Курсова робота з математики на тему:

ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ

ЗМІСТ TOC \o «1-2» \h \z

HYPERLINK \l «_Toc71697433» Вступ PAGEREF _Toc71697433 \h 3

HYPERLINK \l «_Toc71697434» 1. ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ. ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ
PAGEREF _Toc71697434 \h 4

HYPERLINK \l «_Toc71697435» §1. ДЕЯКІ ЧУДОВІ ГРАНИЦІ PAGEREF
_Toc71697435 \h 4

HYPERLINK \l «_Toc71697436» §2. ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ PAGEREF
_Toc71697436 \h 9

HYPERLINK \l «_Toc71697437» §3. ЕКВІВАЛЕНТНІ ФУНКЦІЇ PAGEREF
_Toc71697437 \h 18

HYPERLINK \l «_Toc71697438» §4. МЕТОД ВИДІЛЕННЯ ГОЛОВНОЇ ЧАСТИНИ
ФУНКЦІЇ І ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ ДО ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ. PAGEREF
_Toc71697438 \h 21

HYPERLINK \l «_Toc71697439» ВИСНОВОК PAGEREF _Toc71697439 \h 26

Вступ

. При цьому x називають незалежною змінною, або аргументом, а y –
залежною змінною, або функцією.

В цій роботі передбачається розглянути: О-символіку Ландау для функцій
однієї змінної, заданої в проколотому околі довести ряд тверджень про
арифметичні дії над О-символами та еквівалентними функціями; деякі
важливі границі; способи порівняння функцій та ін.

Розглянути метод виділення головної частини функції в застосуванні до
обчислення до границь. Теоретичні дослідження проілюструвати
розв’язанням вправ

ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ. ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ

ДЕЯКІ ЧУДОВІ ГРАНИЦІ

В цьому пункті обчислюються границі, які неодноразово зустрічатимуться
надалі.

Лема 1.

(1.1)

Трикутник АОВ є частиною сектора АОВ, який у свою чергу є частиною
трикутника АОС; тому

отже,

або, замінюючи величини їм оберними

(1.2)

слідує рівність (1.1).

Наслідок 1.

(1.3)

Дійсно,

Наслідок 2.

(1.4)

, маємо

Наслідок 3.

(1.5)

Ця рівність випливає аналогічно попередній з (1.3).

Лема 2.

(1.6)

Рівність

(1.7)

натуральних чисел, такї, що

(1.8)

маємо

(1.9)

(1.10)

тому в силу (1.10)

що і означає виконання рівності (1.9).

тобто

(1.11)

Тому маємо:

(1.12)

Наголошуючи, що в силу (1,9)

і

, отримаємо

—первісна послідовність, яка задовільняє умовам (1.11), то тим самим
доведено, що

(1.13)

така, що.

тобто,

(1.14)

Тоді

,

де

і через вже доведену рівність (1.13)

була довільною послідовністю, що задовольняє умовам (1.14), тому

(1.15)

, яка також рівна е.

Наслідок 1.

(1.16)

Дійсно, використовуючи неперервність логарифмічної функції,
неперервність суперпозиції функцій і рівність (1.6), отримаємо:

Наслідок 2.

(1.17)

то

(1.І8)

еквівалентні. Застосуємо для обчислення границі (1.17) правило заміни
змінної.

, отримаємо

ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ

.

.

тоді

не існує.

і позначається:

).

ні про яку межу тут мови немає.

Доведення. З існування скінченої границі

,

.

, це записується у вигляді :

нескінченно малими одного порядку, бо

.

.

, що

(1.20)

і

(1.21)

бачимо, що умови (1.20) і (1.21) для вказаного проколеного околу
рівносильні умовам

тобто як говорять, еквівалентність двох функцій має властивість
симетричності.

Асимптотична рівність (еквівалентність) функцій позначається символом
~:

(1.22)

, отримаємо:

, то

то умови (1.20) і (1.21) еквівалентні співвідношенню

а, отже, й умові

виконуються умови (1.20) і (1.21).

Якщо

(1.23)

то

(1.24)

і, отже

,

, тобто виконується асимптотична рівність (1.24).

справедлива наступна еквівалентність нескінченно малих:

З цієї еквівалентності випливають і більш загальні співвідношення, які
сформулюємо у вигляді окремої леми.

така, що

(1.25)

,

(1.26)

Доведення. Покажемо, наприклад, що

(1.27)

що належить цоьму околі)

(1.28)

Покажемо, що

(1.29)

Оскільки

виконується нерівність

, то

, то

(1.30)

і, отже, нерівність (1.30) очевидно також виконується.

, то доведена справедливість асимптотичної рівності (1.27). Аналогічно
доводиться і решта асимптотичні формули (1.26).

).

