можна, розглянувши
поверхні обертання ліній другого порядку навколо їх осей симетрії.

3.7.1. Поверхні обертання

називається віссю обертання. Кожна точка лінії при цьому опише коло
(рис.3.25).

 

 і лежить в площині, що

 перпендикулярна цій осі.                          Рис.3.25

 що належить

                                 (3.45)

3.7.2. Конічні поверхні

згідно формули (3.49) має рівняння

і носить назву прямого кругового конуса (рис.3.26).

 переводить прямий круговий конус в поверхню з рівнянням

                 (3.46)

яка називається конусом другого порядку. Конус складається із прямих, що
проходять       через початок координат. Переріз конуса

представляють собою еліпси

           

3.7.3. Еліпсоїд

 . Якщо кожну точку на

то всі точки еліпсоїда переходять в точки поверхні, що називається
еліпсоїдом (рис.3.27). Рівняння еліпсоїда має
вигляд                                                          
Рис.3.27

       (3.47)

Еліпсоїд представляє собою   замкнуту поверхню з центром симетрії в
початку координат. Еліпсоїд отримується із еліпсоїда обертання стиском
так само, як і еліпс отримується стиском кола. Очевидно, коли всі півосі
рівні, із (3.47) ми одержимо рівняння сфери

3.7.4. Однопорожнинний і двопорожнинний гіперболоїди

(яка її не перетинає) одержимо поверхню, яка називається
однопорожнинним гіперболоїдом обертання

 ми отримаємо поверхню, що називається однопорожнинним гіперболоїдом
(рис.3.28). рівняння цієї поверхні має вигляд

                                        

                                    (3.48)

            Через кожну точку однопорожнинного гіперболоїда (3.48)
проходять дві прямі (прямолінійні твірні)

 тобто рівняння однопорожнинного гіперболоїда (3.52). А це значить, що
всі точки прямих ліній при

 лежать на однопорожнинному гіперболоїді.

            Такі ж  міркування можна провести і для сімейства прямих

            Поверхня, що складається із прямих ліній, називається
лінійчатою поверхнею. Отже, однопорожнинний гіперболоїд – приклад
лінійчатої поверхні.

                

                Рис. 3.28                                             
Рис.3.29

 (осі, яка її перетинає), то отримаємо поверхню, що називається
двопорожнинним гіперболоїдом обертання. Рівняння цієї поверхні

            В результаті стиску цієї поверхні одержимо поверхню з
рівнянням

                                (3.49)

Поверхня, яка в деякій прямокутній декартовій системі координат має
рівняння вигляду (3.49), називається двопорожнинним гіперболоїдом
(рис.3.29). Двом віткам гіперболи відповідають дві не зв’язані між собою
частини поверхні. 

3.7.5. Еліптичний та гіперболічний параболоїди

отримаємо поверхню, що називається параболоїдом обертання. Її рівняння

параболоїд обертання переходить в поверхню з рівнянням

                            (3.50)

параболи.

            Поверхня, що має в деякій прямокутній декартовій системі
координат рівняння

                              (3.51)

називається  гіперболічним параболоїдом (рис.3.31). Її ще називають
сідлом.

            Гіперболічний параболоїд будується таким чином: задаються
дві параболи і одна з них переміщується так, щоби її вершина ковзала по
другій, причому обидві осі парабол паралельні, параболи знаходяться у
взаємно перпендикулярних площинах і їх вітки направлені в протилежні
сторони. При такому переміщенні рухома парабола описує гіперболічний
параболоїд.

            Рис.3.30                                 Рис.3.31

 гіпербола вироджується в пару прямих, що перетинаються.

            Гіперболічний параболоїд теж є лінійчатою поверхнею. Як і
однопорожнинний гіперболоїд, він має два сімейства прямолінійних
твірних, рівняння яких можна записати у вигляді

          

            Виводяться ці рівняння аналогічно, як це було зроблено для
одно порожнинного гіперболоїда.

Похожие записи