Реферат на тему:

Основні закони неперервних випадкових величин

1. Нормальний закон розподілу

Випадкова величина Х має нормальний закон розподілу ймовірностей, якщо

, (257)

де а = М (X), ( = ( (X). Отже, нормальний закон визначається звідси
параметрами а і ( і називається загальним.

Тоді

dx. (258)

Якщо а = 0 і ( = 1, то нормальний закон називають нормованим.

У цьому разі

, (259)

тобто f (x) = ((x) є функцією Гаусса,

dx. (260)

Графіки f (x), F(x) для загального нормального закону залежно від
параметрів а і ( зображені на рис. 91 і 92.

Рис. 91 Рис. 92

Із рис. 91 бачимо, що графік f (x) розміщений симетрично відносно умовно
проведеного перпендикуляра в точку Х = а. Зі зміною значень параметра а
крива f (x) зміщується праворуч, якщо а > 0 або ліворуч, якщо a < 0, не змінюючи при цьому своєї форми; f (a) = max, отже, Мо = а. Із рис. 92 бачимо, що графік F(x) є неспадною функцією, оскільки f (x) = F((x) > 0 і, як буде доведено далі, F(a) = 0,5.

Отже, Ме = а.

Зі зміною значень параметра а крива F(x) зміщується праворуч для а > 0
або ліворуч при а < 0, не змінюючи при цьому форми кривої. Отже, для нормального закону Мо = Ме = а. Зі зміною значень ( при а = const змінюється крутизна кривих у околі значень X = а, що унаочнюють рис. 93 і 94. Рис. 93 Рис. 94 Для нормованого нормального закону графіки функцій f (x), F (x) зображено на рис. 95 і 96. Рис. 95 Рис. 96 Загальний нормальний закон позначають: N (a; (). Так, наприклад, N (–2; 4) — загальний нормальний закон із значенням параметрів а = –2, ( = 4. Нормований нормальний закон позначають N (0; 1). 1.1. Визначення Ме, Аs, Es Для визначення As необхідно знайти (3. , = 0, а отже, і As = 0. Для визначення Еs необхідно знайти (4. . Отже, доведено, що для нормального закону Аs = Es = 0 при будь-яких обмежених значеннях параметрів а і (. 1.2. Формули для обчислення ймовірностей Отже, . (261) Отже, . (262) Для N (0, 1) формули (261), (262) наберуть такого вигляду: 1.3. Правило трьох сигм для нормального закону , то згідно з (262) маємо: . Практично ця подія при одному експерименті здійсниться, а тому її вважають практично вірогідною. Звідси: , дорівнює 0,0027. Це становить 0,27%, тобто практично вважається, що ця подія внаслідок проведення одного експерименту не здійсниться. 1.4. Лінійне перетворення для нормального закону Нехай випадкова величина Х має закон розподілу N (a; (). Необхідно знайти f (y), якщо y = kx + b. Оскільки М(Y) = М(kх + b) = kM (x) + b = ka + b. , то щільність імовірностей випадкової величини Y буде мати вигляд: . (263) Отже, при лінійному перетворенні випадкова величина Y також матиме нормальний закон зі значеннями параметрів . Приклад 1. Відомо, що випадкова величина Х має закон розподілу N(– 4; 2). < 4). Чому дорівнюють Мo, Ме, Аs, Es? Розв’язання. Графіки f (x), F(x) наведені на рис. 97 і 98. Рис. 97 Рис. 98 Використовуючи формули (261), (262), обчислюємо ймовірності: Mo = Me = a = – 4; As = Es = 0. Приклад 2. Випадкова величина Х має закон розподілу N (2; 5). Знайти f (y), якщо у = – 2х + 1. Обчислити Р(–2 < y < 5). Розв’язання. Оскільки М(Y) = М (kx + b) = kM(x) + b = – 2 ( 2 + 1 = = – 3, D (Y) = D (kx + b) = k2D (x) = 4 ( 25 = 100, ( (y) = 10, то щільність імовірностей випадкової величини Y Імовірність події –2 < у < 5 така: Знайти М(у), kxy, якщо у = 2х2 – 3x + 5. Розв’язання. Оскільки М(Y) = М(2х2 – 3x + 5) = 2M(x2) – 3M(x) + + 5; M(XY) = M(x (2x2 – 3x + 5)) = M(2x3 – 3x2 + 5x) = 2M(x3) – 3M(x2) + + 5M(x) і при цьому М(х) = –1, М(x2) = D(x) + M2(x) = 1 + (–1)2 = 2, то нам необхідно лише знайти М(х3). Отже, М(х3) = – 4. M(Y) = 2 ( 2 – 3 ( (–1) + 5 = 12; M(XY) = 2 ( (–4) – 3 ( 2 + 5 ( (–1) = –19; Kxy = M(XY) – M(X) M(Y) = –19 – (–1) ( 12 = 7. Отже, одержали: M(Y) = 12, kxy = 7. Приклад 4. Відомо, що діаметр кульки підшипника D є випадковою величиною, що має нормальний закон розподілу. Бракування кульок здійснюється за таким алгоритмом: якщо кулька не проходить через отвір із діаметром 5,5 мм, але проходить через отвір із діаметром 5,58 мм, то її розмір відповідає стандарту. Якщо будь-яка із наведених умов не виконується, то кулька бракується. Визначити (d, якщо брак становить 10%. Розв’язання. Середній діаметр кульки мм. Якщо позначимо d1 = 5,5мм, d2 = 5,58 мм, то ймовірність того, що кулька буде забракована, визначається як: . — математичне сподівання, то виконуються рівності: Далі маємо: мм. 2. Двовимірний нормальний закон (нормальний закон на площині) Щільність імовірностей для нормального закону на площині має вигляд . (264) Тут exp (z) = e – z, де ; Якщо rxy = 0, то щільність імовірностей набере такого вигляду: (265) У цьому випадку Якщо ах = ау = 0, то (266) У результаті перетину поверхні (264) площинами, паралельними координатній площині хОу, і проектування перерізів на цю площину утворюється множина подібних і однаково розташованих еліпсів зі спільним центром на початку координат. Кожний такий еліпс — геометричне місце точок, де f (x, y) є величиною сталою. Тому еліпси називають еліпсами рівних щільностей. Перетинаючи поверхні (265), (266) такими площинами і проектуючи ці перерізи на координатну площину хОу, дістаємо множину кіл. Імовірність потрапляння (Х, Y) у прямокутну область а < x < b, c < y < d, коли Kxy = 0, буде така: Отже, . (267) Приклад 5. Робітник на верстаті виготовляє валики. Довжина Y і діаметр Х валика є незалежними випадковими величинами, що мають нормальний закон розподілу з числовими характеристиками: М(X) = 50 мм, ((X) = 0,1 мм, М(Y) = = 20 мм, ((Y) = 0,0005 мм. Визначити відсоток бракованих валиків, якщо валик рахується стандартним, коли його розміри задовольняють умови: (50 – 0,1) мм < х < (50 + 0,1) мм, (20 – 0,05) мм < y < (20 + 0,05) мм. Розв’язання. Імовірність того, що валик не буде забракованим, визначається імовірністю влучення розмірів (х, у) у прямокутну область, зображену на рис. 100. Рис. 100 Імовірність браку така: що становить 31,74%. 3. Логарифмічний нормальний закон розподілу Необхідно знайти f (x), якщо Х = еy. Таким чином, Y є функцією випадкового аргументу Х. Тоді Отже, (268) Закон розподілу випадкової величини Х із щільністю (268) називають логарифмічним нормальним законом. 3.1. Числові характеристики . (269) Виконуючи таку саму заміну, як і для знаходження М(Х), дістаємо: . (270) Приклад 6. Випадкова величина Х має закон розподілу N (2; 4). Знайти математичне сподівання і дисперсію для логарифмічного нормального закону випадкової величини Y. 4. Урізаний (ліворуч) нормальний закон Нормальний закон посідає особливе місце в теорії ймовірностей та математичній статистиці, особливо у прикладних задачах. Але існує певний клас задач, які характерні для теорії надійності, коли випадкова величина Х може набувати лише додатні числові значення. У цьому разі використовують урізаний ліворуч нормальний закон, що зображений на рис. 101 для а > 0.

Pис. 101

Щільність імовірностей цього закону буде така:

Сталу С знаходимо з умови нормування:

.

Отже,

(271)

(272)

4.1. Числові характеристики

. (273)

?????????????

Приклад 7. За заданим N (2; 4) записати f (x), F(x) для урізаного
нормального закону (ліворуч) і знайти М(Х), D(X).

Розв’язання. Використовуючи (273) — (276), одержимо:

5. Гамма-розподіл

Неперервна випадкова величина Х має гамма-розподіл імовірностей, якщо

, С — константа, яка визначається із умови нормування:

Тут

називають гамма-функцією.

Таким чином,

. (275)

Тоді

(276)

Функція розподілу ймовірностей

(277)

.

Розглянемо властивості гамма-функції:

(278)

Отже,

. (279)

Якщо, наприклад, ( = n, де n — ціле невід’ємне число, то:

Г(n + 1) = nГ(n).

Використовуючи рівність (278) для Г(n), дістаємо:

Г(n) = (n – 1)Г(n – 1),

для Г(n – 1) рівність (278) набуде такого вигляду:

Г(n – 1) = (n – 2)Г(n – 2)

і так для кожного цілого значення аргументу ( гамма-функції.

Таким чином,

Г(n + 1) = n Г (n) = n(n – 1) Г (n – 1) =

= n (n – 1) (n – 2)Г(n – 2) = … =

= n(n – 1)(n – 2) … Г(1) = n(n – 1)(n – 2) … 1 = n!

Отже,

Г(n + 1) = n! (280)

Так, наприклад, Г(6) = 5! = 5 ( 4 ( 3 ( 2 ( 1 = 120.

5.1. Числові характеристики

. (281)

= | здійснивши таку саму заміну, як і для визначення М (Х), дістанемо |
=

;

. (282)

(283)

6. Розподіл Ерланга k-го порядку

Якщо в гамма-розподілі k набуває лише цілих значень (k ( 1), то
гамма-розподіл перетворюється в розподіл Ерланга k-го порядку, щільність
ймовірностей якої

(283а)

Функція розподілу ймовірностей

(283б)

Закону розподілу Ерланга k-го порядку підлягає сума незалежних
випадкових величин х = х1 + х2 + … + хк, кожна з яких має
експоненціальний закон із параметром (.

6.1. Числові характеристики

(283в)

Знайти С і F(x). Обчислити М (Х), D (Х), ((Х).

< >

V

O

i

? e 2

??#????????e

???????????e?>

@

B

J

`

d

p

r

?

I

i

o

o

oe

o

u

ue

jW

»

B

F

H

J

N

R

T

V

I

?

O

Oe

??

???????????e

??e

???????????e

??#????????e

jR

??e

??e

???????????e

??#????????e

???????????e

???????e

j

????????e

???????????e

????????e

???????????e

??#????????e

??#????????e

???????e

??#????????e

T T

??e

???????????e

AE

jz

AE

$

AE

AE

AE

&

F

AE

$

AE

?

j

?

(275), (276), (277), (281), (282), (283), записуємо:

.

Тоді

7. Експоненціальний закон розподілу

= 1.

Для цього закону розподілу

(284)

(285)

Графіки f (x), F(x) зображені на рис. 102 і 103.

Рис. 102 Рис. 103

7.1. Числові характеристики

= 1, маємо такі співвідношення.

(286)

. (287)

. (288)

4. Me для експоненціального закону визначається так:

(289)

Серед усіх законів неперервних випадкових величин лише експоненціальному
притаманна властивість — відсутність післядії, а саме: якщо пов’язати
випадкову величину із часом, то для цього закону минуле не впливає на
передбачення подій у майбутньому. Цю властивість експоненціального
закону використовують у марківських випадкових процесах, теорії масового
обслуговування, теорії надійності.

Властивість відсутності післядії унаочнює рис. 104.

Рис. 104

Коли збіжить час t0, який вигляд матиме щільність експоненціального
закону на проміжку[t0, (]?

Розглянемо заштриховану область. Щоб звести заштриховану область до
стандартного для щільності вигляду, маємо виконати таке нормування, щоб
площа, обмежена f (t) на проміжку [t0, (], дорівнювала одиниці.
Дістанемо нову щільність імовірностей, визначену для t ( [t0, (], яка
буде точною копією початкової функції.

Приклад 9. Задано

Визначити М (Х), ( (Х), Ме.

Розв’язання. Використовуючи формули (286—289), одержимо:

;

8. Бета-розподіл

Неперервна випадкова величина Х має бета-розподіл, якщо

Для визначення С використовуємо умову нормування

.

(290)

. (290а)

Якщо t = my, то

.

Тоді

. (291)

Підставляючи вираз (291) у (290а), дістаємо

.

Остаточно маємо:

. (292)

Отже,

(293)

(294)

8.1. Числові характеристики

(295)

;

(296)

. (297)

Приклад 10. Задано

Знайти С, М (Х), D (Х), ( (Х).

Розв’язання. Використовуючи формули (292), (295), (296), (297):

9. Розподіл Вейбулла

Неперервна випадкова величина Х має розподіл Вейбулла, якщо

За умовою нормування визначимо сталу С:

(298)

Щільність імовірностей для розподілу Вейбулла:

(299)

Функція розподілу ймовірностей

Звідси

(300)

Отже, розподіл Вейбулла визначається двома параметрами (, (.

9.1. Числові характеристики

(301)

.

. (302)

. (303)

Приклад 11. За заданими параметрами ( = 2, ( = 4 записати математичний
вираз для f (x), F (x) і обчислити числові характеристики М (X), D (X),
( (X).

Розв’язання. Використовуючи (302) — (306),

;

що було нами доведено;

.

10. Закони розподілу випадкових величин,

пов’язаних із нормальним законом розподілу

Нормальному закону розподілу належить центральне місце в побудові
статистичних моделей у теорії надійності та математичній статистиці.

10.1. Розподіл (2 (хі-квадрат)

матиме розподіл (2 із k ступенями свободи, щільність імовірностей якої
буде

Використовуючи умову нормування, знаходимо

;

(304)

(305)

Функція розподілу ймовірностей

(306)

10.1.1. Числові характеристики

;

. (307)

;

;

;

. (308)

. (309)

Приклад 12. Кожна з 10 незалежних випадкових величин хі має закон
розподілу N (0; 1). Записати вирази для f (x), F(x) і обчислити M (X), D
(X), ( (X).

Розв’язання. Використовуючи (308)—(312), дістаємо:

Таким чином,

Нехай випадкова величина Y має розподіл (2 із k ступенями свободи:

, то згідно зі (196) дістанемо

(310)

10.3. Розподіл (

Нехай випадкова величина Y має розподіл (2 із k ступенями свободи:

. Використовуючи (196), дістаємо

Випадкова величина Х має розподіл (, якщо

(311)

Функція розподілу ймовірностей

(312)

10.3.1. Числові характеристики (-розподілу

. (313)

;

; (314)

. (315)

. (316)

Приклад 13. Випадкова величина Х має розподіл ( із k = 8 ступенями
свободи. Записати вираз для f (x), F(x) і обчислити M(X), D(X), ((X).

Розв’язання. Обчислимо гамма-функції для k = 8:

Тут 7!! — добуток натурального ряду непарних чисел, починаючи від 1 до
7.

У загальному вигляді

(2n – 1)!! (317)

Отже,

Нехай випадкова величина Y має розподіл ( із k ступенями свободи

, то

.

Отже,

(318)

10.5. Розподіл Стьюдента

Незалежні випадкові величини Y і Х мають закони розподілу:

. Для зручності подальших перетворень запишемо f (x) у вигляді

Використовуючи формулу (217), дістаємо:

характеризуватиметься розподілом Стьюдента зі щільністю ймовірностей

(319a)

Тоді функція розподілу ймовірностей

. (319б)

10.5.1. Числові характеристики

розподілу Стьюдента

.

Оскільки підінтегральна функція є непарною, а межі інтегрування
симетричні відносно нуля:

. (320)

. (321)

. (322)

Приклад 14. Випадкова величина Х має розподіл Стьюдента із k = 7
ступенями свободи. Записати вираз для f (x), F(x) і обчислити M(X),
D(X), ((X).

Розв’язання. За заданим числом ступеней свободи k = 7 обчислимо
гамма-функції:

;

;

;

;

.

10.6. Розподіл Фішера—Снедекора

Нехай задано дві незалежні випадкові величини Y і Х, які мають закони
розподілу:

. Оскільки Y = ZХ і при цьому 0 < x < (; 0 < y < (; 0 < z < (, то згідно з (217), дістаємо: має розподіл Фішера—Снедекора зі щільністю ймовірностей (323) Функція розподілу ймовірностей (324) 10.6.1. Числові характеристики розподілу Фішера—Снедекора (325) Отже, ; . (326) . (327) 11. Рівномірний закон розподілу Неперервна випадкова величина Х, що визначена на проміжку [a, b], має рівномірний закон розподілу, якщо Функція розподілу ймовірностей 11.1. Числові характеристики Тоді ; ; Приклад 15. Випадкова величина Х має розподіл Фішера із k1 = 6, k2 = 8 ступенями свободи. Записати вирази для f (x), F (x) і обчислити M(X), D(X), ((X). Розв’язання. Обчислимо значення гамма-функцій: = 3! = 6; = 6! = 6 ( 5 ( 4 ( 3 ( 2 ( 1 = 720. Тоді Із розглянутих законів: (2, (, розподіл Стьюдента, розподіл Фішера—Снедекора можна зробити висновок, що вони не залежать від параметрів тих законів розподілу, які лежать в основі їх побудови, а залежать лише від числа ступенів свободи. ЛІТЕРАТУРА Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерное приложение. — М.: Наука, 1988. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1961. PAGE 1

Похожие записи