.

Основні закони неперервних випадкових величин (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
832 6619
Скачать документ

Реферат на тему:

Основні закони неперервних випадкових величин

1. Нормальний закон розподілу

Випадкова величина Х має нормальний закон розподілу ймовірностей, якщо

, (257)

де а = М (X), ( = ( (X). Отже, нормальний закон визначається звідси
параметрами а і ( і називається загальним.

Тоді

dx. (258)

Якщо а = 0 і ( = 1, то нормальний закон називають нормованим.

У цьому разі

, (259)

тобто f (x) = ((x) є функцією Гаусса,

dx. (260)

Графіки f (x), F(x) для загального нормального закону залежно від
параметрів а і ( зображені на рис. 91 і 92.

Рис. 91 Рис. 92

Із рис. 91 бачимо, що графік f (x) розміщений симетрично відносно умовно
проведеного перпендикуляра в точку Х = а. Зі зміною значень параметра а
крива f (x) зміщується праворуч, якщо а > 0 або ліворуч, якщо a  0 і, як буде доведено далі, F(a) = 0,5.

Отже, Ме = а.

Зі зміною значень параметра а крива F(x) зміщується праворуч для а > 0
або ліворуч при а  0.

Pис. 101

Щільність імовірностей цього закону буде така:

Сталу С знаходимо з умови нормування:

.

Отже,

(271)

(272)

4.1. Числові характеристики

. (273)

?????????????

Приклад 7. За заданим N (2; 4) записати f (x), F(x) для урізаного
нормального закону (ліворуч) і знайти М(Х), D(X).

Розв’язання. Використовуючи (273) — (276), одержимо:

5. Гамма-розподіл

Неперервна випадкова величина Х має гамма-розподіл імовірностей, якщо

, С — константа, яка визначається із умови нормування:

Тут

називають гамма-функцією.

Таким чином,

. (275)

Тоді

(276)

Функція розподілу ймовірностей

(277)

.

Розглянемо властивості гамма-функції:

(278)

Отже,

. (279)

Якщо, наприклад, ( = n, де n — ціле невід’ємне число, то:

Г(n + 1) = nГ(n).

Використовуючи рівність (278) для Г(n), дістаємо:

Г(n) = (n – 1)Г(n – 1),

для Г(n – 1) рівність (278) набуде такого вигляду:

Г(n – 1) = (n – 2)Г(n – 2)

і так для кожного цілого значення аргументу ( гамма-функції.

Таким чином,

Г(n + 1) = n Г (n) = n(n – 1) Г (n – 1) =

= n (n – 1) (n – 2)Г(n – 2) = … =

= n(n – 1)(n – 2) … Г(1) = n(n – 1)(n – 2) … 1 = n!

Отже,

Г(n + 1) = n! (280)

Так, наприклад, Г(6) = 5! = 5 ( 4 ( 3 ( 2 ( 1 = 120.

5.1. Числові характеристики

. (281)

= | здійснивши таку саму заміну, як і для визначення М (Х), дістанемо |
=

;

. (282)

(283)

6. Розподіл Ерланга k-го порядку

Якщо в гамма-розподілі k набуває лише цілих значень (k ( 1), то
гамма-розподіл перетворюється в розподіл Ерланга k-го порядку, щільність
ймовірностей якої

(283а)

Функція розподілу ймовірностей

(283б)

Закону розподілу Ерланга k-го порядку підлягає сума незалежних
випадкових величин х = х1 + х2 + … + хк, кожна з яких має
експоненціальний закон із параметром (.

6.1. Числові характеристики

(283в)

Знайти С і F(x). Обчислити М (Х), D (Х), ((Х).

V

O

i

?e2

??#????????e

???????????e?>

@

B

J

`

d

p

r

?

I

i

o

o

oe

o

u

ue

jW

B

F

H

J

N

R

T

V

I

?

O

Oe

??

???????????e

??e

???????????e

??#????????e

jR

??e

??e

???????????e

??#????????e

???????????e

???????e

j

????????e

???????????e

????????e

???????????e

??#????????e

??#????????e

???????e

??#????????e

TT

??e

???????????e

AE

jz

AE

$

AE

AE

AE

&

F

AE

$

AE

?

j

?

(275), (276), (277), (281), (282), (283), записуємо:

.

Тоді

7. Експоненціальний закон розподілу

= 1.

Для цього закону розподілу

(284)

(285)

Графіки f (x), F(x) зображені на рис. 102 і 103.

Рис. 102 Рис. 103

7.1. Числові характеристики

= 1, маємо такі співвідношення.

(286)

. (287)

. (288)

4. Me для експоненціального закону визначається так:

(289)

Серед усіх законів неперервних випадкових величин лише експоненціальному
притаманна властивість — відсутність післядії, а саме: якщо пов’язати
випадкову величину із часом, то для цього закону минуле не впливає на
передбачення подій у майбутньому. Цю властивість експоненціального
закону використовують у марківських випадкових процесах, теорії масового
обслуговування, теорії надійності.

Властивість відсутності післядії унаочнює рис. 104.

Рис. 104

Коли збіжить час t0, який вигляд матиме щільність експоненціального
закону на проміжку[t0, (]?

Розглянемо заштриховану область. Щоб звести заштриховану область до
стандартного для щільності вигляду, маємо виконати таке нормування, щоб
площа, обмежена f (t) на проміжку [t0, (], дорівнювала одиниці.
Дістанемо нову щільність імовірностей, визначену для t ( [t0, (], яка
буде точною копією початкової функції.

Приклад 9. Задано

Визначити М (Х), ( (Х), Ме.

Розв’язання. Використовуючи формули (286—289), одержимо:

;

8. Бета-розподіл

Неперервна випадкова величина Х має бета-розподіл, якщо

Для визначення С використовуємо умову нормування

.

(290)

. (290а)

Якщо t = my, то

.

Тоді

. (291)

Підставляючи вираз (291) у (290а), дістаємо

.

Остаточно маємо:

. (292)

Отже,

(293)

(294)

8.1. Числові характеристики

(295)

;

(296)

. (297)

Приклад 10. Задано

Знайти С, М (Х), D (Х), ( (Х).

Розв’язання. Використовуючи формули (292), (295), (296), (297):

9. Розподіл Вейбулла

Неперервна випадкова величина Х має розподіл Вейбулла, якщо

За умовою нормування визначимо сталу С:

(298)

Щільність імовірностей для розподілу Вейбулла:

(299)

Функція розподілу ймовірностей

Звідси

(300)

Отже, розподіл Вейбулла визначається двома параметрами (, (.

9.1. Числові характеристики

(301)

.

. (302)

. (303)

Приклад 11. За заданими параметрами ( = 2, ( = 4 записати математичний
вираз для f (x), F (x) і обчислити числові характеристики М (X), D (X),
( (X).

Розв’язання. Використовуючи (302) — (306),

;

що було нами доведено;

.

10. Закони розподілу випадкових величин,

пов’язаних із нормальним законом розподілу

Нормальному закону розподілу належить центральне місце в побудові
статистичних моделей у теорії надійності та математичній статистиці.

10.1. Розподіл (2 (хі-квадрат)

матиме розподіл (2 із k ступенями свободи, щільність імовірностей якої
буде

Використовуючи умову нормування, знаходимо

;

(304)

(305)

Функція розподілу ймовірностей

(306)

10.1.1. Числові характеристики

;

. (307)

;

;

;

. (308)

. (309)

Приклад 12. Кожна з 10 незалежних випадкових величин хі має закон
розподілу N (0; 1). Записати вирази для f (x), F(x) і обчислити M (X), D
(X), ( (X).

Розв’язання. Використовуючи (308)—(312), дістаємо:

Таким чином,

Нехай випадкова величина Y має розподіл (2 із k ступенями свободи:

, то згідно зі (196) дістанемо

(310)

10.3. Розподіл (

Нехай випадкова величина Y має розподіл (2 із k ступенями свободи:

. Використовуючи (196), дістаємо

Випадкова величина Х має розподіл (, якщо

(311)

Функція розподілу ймовірностей

(312)

10.3.1. Числові характеристики (-розподілу

. (313)

;

; (314)

. (315)

. (316)

Приклад 13. Випадкова величина Х має розподіл ( із k = 8 ступенями
свободи. Записати вираз для f (x), F(x) і обчислити M(X), D(X), ((X).

Розв’язання. Обчислимо гамма-функції для k = 8:

Тут 7!! — добуток натурального ряду непарних чисел, починаючи від 1 до
7.

У загальному вигляді

(2n – 1)!! (317)

Отже,

Нехай випадкова величина Y має розподіл ( із k ступенями свободи

, то

.

Отже,

(318)

10.5. Розподіл Стьюдента

Незалежні випадкові величини Y і Х мають закони розподілу:

. Для зручності подальших перетворень запишемо f (x) у вигляді

Використовуючи формулу (217), дістаємо:

характеризуватиметься розподілом Стьюдента зі щільністю ймовірностей

(319a)

Тоді функція розподілу ймовірностей

. (319б)

10.5.1. Числові характеристики

розподілу Стьюдента

.

Оскільки підінтегральна функція є непарною, а межі інтегрування
симетричні відносно нуля:

. (320)

. (321)

. (322)

Приклад 14. Випадкова величина Х має розподіл Стьюдента із k = 7
ступенями свободи. Записати вираз для f (x), F(x) і обчислити M(X),
D(X), ((X).

Розв’язання. За заданим числом ступеней свободи k = 7 обчислимо
гамма-функції:

;

;

;

;

.

10.6. Розподіл Фішера—Снедекора

Нехай задано дві незалежні випадкові величини Y і Х, які мають закони
розподілу:

. Оскільки Y = ZХ і при цьому 0 ЛІТЕРАТУРА Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерное приложение. — М.: Наука, 1988. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1961. PAGE 1

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Ответить

Курсовые, Дипломы, Рефераты на заказ в кратчайшие сроки
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020