Реферат на тему:

Послідовності та їхні границі

Означення. Послідовністю називається множина чисел {xn} =

= x1,x2,…,xn,…, яка підпорядковується певному закону.

Числова послідовість може бути як скінченною, так і нескінченною.

Приклади послідовностей.

1. {xn} = 0, 1, 4, 9, 16, …

Тут загальний член послідовності {xn} заданий формулою xn = n2.

xn — n-е за порядком просте число, тобто

x1=1; x2=2; x3=3; x4=5; x5=7; x6=11;…

Означення. Число A називається границею послідовності {xn}, якщо для
довільного числа (>0 знайдеться такий номер N, починаючи з якого всі
члени послідовності потрапляють у (-окіл числа A .

.

За допомогою кванторів ? (“існує”) та ? (“для всіх”) останнє означення
можна записати так:

? (?(>0)(?N)(?n)[n>N ( |A-xn| < (] . Її границею є число 10. Зокрема, для (=0,1 номер N дорівнюватиме 10, оскільки |A-x11|=|10-10-1/11|<0,1=(; |A-x12|=|10-10-1/12|<0,1=(; . . . Для (=0,02 таким номером буде N=50 і так далі. Послідовність xn=n2 границі не має. Не має границі також послідовність 1,1; 2,1; 1,01;2,01;1,001;… Означення. Послідовність, яка має границю, називається збіжною. Послідовність, границею якої є число нуль, називається нескінченнно малою. .., тобто xn - нескінченно мала послідовність. Наведена нижче теорема описує властивості границь послідовностей. , то послідовності {xn ± yn}, {xn ( yn} також є збіжними, причому . . Приклади. . Це послідовність вигляду {xn(yn}. Згідно з теоремою . . , у якій як послідовність {xn}={n+5} , так і послідовність {yn}={4n} не є збіжними. Для того, щоб застосувати попередню теорему, потрібно спершу виконати штучний прийом: поділити як чисельник, так і знаменник на n . . . . Розглянемо дві числові послідовності спеціального вигляду. Приклад. Задано арифметичну прогресію: {an} = a1, a1+d, a2+d, a1+3d,… . Наприклад, для прогресії {xn} =2; 12; 32; 42; . . . an = 2+10(n-1) = 10n-8 Очевидно, що будь-яка арифметична прогресія є розбіжною послідовністю. Приклад. Задано геометричну прогресію b1; b1q; b1q2; b1q3; . . . . (3.1) , зокрема, S2=3/2. При |q| < 1 послідовність b1; b1q; b1q2; b1q3; ... є нескінченно малою. Така послідовність називається нескінченою геометричною прогресією. Сума всіх членів нескінченної (нескінченно спадної) геометричної прогресії (3.2) Приклад. Сума всіх членів прогресії 1; 1/2; 1/4; 1/8; . . . . Приклад. Сума всіх членів прогресії 1; -1/2; 1/4; -1/8; . . . (тут q = - 1/2 ).

Похожие записи