Реферат на тему:
Основні закони неперервних випадкових величин
1. Нормальний закон розподілу
Випадкова величина Х має нормальний закон розподілу ймовірностей, якщо
, (257)
де а = М (X), ( = ( (X). Отже, нормальний закон визначається звідси
параметрами а і ( і називається загальним.
Тоді
dx. (258)
Якщо а = 0 і ( = 1, то нормальний закон називають нормованим.
У цьому разі
, (259)
тобто f (x) = ((x) є функцією Гаусса,
dx. (260)
Графіки f (x), F(x) для загального нормального закону залежно від
параметрів а і ( зображені на рис. 91 і 92.
Рис. 91 Рис. 92
Із рис. 91 бачимо, що графік f (x) розміщений симетрично відносно умовно
проведеного перпендикуляра в точку Х = а. Зі зміною значень параметра а
крива f (x) зміщується праворуч, якщо а > 0 або ліворуч, якщо a 0 і, як буде доведено далі, F(a) = 0,5.
Отже, Ме = а.
Зі зміною значень параметра а крива F(x) зміщується праворуч для а > 0
або ліворуч при а 0.
Pис. 101
Щільність імовірностей цього закону буде така:
Сталу С знаходимо з умови нормування:
.
Отже,
(271)
(272)
4.1. Числові характеристики
. (273)
?????????????
Приклад 7. За заданим N (2; 4) записати f (x), F(x) для урізаного
нормального закону (ліворуч) і знайти М(Х), D(X).
Розв’язання. Використовуючи (273) — (276), одержимо:
5. Гамма-розподіл
Неперервна випадкова величина Х має гамма-розподіл імовірностей, якщо
, С — константа, яка визначається із умови нормування:
Тут
називають гамма-функцією.
Таким чином,
. (275)
Тоді
(276)
Функція розподілу ймовірностей
(277)
.
Розглянемо властивості гамма-функції:
(278)
Отже,
. (279)
Якщо, наприклад, ( = n, де n — ціле невід’ємне число, то:
Г(n + 1) = nГ(n).
Використовуючи рівність (278) для Г(n), дістаємо:
Г(n) = (n – 1)Г(n – 1),
для Г(n – 1) рівність (278) набуде такого вигляду:
Г(n – 1) = (n – 2)Г(n – 2)
і так для кожного цілого значення аргументу ( гамма-функції.
Таким чином,
Г(n + 1) = n Г (n) = n(n – 1) Г (n – 1) =
= n (n – 1) (n – 2)Г(n – 2) = … =
= n(n – 1)(n – 2) … Г(1) = n(n – 1)(n – 2) … 1 = n!
Отже,
Г(n + 1) = n! (280)
Так, наприклад, Г(6) = 5! = 5 ( 4 ( 3 ( 2 ( 1 = 120.
5.1. Числові характеристики
. (281)
= | здійснивши таку саму заміну, як і для визначення М (Х), дістанемо |
=
;
. (282)
(283)
6. Розподіл Ерланга k-го порядку
Якщо в гамма-розподілі k набуває лише цілих значень (k ( 1), то
гамма-розподіл перетворюється в розподіл Ерланга k-го порядку, щільність
ймовірностей якої
(283а)
Функція розподілу ймовірностей
(283б)
Закону розподілу Ерланга k-го порядку підлягає сума незалежних
випадкових величин х = х1 + х2 + … + хк, кожна з яких має
експоненціальний закон із параметром (.
6.1. Числові характеристики
(283в)
Знайти С і F(x). Обчислити М (Х), D (Х), ((Х).
V
O
i
?e2
??#????????e
???????????e?>
@
B
J
`
d
p
r
?
I
i
o
o
oe
o
u
ue
jW
–
”
B
F
H
J
N
R
T
V
I
?
O
Oe
??
???????????e
??e
???????????e
??#????????e
jR
??e
??e
???????????e
??#????????e
???????????e
???????e
j
????????e
???????????e
????????e
???????????e
??#????????e
??#????????e
???????e
??#????????e
TT
??e
???????????e
AE
jz
AE
$
AE
AE
AE
&
F
AE
$
AE
?
j
?
(275), (276), (277), (281), (282), (283), записуємо:
.
Тоді
7. Експоненціальний закон розподілу
= 1.
Для цього закону розподілу
(284)
(285)
Графіки f (x), F(x) зображені на рис. 102 і 103.
Рис. 102 Рис. 103
7.1. Числові характеристики
= 1, маємо такі співвідношення.
(286)
. (287)
. (288)
4. Me для експоненціального закону визначається так:
(289)
Серед усіх законів неперервних випадкових величин лише експоненціальному
притаманна властивість — відсутність післядії, а саме: якщо пов’язати
випадкову величину із часом, то для цього закону минуле не впливає на
передбачення подій у майбутньому. Цю властивість експоненціального
закону використовують у марківських випадкових процесах, теорії масового
обслуговування, теорії надійності.
