Реферат на тему:

Ознаки подільності, фінансові піраміди, зважування

ОЗНАКИ ПОДІЛЬНОСТІ

Уже давно відомий спосіб перевірки правильності множення: обчислюється
сума цифр у кожного множника і в добутку; коли серед одержаних цифр не
всі є однозначними, то в них знову й знову обчислюються суми цифр доти,
доки вони не стануть однозначними. Що тому перемножуються однозначні
числа, що відповідають співмножникам, і в цього добутку обчислюється
сума цифр. Якщо одержане число збігається з однозначним числом,
обчисленим для добутку початкових чисел, то множення початкових чисел
вважається виковзаним правильно.

Цей спосіб ґрунтується на загальнішій ознаці подільності на 9, ніж той,
що вивчається в школі. Річ у тім, що остача при діленні числа на 9
дорівнює остачі при діленні на 9 його суми цифр. Окремим випадком цієї
ознаки є випадок остачі, яка дорівнює нулеві, тобто знайома вам ознака:
число ділиться на 9, коли його сума цифр ділиться на 9.

Простою і вельми корисною є ознака подільності на 11. Складемо цифри
числа, що стоять на парних місцях, і віднімемо від цього числа суму
цифр, що стоять на немарних місцях. Початкове число ділитиметься на 11 в
тому й лише в тому разі, якщо на 11 ділиться одержане менше число.

Цікаве застосування дістав цей спосіб при дослідженні числа «щасливих»
квитків. Нині в трамваях, тролейбусах та автобусах кондуктори продають
квитки. А колись ця процедура відбувалася в режимі самообслуговування:
пасажири власноруч кидали гроші до каси й відривали квитки. Кожен квиток
мав шестизначний номер, наприклад, 286358. Цей квиток у Києві вважали
«щасливим», оскільки сума його перших трьох цифр — 16 — дорівнює сумі
решти трьох цифр. Тут-бо й виникла задача: наскільки часто зустрічаються
«щасливі» квитки, точніше, скільки «щасливих» чисел серед чисел від
000000 до 999999?

А, скажімо, в Харкові «щасливими» вважали квитки, в яких сума цифр, що
стоять на парних місцях, дорівнює сумі цифр, що стоять на непарних
місцях. Коли трохи поміркувати, то неважко збагнути, що «щасливих»
квитків «пo-київському» стільки ж, скільки й «по-харківському». Але
квиток, «щасливий» «по-харківському», ділиться на 11, а тим часом не
всяке шестизначне число, що ділиться на 11, буде номером квитка,
«щасливого по-харківському», наприклад, число 405000.

Себто квитків, «щасливих по-харківському», як і квитків, «щасливих
по-київському», менше, ніж чисел, що діляться на 11. Чисел до мільйона,
що діляться на 11, як неважко підрахувати, 90910, отже, «щасливих»
квитків менше. Насправді їх 55252, тобто «щасливим» виявився в
середньому кожен 18-й квиток.

Ви знаєте ознаки подільності на 2, 3 та 5. З них легко вивести ознаки
подільності на 4 та б. А яка ознака подільності на 7? Зауважимо, що
1001=7.11.13, і скористаємося цим фактом. Нехай нам потрібно перевірити,
чи ділиться число 286364 на 7. Запишемо це число у вигляді: 286286 + 78.
Перший доданок ділиться на 7 (а також на 11 і 13), оскільки він ділиться
на 1001, а другий на 7 не ділиться, тож це число не ділиться на 7.
Зауважмо, що 78 ділиться на 13, відтак початкове число ділиться на 13.
Таким чином, ми одержали не лише ознаку подільності на 7, а й ознаку
подільності на 13, а також ще одну ознаку подільності на 11.

Неважко сформулювати ознаку подільності на 8: число ділиться на 8, якщо
число, складене з трьох його останніх цифр, ділиться на 8.

Ознаки подільності на великі числа також існують, однак вони дуже
громіздкі.

ФІНАНСОВІ ПІРАМІДИ

Останнім часом чимало говорять і пишуть про фінансові операції, що
називаються фінансовими пірамідами. Такі операції проводять (чи
проводили) «Укрбудтраст», «МММ», «Будинок селінгу» та ін. З’ясуймо
механізм таких операцій.

До появи у нас подібних акціонерних товариств раз-у-раз з’являлися
«грошові ігри поштою». Скажімо, ви отримуєте листа, в якому зазначено,
що, коли вислати за вказаними п’ятьма адресами по одній гривні, а тоді
розіслати ще п’ятьом такі самі листи, викресливши першу адресу й
дописавши свою останньою, то по деякому часі ви дістанете силу-силенну
грошей.

У листі обґрунтовувався і спосіб швидкого збагачення. Від перших п’яти
адресатів ви дістаєте по 5 гривень, повертаючи витрачені кошти. Вони
надсилають листи вже на 25 адрес, звідки ви отримуєте 25 гривень. Од
гравців третього кола ви одержуєте ще 125 грн., від гравців четвертого
кола в 5 разів більше — 625 грн., а від учасників п’ятого кола 3125
гривень, «У підсумку 3900 грн. Чималенькі гроші…

Хоча охочих стати скоробагатьками «за щучим велінням» чимало, проте у
виграші були тільки організатори такої гри. Річ у тім, що число
учасників зростає в п’ять разів з кожним колом. Якщо п’ятірка
організаторів розішле, скажімо, 120 листів зі своїми адресами, то в
першому колі беруть участь 120 осіб, у другому — 600, у третьому — 3000,
у четвертому — 15000, у п’ятому — 75000, у шостому — 375000, у сьомому —
1875000, у восьмому — 9375000, у дев’ятому — 46875000, а в десятому —
234375000 — населення кількох країн… Тож учасник, який включився в гру
у восьмому чи дев’ятому турі, вже не дістане нічого.

Гадаємо, з цією грою все зрозуміло — перші одержують гроші за рахунок
наступних, а тим зрештою не буде від кого їх отримувати. Перейдемо тепер
до акціонерних компаній, які обіцяють багатство за рахунок швидкого
підвищення курсу своїх акцій.

Тут нібито все гаразд. Акціонери та господарі компаній дістають прибуток
«з повітря». Справді бо, місяць тому ви придбали акцію за 10000 гривень,
а нині можете продати її за 15000 грн., щоправда, й купити її можна вже
за 17000 грн., але ж за місяць продати за 20000. І компанія має
прибуток, купуючи акцію за 15000 й одразу ж продаючи за 17000 грн. Усі
задоволені.

Аж ось вартість акції перевищила 100000 грн., і вже не кожен може її
придбати, як то трапилося з «МММ». Кількість тих, хто здає акції, почала
перевищувати кількість покупців, і прибуток перестав надходити до
компанії. Отут-бо ця компанія й луснула, бо навіть якби всі одержані
раніше кошти витрачалися на викуп акцій, то решти не вистачить для
оплати акцій усім акціонерам за останнім курсом. А воно ж ого які
грошики були витрачені на рекламу! А реклама необхідна, щоб залигати
якомога більше простаків у лави акціонерів.

ЗВАЖУВАННЯ

Уявіть таку ситуацію: перед вами десять мішків з монетами. В дев’яти
мішках нормальні монети масою по 10 грамів, а в десятому — фальшиві,
вагою по 9 грамів. Як знайти мішок з фальшивими монетами, коли ви маєте
ваги зі стрілкою, що вказує масу покладеного на них вантажу?

Можна брати по одній монеті з мішка та зважувати їх. Рано чи пізно дійде
черга й до мішка з фальшивими монетами. Це може відбутися й під час
першого, й під час другого зважування. А чи не можна гарантовано знайти
мішок з фальшивими монетами за одне зважування? Виявляється, можна.

Для цього покладемо на ваги одну монету з першого мішка, поруч покладемо
дві монети з другого мішка, три монети з третього мішка і т.д., з
десятого мішка покладемо десять монет. Якби всі монети були нормальними,
то загальна маса цих монет становила б 55 грамів, а позаяк серед монет є
фальшиві — легші, то маса виявиться меншою на стільки грамів, скільки
покладено фальшивих монет. Коли маса становитиме, скажімо, 47 грамів, то
це означає що на вагах лежить 8 фальшивих монет і тому фальшиві монети
лежать у восьмому мішку. Тож номер мішка з фальшивими монетами дорівнює
різниці між 55 і кількістю грамів, указаних на вагах.

А коли в кожному мішку по 9 монет, чи можна виявити мішок з фальшивими
монетами за одне зважування? Виявляється, можна, причому майже так само,
як і раніше. З одного мішка не братимемо монет і назвемо цей мішок
нульовим. З першого мішка знову візьмемо одну монету, з другого — дві, з
третього — три і т.д., з дев’ятого — дев’ять. Зважимо всі ці монети.
Якщо їхня маса дорівнюватиме 45 грамам, то це означає, що всі монети на
вагах справжні, і фальшиві лежать у нульовому мішку, а якщо менше 45
грамів, то номер мішка з фальшивими монетами дорівнює різниці між 45 та
кількістю грамів, показаних на вагах. Правильно?

