Пошукова робота на тему:
Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття
подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості.
План
Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводять до поняття
подвійного інтеграла
Означення подвійного інтеграла
Теорема існування
Властивості подвійного інтеграла
ПОДВІЙНІ ІНТЕГРАЛИ
1. Означення
.
.
неперервна в області
.
– ступінчастого тіла:
(11.1)
.
).
:
Рис.11.1
. (11.2)
і позначається так:
.
Отже, об’єм циліндричного тіла
. (11.3)
(по аналогії із об’ємом циліндричного тіла) дорівнює
Рис.11.2
Рис.11.3
(11.4)
.
Ця операція на цей раз називається операцією потрійного інтегрування (за
Ріманом 1)), а її результат – визначеним потрійним інтегралом, що
позначається так:
Отже,
(11.5)
До знаходження таких границь приводять не тільки задачі про
визначення об’єму циліндричного тіла і знаходження маси, але й інші
задачі.
вимірному випадку. Проте в теорії кратних інтегралів виникають певні
труднощі, яких не було в теорії звичайного означеного інтеграла.
вимірної міри цих частин.
1) Б. Ріман (1826-1866) – німецький математик.
яке називається площею або двохвимірною мірою Жордана . При цьому
виконуються такі властивості:
то
Існують множини двохвимірної міри, що дорівнюють нулю, такі,
як точка, відрізок, гладка або кусково-гладка крива.
В трьохвимірному випадку нас будуть цікавити області, що
мають своєю границею кусково-гладкі поверхні. Куля, еліпсоїд, куб можуть
служити прикладом таких поверхонь.
Поверхня називається гладкою, якщо в довільній її точці
можна провести дотичну площину, що неперервно змінюється разом з цією
точкою. Поверхня називається кусково-гладкою, якщо її можна
розрізати на кінцеве число гладких кусків. По лінії розрізів дотичні
площини можуть і не існувати.
, що задовольняє таким властивостям:
то
то
1) К. Жордан (1838-1922) – французький математик
Є множини трьохвимірної міри, що дорівнює нулю. Такими є точка,
відрізок, плоский прямокутник, гладка або кусково-гладка поверхня.
Означення. Дамо тепер визначення кратного інтеграла, не
розглядаючи задачі геометричного або фізичного змісту.
і складемо суму
що відповідає даному розбиттю.
). Отже,
. (11.6)
.
2. Властивості подвійних інтегралів. Теорема існування
із кусково-гладкими границями.
10. Справедлива рівність
(11.7)
розрізати кусково-гладкими поверхнями на частини
що можуть перетинатися хіба що по своїх границях (рис. 11.2), і
врахувати, що
Але тоді
, про які буде йти мова, існують інтеграли, що розглядаються.
20. Справедлива рівність
(11.8)
константи.
то
(11.9)
40. Якщо
то має місце нерівність
(11.10)
Доведення властивостей 30 і 40 аналогічне доведенням для
звичайного означеного інтеграла.
50. Справедлива нерівність
(11.11)
) і (4.10)
тобто (11.11).
то
(11.12)
константа, а тому в силу нерівності (11.11) маємо:
, що виконується рівність
(11.13)
Тому
і використовуючи властивості 10, 40 , одержимо
. (11.14)
Із нерівностей (12.11) випливає
,
Функція
.
має місце рівність
що й доводить теорему.
.
і
(11.15)
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter