Реферат з математики

Основні тригонометричні формули. Співвідношення між тригонометричними
функціями одного и того самого аргументу

Розглянемо, як пов’язані між собою синус і косинус одного й того самого
кута.

Нехай при повороті радіуса ОА навколо точки О на кут ? дістали радіус ОВ
(мал. 77). Тоді за означенням

,

де х — абсциса точки В, а у — її ордината, а R — довжина радіуса ОА.
Звідси

x = R cos ?, y = R sin ?.

Оскільки точка В належить колу з

центром у початку координат, радіус якого дорівнює R, то її координати
задовольняють рівняння

x2+y2 = R2

Підставивши в це рівняння замість х і у вирази R cos ? і R sin ?,
дістанемо:

(R cos ?)2 + (R sin ?)2=R2.

Поділивши обидві частини останньої рівності на R2, знайдемо, що

sin2? + cos2? = l. (1)

Рівність (1) справджується при будь-яких значеннях ?.

З’ясуємо тепер, як пов’язані між собою тангенс, синус і косинус одного і
того самого кута.

. Оскільки y = R sin ?, х= R cos ?, то

.

Отже,

(2)

Аналогічно

,

тобто

, (3)

0.

За допомогою формул (1) – (3) можна вивести інші формули, які виражають
співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого
аргументу.

З різностей (2) і (3) дістанемо:

= 1,

тобто

tg ?-ctg ? = l. (4)

Рівність (4) показує, як пов’язані між собою тангенс і котангенс кута ?.
Вона справджується при всіх значеннях ?, при яких tg ? і ctg ? мають
зміст.

Зазначимо, що формулу (4) можна вивести і безпосередньо з означення
тангенса і котангенса.

Виведемо тепер формули, які виражають співвідношення між тангенсом і
косинусом, а також між котангенсом і синусом одного й того самого кута.

Поділивши обидві частини рівності (1) на cos2? дістанемо:

,

тобто

. (5)

Якщо обидві частини рівності (1) поділити на sin2a, то матимемо:

.

тобто

(6)

0.

Рівності (1) – (6) є тотожностями, їх називають основними
тригонометричними тотожностями. Розглянемо приклади використання цих
тотожностей для знаходження значень тригонометричних функцій за відомим
значенням однієї з них.

< ? < ?. Знайдемо спочатку cos ?. З формули sin2? + cos2? = 1 дістанемо, що cos2? = 1- sin2?. Оскільки ? є кутом II чверті, то його косинус від'ємний. Отже, . Знаючи синус і косинус кута ?, можна знайти його тангенс: . Для знаходження котангенса кута ? зручно скористатися формулою tg ?·ctg ? = 1. Маємо: . Отже, . . Знайдемо sin ?, cos ? i ctg ?. , знайдемо cos ?. Маємо: . За умовою кут ? є кутом І чверті і тому його косинус додатний. Отже, . дістанемо: . За відомим tg ? легко знайти ctg ?: . .

Похожие записи