А тепер уявіть, що вам доручили серед 24 монет знайти фальшиву, яка
легша від решти, й дали звичайні двошалькові ваги. За скільки зважувань
пощастить відшукати фальшиву монету? Можна розбити монети на пари й
зважувати ці пари, поклавши одну монету на одну шальку терезів, а другу
— на другу. За 12 зважувань таким чином можна знайти фальшиву монету. А
чи не можна швидше?

Виявляється, знайти фальшиву монету можна всього за три зважування. Ось
як це робиться. Покладемо на одну з шальок 8 монет, на другу ще 8 монет,
а решту 8 монет відкладемо вбік.

Якщо перетягне ліва шалька, то фальшива монета знаходиться в правій
шальці терезів; якщо права, то в лівій, а коли ваги будуть у рівновазі,
то це означає, що фальшива монета перебуває у відкладеній купці монет.
Тож кількість монет, на які падає підозра, зменшилася втричі: спочатку
кожна з 24 монет могла виявитися фальшивою, тепер таких монет лише о.

Покладемо 3 монети з цих 8 на ліву шальку, 3 — на праву й дві відкладемо
вбік. Знову зрозуміло, що фальшива монета на тій шальці, що виявилася
легшою, а в разі рівноваги — серед двох відкладених.

Якщо фальшива монета знаходиться серед трьох монет, то, поклавши дві з
них на різні шальки терезів, визначимо ту, що є легшою — фальшиву, а
якщо ваги будуть у рівновазі, то фальшива та, що залишилася. Якщо
фальшива монета міститься серед відкладених двох монет, то процедура її
віднаходження ще простіша.

На завершення ще одна задача на зважування. Спробуйте спершу розв’язати
її самостійно, а тоді вже прочитати розв’язок. Потрібно за три
зважування на терезах без гир виявити серед шести монет одну фальшиву,
причому не відомо, важча вона від справжньої чи легша, проте знаємо, що
вона має іншу масу.

Розв’язувати починаємо так само, як і попередню задачу: ділимо монети на
три купки по дві монети, одну купку кладемо на праву шальку терезів,
другу — на ліву, а третю відкладаємо вбік. Якщо терези в рівновазі, то
фальшива монета серед двох відкладених, а на терезах монети справжні.
Порівняємо кожну з відкладених монет зі справжньою (на це нам потрібні
ще два зважування) і визначимо, яка з них фальшива і легша вона чи важча
від справжньої.

Якщо перетягне одна з шальок терезів, то це означає, що відкладені
монети справжні, а фальшива на терезах, причому вона важча від
нормальної, якщо знаходиться на шальці, що перетягла, і легша від
справжньої, коли міститься на іншій. Позначимо монети на шальці, що
перетягла, літерами С та D. Нагадаємо, що монети А та 5 можуть бути або
справжніми, або важчими, ніж справжні, а монети С та D — або справжніми,
або легшими від справжніх.

Друге зважування в цьому разі проведемо, поклавши на ліву шальку терезів
монети А та С, а на праву — монету В та одну нормальну монету з двох
відкладених; монету D та другу справжню монету відкладемо вбік. Якщо
настане рівновага, це означає, що на вагах справжні монети, а фальшивою
є монета D, причому вона легша від справжньої.

Коли перетягне ліва шалька, то фальшивою монетою є монета А і вона тяжча
від справжньої. Коли ж перетягне права шалька, то можливі лише два
випадки: фальшивою (й легшою) є монета С чи монета В (і тяжчою).
Останнім, третім зважуванням порівняємо монету С зі справжньою монетою.
Якщо перетягне нормальна монета, то монета С — фальшива й легша, а в
разі рівноваги доходимо висновку, що фальшивою є монета В й вона тяжча
від справжньої.

Ці задачі мають, сказати б, іграшковий вигляд, але вони послужили
основою для створення великої галузі математики — теорії інформації.
Математики замислилися — яку інформацію про монети несе кожне
зважування, чи не можна виразити її числом? Відповіді на ці запитання й
дали поштовх для розвитку теорії інформації, яка нині надає значну
допомогу в розшифровці сигналів за наявності перешкод, при створенні
перешкодостійких кодів для передачі повідомлень і в багатьох інших
сферах науки й техніки.

Похожие записи