Реферат на тему:

Первісна функція та невизначений інтеграл

Задачею диференціального числення було знаходження похідної від заданої
функції y=f(x). Задача інтегрального числення протилежна: потрібно
визначити функцію, похідна від якої відома.

Означення. Функція F(x) називається первісною для функції f(x), якщо
f((x)=F(x).

Приклад. Для функції y=3×2 первісними є функції F(x)=x3; F(x)=x3+5;
F(x)=x3-6,3 тощо.

Означення. Невизначеним інтегралом від функції f(x) називається
сукупність усіх первісних цієї функції.

Використовується позначення

,

де f(x)dx — підінтегральний вираз, а C — стала інтегрування.

З геометричного погляду невизначений інтеграл – це сукупність (сім’я)
ліній F(x)+C (рис. 7.1).

y y=x3+5,2 (C=5,2)

y=x3+2 (C=2)

y=x3-3 (C=
-3)

Рис.7.1.

Наведемо таблицю основних інтегралів. Доведення кожної рівності полягає
у її диференціюванні.

(n(-1) , у тому числі

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Приклади.

;

;

.

Із означення невизначеного інтеграла випливають такі властивості
інтегрування:

;

;

(метод заміни змінних, метод підстановки);

(інтегрування частинами).

Приклади.

. Виконуємо заміну (підстановку) x/4=t.

Тоді dx=4dt, отже,

. Виконуємо заміну 2x=t, звідки 2dx=dt. Тепер

. При заміні x=t3-1 маємо x+1=t3 , dx=3t2dt і далі

(заміна 4x=t).

(заміна 6x-5=t).

Інтегрування частинами потребує певних навиків. Розглянемо цей спосіб на
прикладах.

Приклади.

. Позначимо вираз lnx через u, а вираз x3dx через dv. Знаходимо du та
v:

Отже,

.

. Позначимо u=x, dv=e2xdx. Звідси du=dx, v=(1/2)(e2x. Тоді

.

Для інтегрування раціональних дробів, тригонометричних виразів тощо,
використовуєть спеціальні прийоми. Розглянемо два приклади відшукання
невизначених інтегралів від раціональних дробів.

Приклади.

;

.

В економіці часто застосовують такі функції, як y=lnx та y=1-e-x.
Інтеграли від цих функцій :

;

(перевірка виконується диференціюванням).

існують, проте через елементарні функції не виражаються.

Похожие записи