Властивість відсутності післядії унаочнює рис. 104.
Рис. 104
Коли збіжить час t0, який вигляд матиме щільність експоненціального
закону на проміжку[t0, (]?
Розглянемо заштриховану область. Щоб звести заштриховану область до
стандартного для щільності вигляду, маємо виконати таке нормування, щоб
площа, обмежена f (t) на проміжку [t0, (], дорівнювала одиниці.
Дістанемо нову щільність імовірностей, визначену для t ( [t0, (], яка
буде точною копією початкової функції.
Приклад 9. Задано
Визначити М (Х), ( (Х), Ме.
Розв’язання. Використовуючи формули (286—289), одержимо:
;
8. Бета-розподіл
Неперервна випадкова величина Х має бета-розподіл, якщо
Для визначення С використовуємо умову нормування
.
(290)
. (290а)
Якщо t = my, то
.
Тоді
. (291)
Підставляючи вираз (291) у (290а), дістаємо
.
Остаточно маємо:
. (292)
Отже,
(293)
(294)
8.1. Числові характеристики
(295)
;
(296)
. (297)
Приклад 10. Задано
Знайти С, М (Х), D (Х), ( (Х).
Розв’язання. Використовуючи формули (292), (295), (296), (297):
9. Розподіл Вейбулла
Неперервна випадкова величина Х має розподіл Вейбулла, якщо
За умовою нормування визначимо сталу С:
(298)
Щільність імовірностей для розподілу Вейбулла:
(299)
Функція розподілу ймовірностей
Звідси
(300)
Отже, розподіл Вейбулла визначається двома параметрами (, (.
9.1. Числові характеристики
(301)
.
. (302)
. (303)
Приклад 11. За заданими параметрами ( = 2, ( = 4 записати математичний
вираз для f (x), F (x) і обчислити числові характеристики М (X), D (X),
( (X).
Розв’язання. Використовуючи (302) — (306),
;
що було нами доведено;
.
10. Закони розподілу випадкових величин,
пов’язаних із нормальним законом розподілу
Нормальному закону розподілу належить центральне місце в побудові
статистичних моделей у теорії надійності та математичній статистиці.
10.1. Розподіл (2 (хі-квадрат)
матиме розподіл (2 із k ступенями свободи, щільність імовірностей якої
буде
Використовуючи умову нормування, знаходимо
;
(304)
(305)
Функція розподілу ймовірностей
(306)
10.1.1. Числові характеристики
;
. (307)
;
;
;
. (308)
. (309)
Приклад 12. Кожна з 10 незалежних випадкових величин хі має закон
розподілу N (0; 1). Записати вирази для f (x), F(x) і обчислити M (X), D
(X), ( (X).
Розв’язання. Використовуючи (308)—(312), дістаємо:
Таким чином,
Нехай випадкова величина Y має розподіл (2 із k ступенями свободи:
, то згідно зі (196) дістанемо
(310)
10.3. Розподіл (
Нехай випадкова величина Y має розподіл (2 із k ступенями свободи:
. Використовуючи (196), дістаємо
Випадкова величина Х має розподіл (, якщо
(311)
Функція розподілу ймовірностей
(312)
10.3.1. Числові характеристики (-розподілу
. (313)
;
; (314)
. (315)
. (316)
Приклад 13. Випадкова величина Х має розподіл ( із k = 8 ступенями
свободи. Записати вираз для f (x), F(x) і обчислити M(X), D(X), ((X).
Розв’язання. Обчислимо гамма-функції для k = 8:
Тут 7!! — добуток натурального ряду непарних чисел, починаючи від 1 до
7.
У загальному вигляді
(2n – 1)!! (317)
Отже,
Нехай випадкова величина Y має розподіл ( із k ступенями свободи
, то
.
Отже,
(318)
10.5. Розподіл Стьюдента
Незалежні випадкові величини Y і Х мають закони розподілу:
. Для зручності подальших перетворень запишемо f (x) у вигляді
Використовуючи формулу (217), дістаємо:
характеризуватиметься розподілом Стьюдента зі щільністю ймовірностей
(319a)
Тоді функція розподілу ймовірностей
. (319б)
10.5.1. Числові характеристики
розподілу Стьюдента
.
Оскільки підінтегральна функція є непарною, а межі інтегрування
симетричні відносно нуля:
. (320)
. (321)
. (322)
Приклад 14. Випадкова величина Х має розподіл Стьюдента із k = 7
ступенями свободи. Записати вираз для f (x), F(x) і обчислити M(X),
D(X), ((X).
Розв’язання. За заданим числом ступеней свободи k = 7 обчислимо
гамма-функції:
;
;
;
;
.
10.6. Розподіл Фішера—Снедекора
Нехай задано дві незалежні випадкові величини Y і Х, які мають закони
розподілу:
. Оскільки Y = ZХ і при цьому 0 ЛІТЕРАТУРА Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерное приложение. — М.: Наука, 1988. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1961. PAGE 1
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter