Пошукова робота на тему:
Похідні і диференціали вищих порядків. Функції, задані параметрично, їх
диференціювання.
План
Похідні вищих порядків
Диференціали вищих порядків.
Похідна другого порядку від функції, заданої параметрично.
6.9. Похідні вищих порядків
.
Похідна другого порядку позначається одним із символів:
.
Отже, за означенням похідна другого порядку є похідна першого порядку
від похідної першого порядку, тобто
.
, треба функцію продиференціювати два рази.
.
.
цей результат диференціюємо ще раз. Маємо
.
Зауваження. Якщо рух матеріальної точки відбувається за законом
.
, як вже було з’ясовано, дорівнює швидкості точки в даний момент часу:
.
.
Отже, похідній другого порядку можна дати механічну інтерпретацію, а
саме: її можна тлумачити як величину, що дорівнює прискоренню рухомої
точки в даний момент часу.
Подібно до того як ми означили похідну другого порядку, визначається й
похідна третього порядку.
має похідну першого порядку .
Похідна першого порядку від похідної другого порядку називається
похідною третього порядку, або третьою похідною в точці, і позначається
одним із символів:
.
Отже, за означенням
.
Звідси й випливає правило знаходження похідної третього порядку, треба
функцію послідовно три рази продиференціювати.
.
.
Цей результат ще раз диференціюємо, тобто шукаємо
.
Продиференціювавши ще раз, знаходимо похідну третього порядку:
.
.
– ю похідною, позначається одним із символів:
.
– го порядку маємо таку рівність:
,
раз.
. Похідні п’ятого, шостого і т. д.
.
6.10. Диференціали вищих порядків
існує диференціал
.
.
.
. Матимемо
.
є приріст аргументу і є величина стала, то його можна виносити за знак
операції диференціювання. Отже, дістаємо такі формули для диференціала
другого порядку:
. (6.68)
.
Отже, згідно з означенням
.
– го порядку:
(6.69)
.
:
,
Тоді
.
.
Виявляється, що диференціали вищих порядків такої властивості не мають.
Покажемо це на прикладі диференціала другого порядку.
,
.
. Згідно з означенням
.
Оскільки диференціал першого порядку має інваріантну властивість, то
Остаточно дістанемо таку рівність:
. (6.70)
не дорівнює нулю.
Якщо функція задана параметрично
то її друга похідна обчислюється за формулою
(6.71)
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter