Реферат на тему:

Похідна функції

Означення похідної

:

. (4.1)

за змінною х і позначається

.

за аргументом х називається границя відношення приросту функції до
приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Операція знаходження похідної називається диференціюванням цієї функції.

Користуючись означенням похідної, знайти похідні функцій.

Приклад. Функція у = х2. Знайти похідну в точках х = 3 і х = – 4.

.

.

.

:

.

( Користуючись відомою з тригонометрії формулою

,

і обчислимо границю:

,

;

.

.

.

( Для цієї функції маємо

,

.

Геометричний зміст похідної

Означення. Дотичною до кривої L у точці М називається граничне положення
МN січної ММ1 при прямуванні точки М1 по кривій L до точки М (рис. 4.1).

.

і січна прямує до положення дотичної МN.

.

Рис. 4.1 Рис. 4.2

чисельно дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка
функції у точці з абсцисою х. У цьому полягає геометричний зміст
похідної.

Механічний зміст похідної

Припустимо, що точка М рухається прямолінійно нерівномірно по деякій
прямій лінії, яку візьмемо за вісь Ох (рис. 4.3).

Рис. 4.3

Рух точки відбувається за законом х = f (t), де х — шлях; t — час.
Знайдемо швидкість точки М у да-

ний момент часу t (миттєва швидкість).

.

до нуля середня швидкість точки М буде близька до її швидкості у
момент часу t. Тому за точне значення швидкості точки М у момент часу t
беруть величину

,

яка є швидкістю зміни функції х = f (t) у точці. У цьому полягає
механічний зміст похідної.

Рівняння дотичної і нормалі до плоскої кривої

.

Оскільки дотична й нормаль проходять через точку з абсцисою х0, то
рівняння кожної з них будемо шукати у вигляді рівняння прямої, що
проходить через задану точку М0 (х0; у0) у даному напрямі (рис. 4.4):

, (4.2)

.

Рис. 4.4

, то з виразу (4.2) ді-

станемо рівняння дотичної у вигляді

. (4.3)

Рівняння нормалі. Означення. Нормаллю до графіка функції в точці М0
називається перпендикуляр, проведений до дотичної в цій точці (рис.
4.4).

і записуємо її рівняння у вигляді

. (4.4)

Приклад. Знайти рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х2 у
точці з абсцисою х0 = – 3.

.

або у загальному вигляді: 6х + у +

+ 9 = 0, х – 6у + 57 = 0.

Залежність між неперервністю

і диференційовністю функції

.

Означення. Функція у = f (x) називається диференційовною в точці, якщо у
цій точці вона має похідну, тобто якщо існує кінцева границя:

.

Означення. Функція у = f (x) називається диференційовною на інтервалі
(а; b), якщо вона диференційовна в кожній точці даного інтервалу.

Зв’язок між неперервністю і диференційовністю функції встановлює
теорема.

Теорема. Якщо функція диференційовна в деякій точці, то у цій точці
функція неперервна.

Обернене твердження неправильне: для неперервної функції може не
існувати похідної.

.

Рис. 4.5

Наслідок. Якщо функція розривна в деякій точці, то вона не має похідної
в цій точці.

(рис. 4.5). Ця функція неперервна при х = 0, але не ди-

ференційовна для цього значення, оскільки в точці з абсцисою х = 0 не
існує дотичної до графіка функції.

Таким чином, необхідною умовою диференційовності функції у = f (х) у
точці х є її неперервність у цій точці.

Основні правила диференціювання

.

.

Теорема 3. Похідна добутку двох диференційовних функцій дорівнює добутку
першого множника на похідну другого плюс добуток другого множника на
похідну першого:

.

Теорема 4. Сталий множник можна виносити за знак похідної:

.

.

A

на функцію u (x):

.

Приклад. Обчислити похідну для функції у = tg x.

.

— внутрішньою, або проміжним аргументом.

.

Таким чином, похідна складної функції дорівнює добутку похідної
зовнішньої функції за проміжним аргументом на похідну проміжного
аргументу за незалежною змінною.

Похідна неявної функції. Нехай рівняння F (x; y) = 0 визначає у як
неявну функцію від х. Надалі будем вважати, що ця функція —
диференційовна.

, тобто похідну неявної функції.

.

.

.

Похідна оберненої функції. Нехай задані дві взаємно обернені
диференційовні функції

.

.

.

.

Згідно з теоремою 7 можна записати

.

.

Якщо в останньому виразі замість у записати х, то дістанемо

.

задано параметричними рівняннями:

.

, яка також є диференційовною. Тоді визначену параметричними рівняннями
функціо-

— проміжний аргумент).

На підставі теорем 6 та 7 маємо:

.

.

задано параметричними рівняннями:

.

.

;

.

Похідні від основних елементарних функцій

За аналогією з попередніми прикладами можна дістати похідні від основних
елементарних функцій:

;

;

;

;

;

;

.

Продиференціювати подані далі функції.

.

( Дана функція є алгебраїчною сумою функцій, тому використовуємо теорему
2:

.

— застосуємо формулу (2) таблиці похідних; третій — логарифмічна
функція з основою е ( — використаємо формулу (5):

.

.

. Для суми аргументом (скінченним) є х.

Таким чином, задана функція є суперпозицією трьох функцій.

При диференціюванні послідовно застосовуємо два рази теорему 6:

У цьому виразі знизу біля кожної квадратної дужки вказано аргумент, за
яким слід диференціювати функцію, взяту в дужки.

Тепер послідовно скористаємося формулами (4), (11), (2) таблиці похідних
та теоремами 1, 2. Дістанемо:

.

Взагалі використані правила та формули не фіксують, а записують кінцевий
результат їх застосування.

.

( Задана функція є степенево-показниковим виразом виду

. (4.5)

Прологарифмуємо функцію (4.5) за основою е:

. (4.6)

— складні функції, після диференціювання обох частин рівності (4.6)
дістанемо:

.

.

Таким чином, дістали формулу для знаходження похідної від
степенево-показникової функції виду (4.5).

. (4.7)

У даному випадку формула (4.7) виглядає як

.

Похідні вищих порядків

.

.

.

.

.

ЛІТЕРАТУРА

Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы,
ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. —
К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. —
М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ,
1967. — 352 с.

Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука,
1986. — 224 с.

Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1975. — 416 с.

Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б.
П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь,
1995. — 240 с.

y + (y

x + (x

(x

(y

(

О

М0

М1

М

х

х

х

у

О

Похожие записи