Реферат на тему:

Основні закони цілочислових випадкових величин

Серед дискретних випадкових величин особливе місце в теорії
ймовірностей посідають такі, що набувають лише цілих невід’ємних значень
Х = хk = 0, 1, 2, 3, … .

Ці випадкові величини називають цілочисловими.

1. Імовірнісні твірні функції та їх властивості

Для дослідження законів розподілу цілочислових випадкових величин
використовують імовірнісну твірну функцію. Імовірнісною твірною функцією
називають збіжний степеневий ряд виду:

. (231)

Тут рk = Р(Х = k), тобто є ймовірність того, що випадкова величина Х
набуде значення k = 0, 1, 2, 3, … .

Імовірнісній твірний функції притаманні такі властивості

А(Х) визначена в кожній точці інтервалу [–1; 1].

При Х = 1 маємо:

,

оскільки це є умовою нормування для дискретної випадкової величини.

Із (231) дістаємо

,

де Аk (0) — k-та похідна від А(х), при Х = 0. Отже, знаючи аналітичний
вираз для А(х), можемо знайти ймовірність будь-якого можливого значення
Х = k.

.

При х = 1 дістанемо

.

Звідси

. (232)

.

При х = 1

Це можна записати так:

Тоді

Отже, формула для обчислення дисперсії буде така:

(233)

2. Біноміальний закон розподілу ймовірностей

Цілочислова випадкова величина X має біноміальний закон розподілу, якщо
ймовірність її можливих значень обчислюється за формулою Бернуллі:

k = 0, 1, 2, 3, …, n. (234 а)

У табличній формі цей закон набирає такого вигляду:

При перевірці виконання умови нормування використовується формула біному
Ньютона, тому закон розподілу називають біноміальним:

.

Побудуємо ймовірнісну твірну функцію для цього закону

.

Отже, імовірнісна твірна функція для біноміального закону

. (234 b)

Знайдемо основні числові характеристики для цього закону:

,

. (235)

;

; (236)

. (237)

Приклад 1. У партії однотипних деталей стандартні становлять 95%.
Навмання з партії беруть 400 деталей. Визначити

М (Х), D (X), ( (Х) для дискретної випадкової величини Х — появи числа
стандартних деталей серед 400 навмання взятих.

Розв’язання. Цілочислова випадкова величина Х має біноміальний закон
розподілу ймовірностей, яка може набувати значення

Х = k = 0, 1, 2, …, 400.

, де р = 0,95 — імовірність появи стандартної деталі, q = 1 – p =1 –
0,95 = 0,05 — імовірність появи нестандартної деталі.

Згідно з (235), (236), (237), маємо:

= 400 ( 0,95 = 380;

= 400 ( 0,95 ( 0,05 = 19;

( 4,36.

Приклад 2. У кожному із 100 контейнерів міститься по 8 виробів першого
сорту, а решта 2 — браковані. Із кожного контейнера навмання беруть по
одному виробу. Визначити М (Х), D (X), ( (X) для дискретної випадкової
величини Х — поява числа виробів першого сорту серед 100 навмання
взятих.

Розв’язання. Цілочислова випадкова величина Х має біноміальний закон
розподілу. Із умови задачі маємо:

n = 100, p = 0,8, q = 0,2, k = 0, 1, 2, 3, …, 100.

За формулами (235), (236), (237) дістаємо:

= 100 ( 0,8 = 80;

= 100 ( 0,8 ( 0,2 = 16;

( 4.

3. Пуассонівський закон

розподілу ймовірностей

Цілочислова випадкова величина Х має пуассонівський закон розподілу,
якщо ймовірності її можливих значень

, k = 0, 1, 2 ,3, …, n, (238)

. У табличній формі цей закон розподілу буде такий:

.

Умова нормування виконується.

Побудуємо ймовірну твірну функцію для цього закону:

.

Отже,

. (239)

Скориставшись (232), (233), дістанемо вирази для М (Х), D (X):

;

. (240)

;

;

; (241)

. (242)

Отже, для Пуассонівського закону розподілу ймовірностей

М (Х) = D (X) = а.

Приклад 3. Прилад має 1000 мікроелементів, які працюють незалежно один
від одного. Імовірність того, що мікроелемент вийде із ладу під час
роботи приладу, є величиною сталою і дорівнює 0,004. Визначити М (Х), D
(X), ( (Х) випадкової величини Х — числа мікроелементів, що вийдуть із
ладу під час роботи приладу.

Розв’язання. Випадкова величина Х є цілочисловою, що має пуассонівський
закон розподілу — імовірності її можливих значень обчислюються за
формулою Пуассона, котра є асимптотичною щодо формули Бернуллі для
великих значень n і малих значень p, так званих малоймовірних випадкових
подій.

За умовою задачі маємо:

= 1000 ( 0,004 = 4;

= 4;

Приклад 4. У деякому населеному пункті маємо 0,1% дальтоніків. Навмання
вибирають 5000 мешканців цього населеного пункту. Визначити М (Х), D
(X), ( (Х) випадкової величини Х — числа дальтоніків, яких буде виявлено
серед 5000 навмання вибраних мешканців.