,

, та умову

можна переписати у вигляді

розуміється будь-яка функція така, що

, або

.

тоді

При використовуванні рівності з символами О і о слідує мати на увазі, що
вони не є рівністю в звичайному значенні цього слова. Так, якщо

. Аналогічно, якщо

.

Як приклад на поводження з цими символами доведемо рівність

(1.31)

де с — стала.

.

вірна і при читанні справа наліво.

Приклади.

, бо

4.Так як |1/x2| ? |1/x| при |x| ? 1, то 1/x2 = O(1/x) при x ???;

5.1/x = O(1/x2) при x? 0 так как |1/x|? 1/x2 при |x|? 1.

6.Функції f(x) = x(2+sin 1/x) g(x) = x x ? 0 являються
нескінчено малими одного порядку при x? a , так як

f/g = (x(2+sin 1/x))/x = 2+sin 1/x = |2+sin 1/x| ? 3 ? f=O(g), g/f =
1/|2+sin 1/x| ? 1 ? g=O(f).

7. x2 = o(x) при x ? 0, так як limx ? 0x2/x = limx ? 0x = 0;

8.1/x2 = o(1/x) при x ????? так як limx ???x/x2 = limx
???1/x = 0

9.Знайти границю

Розв’язування. Використовуючи HYPERLINK
«http://www.de.isu.ru/uchebnew/» \l «e3» асимптотическое равенство (
HYPERLINK «http://www.de.isu.ru/uchebnew/» \l «e3» 3 ) и HYPERLINK
«http://www.de.isu.ru/uchebnew/» \l «e1» асимптотическое равенство (
HYPERLINK «http://www.de.isu.ru/uchebnew/» \l «e1» 1 ), а также
учитывая, что x2 = o(x) при x? 0 (см. HYPERLINK
«http://www.de.isu.ru/uchebnew/» \l «ex1» пример HYPERLINK
«http://www.de.isu.ru/uchebnew/» \l «ex1» 15 ) и f=o(x2) является
функцией o(x) при x? 0, найдем

ЕКВІВАЛЕНТНІ ФУНКЦІЇ

функції f і g. Нижче показано, що серед них лише ті, які еквівалентні
між собою:

можна записати, використовуючи символ “o мале»:

Сформулюємо сказану характеристичну властивість еквівалентних функцій у
вигляді теореми.

виконувалася умова

(1.32)

тобто

. Тоді

, тобто маємо (1.32).

Доведення достатності. Нехай виконується умова (1.32), тобто

. Тоді

)

.

Тоді якщо існує

(1.33)

, причому

(1.34)

означає, що

.

Тепер маємо:

Оскільки обидві частини рівності (1.34) рівноправні, то з доведеної
теореми виходить, що границя, що стоїть в лівій частині, існує тоді і
тільки тоді, коли існує границя в правій частині, причому у разі їх
існування вони співпадають. Це робить дуже зручним застосування теореми
2 на практиці: її можна використовувати для обчислення меж, не знаючи
наперед, існує чи ні дана межа.

МЕТОД ВИДІЛЕННЯ ГОЛОВНОЇ ЧАСТИНИ ФУНКЦІЇ І ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ ДО
ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ.

, бо

. Проте, якщо задається певним чином головної частини, то при його
вигідному виборі можна добитися того, що головна частина вказаного
вигляду буде визначена однозначно.

Зокрема, справедлива наступна лема.

, де А і k — сталі, то серед всіх головних частин такого вигляду вона
визначається єдиним чином.

,

і

, тобто

.

.

Покажемо на прикладах, як метод виділення головної частини нескінченно
малих застосовується до обчислення границь функцій. При цьому широко
використовуватимемо отримані нами співвідношення еквівалентності (1.26).

Нехай вимагається знайти межу (а значить, і довести, що він існує))

, а отже

, унаслідок чого

Очевидно також, що

, отримаємо

. Тепер маємо

тому

, і, значить, по теоремі 2,

Таким чином, шукана границя існує і рівний 2.

При обчисленні границя функцій за допомогою методу виділення головної
частини слід мати на увазі, що у випадках, не розглянутих в п. 1.3,
взагалі кажучи, не можна нескінченно малі замінювати еквівалентними їм.
Так, наприклад, при відшуканні границь вираження

.

. Зауважуючи, що

(1.35)

бачимо, що слід обчислити границю

, то звідси, згідно теоремі 2 цього параграфа, маємо

, а тому

таким чином,

Через неперервність показникової функції з (1.35) маємо

Спосіб обчислення границь за допомогою виділення головної частини
функції є дуже зручним, простим і разом з тим вельми загальним методом.
Деяке утруднення в його застосуванні зв’язано поки з тим, що ще немає
достатньо загального способу виділення головної частини функції.

Приклади:

PAGE

Похожие записи