Розв’язання. Цілочислова випадкова величина Х має пуассонівський закон
розподілу. Із умови задачі: n = 5000, p = 0,0001. Згідно з (240), (241),
(242), дістаємо:

= 5000 ( 0,0001 = 0,5;

= 0,5;

.

4. Геометричний закон розподілу ймовірностей

Інколи спроби здійснюють до першої появи випадкової події. Число
проведених спроб буде цілочисловою випадковою величиною. Цілочислова
випадкова величина Х має геометричний закон розподілу, якщо ймовірності
її можливих значень

, k = 1, 2, 3, …, n. (243)

Тут p — імовірність появи випадкової події в кожній спробі — є величиною
сталою, q = 1 – p.

У табличній формі геометричний закон розподілу такий:

При перевірці умови нормування використовується формула суми
нескінченної геометричної прогресії, тому й закон розподілу називають
геометричним:

Побудуємо ймовірнісну твірну функцію

.

, дістаємо

, то

;

. (244)

Числові характеристики для цього закону:

;

. (245)

;

.

&

(

?

?

????u{?( * , . H J N T V Z \ ` ? 1/4 AE E e i r

t

?

?

i

?

?„

ae

??

??»???????u{

&

F

AE

??????????u{

???????????u{

; (246)

. (247)

Серед дискретних випадкових величин лише геометричному закону
притаманна властивість відсутності післядії. Це означає, що ймовірність
появи випадкової події в k-му експерименті не залежить від того, скільки
їх з’явилося до k-го, і завжди дорівнює p.

Приклад 5. Гральний кубик підкидається до першої появи цифри 6.
Визначити М (Х), D (X), ( (Х) для випадкової величини Х числа
здійснюваних підкидань.

.

Скориставшись (245), (246), (247), дістанемо:

.

Приклад 6. Спортсмен стріляє зі спортивної рушниці по одній і тій самій
мішені. Імовірність влучити в мішень при одному пострілі є величиною
сталою і дорівнює 0,8. Стрільба по мішені ведеться до першого влучення.
Визначити

М (Х), D (X), ( (Х) випадкової величини Х — числа витрачених спортсменом
набоїв.

Розв’язання. Випадкова величина Х є цілочисловою, з геометричним законом
розподілу ймовірностей. За умовою задачі: p = 0,8; q = 0,2.

Згідно з (245), (246) і (247) маємо:

.

5. Рівномірний закон розподілу ймовірностей

Цілочислова випадкова величина Х має рівномірний закон розподілу, якщо
ймовірності її можливих значень обчислюються за формулою:

. (248)

У табличній формі запису рівномірний закон розподілу має вигляд:

виконується.

Імовірнісна твірна функція для цього закону

, (249)

.

Числові характеристики рівномірного закону:

, яку розкриваємо

(При х = 1 знову дістаємо

, яку розкриваємо за правилом Лопіталя (=

. (250)

Виконуючи аналогічні, але більш громіздкі перетворення, дістаємо:

(251)

(252)

Приклад 7. Знайти М (Х), D (X), ( (Х), якщо цілочислова випадкова
величина Х має рівномірний закон розподілу і можливі значення її такі:

.

Розв’язання. За умовою задачі маємо: n = 100, Pk = 1/100. Згідно з
(250), (251), (252) дістаємо:

.

.

.

6. Гіпергеометричний закон

розподілу ймовірностей

Цілочислова випадкова величина Х має гіпергеометричний закон розподілу,
якщо ймовірність її можливих значень обчислюється за формулою

. (253)

елементів — ознаку В; коли із цієї множини навмання беруть m елементів,
число елементів k з ознакою А (або В), що трапляється серед m навмання
взятих елементів, буде цілочисловою випадковою величиною з
гіпергеометричним законом розподілу.

У табличній формі запису цей закон розподілу подається так:

При цьому m ( n.

.

Залежно від умови задачі найменше значення може становити m = 0, 1, 2,
3, …, m – 1.

Числові характеристики цього закону обчислюються за наведеними далі
формулами:

. (254)

. (255)

. (256)

Приклад 8. В ящику міститься 10 однотипних деталей, із них 7
стандартних, а решта є бракованими. Навмання із ящика беруть m деталей.
Побудувати закони розподілу цілочислової випадкової величини Х — появу
числа стандартних деталей серед m навмання взятих і обчислити М (Х),

D (X), ( (Х), якщо: 1) m = 3; 2) m = 4; 3) m = 5; 4) m = 7.

Розв’язання. Використовуючи формулу (253) побудуємо гіпергеометричні
закони розподілу:

= 3; k = 0, 1, 2, 3.

У табличній формі гіпергеометричний закон подається так:

або

.

;

;

.

= 3; k = 1, 2, 3, 4.

У табличній формі закон розподілу подається так:

або

.

;

;

.

3. m = 5; n1 = 7; n = 3; k = 2, 3, 4, 5.

У табличній формі закон подається так:

або

;

;

.

.

= 3; k = 4, 5, 6, 7.

У табличній формі закон подається так:

або

.

;

;

.

ЛІТЕРАТУРА

Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерное
приложение. — М.: Наука, 1988.

Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1961.

PAGE 1

Похожие записи