Пошукова робота

на тему:

Основні правила диференціювання. Таблиця похідних.

План

Основні правила диференціювання.

Похідні від елементарних функцій.

Похідна від степеневої функції.

Похідна від степеневої та логарифмічної функції.

Похідні від тригонометричних функцій.

Похідні від обернених тригонометричних функцій.

Похідна від складної функції.

1. Правила диференціювання

Операція знаходження похідної від даної функції називається
диференціюванням цієї функції. Доведемо ряд теорем, які дають основні
правила знаходження похідних від функцій.

.

.                                                     (6.14)

.

.

маємо

.

, яка теж дорівнює нулю, тобто

.                                        (6.15)            3. Похідна
від суми.

 дорівнює

.                       (6.16)

. Знайдемо відношення

.

 згідно з умовою теореми мають похідну, то

.

Тому

.

Теорему доведено.

            Наслідок. Похідна від суми скінченого числа функцій дорівнює
сумі похідних від цих функцій, якщо похідні даних функцій існують, тобто

(6.17)

4. Похідна від добутку.

 також має похідну:

.              (6.18)      

 приріст

            Знайдемо відношення

. За умови теореми

а

Отже,

Теорему доведено.

, то

                         (6.19)

5. Похідна від частки.

 дорівнює

           (6.20)

— приріст

Знайдемо відношення

За умовою теореми

, тому

Теорему доведено.

Наслідок 1. Якщо знаменник дробу —  стала величина, то

                               (6.21)

Наслідок 2. Якщо чисельник дробу стала величина, то

                          (6.22)

6. Похідна від оберненої функції.

.

, тобто

 існує похідна:

                              (6.23)

Теорему доведено.

 має похідну в довільній точці і

, то формула (6.23) справджується для цих точок

або, що те саме,

                                       (6.24)

. Тому формулу (6.24) записують

                                       (6.25)

            Нижній індекс показує, за якою змінною знаходиться похідна.

. Остаточно матимемо таку формулу для похідної від оберненої функції:

                                        (6.26)

2. Похідні від елементарних функцій

:

 за формулою бінома Ньютона:

            Знайдемо відношення

, дістаємо

 з натуральним показником існує і дорівнює

.

 дорівнює

            Знайдемо відношення

або

                                     (6.28)

.

. Тому

                 (6.29)

            Обчислимо окремо

            Для цього введемо таке позначення:

. Тоді

            Проте внаслідок неперервності логарифмічної функції маємо

            Отже,

            Повертаючись до співвідношення (6.29), маємо

, то

                            (6.30)

:

 границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли
приріст аргументу прямує до нуля, існує і дорівнює нулю:

 похідної немає.

, то дістанемо той самий результат.

            Отже, для похідної від степеневої функції ми маємо таке
правило: похідна від степеневої функції дорівнює показнику, помноженому
на цю функцію з показником, на одиницю меншим.

3. Похідна від показникової та логарифмічної функцій

.

:

Тоді

. Маємо

 і дорівнює

                          (6.31)

            Зокрема,

                              (6.32)

. Згідно з означенням логарифмічної функції маємо таку рівність:

, то

            Отже,

             (6.33)

            Зокрема,

                                   (6.34)

4. Похідні від тригонометричних функцій

:

            Знайдемо відношення

:

 і дорівнює

                                       (6.35)

 існує похідна, яка дорівнює

                              (6.36)

 у вигляді

Скориставшись формулою (6.20), маємо

            Отже,

                        (6.37)

. Аналогічно можна довести, що

                        (6.38)

5. Похідні обернених тригонометричних функцій

.

 маємо таку рівність:

 можна скористатися формулою (6.24):

 набуває тільки додатних значень. Тоді можна записати:

            Отже,  остаточно

                         (6.39)

2.      Аналогічно можна вивести формули похідних

            (6.40)

             (6.42)           

6. Похідна від складної функції

 Функція однієї змінної.

 функції, тобто

або

                                   (6.43)

           

            Правило знаходження похідної від складної функції: щоб
знайти похідну від складної функції, треба знайти похідну від зовнішньої
функції за зовнішнім аргументом і результат помножити на похідну від
внутрішньої функції за внутрішнім аргументом.

, яка дорівнює

            Приклади.

.

. Отже,

.

.

            Тому

Похідна від степенево-показникової функції.

, називається степенево-показниковою функцією.

            Степенево-показникову функцію не можна диференціювати ні за
формулою похідної степеневої функції, ні за формулою показникової
функції, оскільки вона не є ні тою ні другою. Одержимо окрему формулу.

. Прологарифмувавши обидві частини рівності, маємо

 як складні функції:

            Звідси

або

                                    (6.44)

 сталим) та результати додати.

            Приклади.

.

Р о з в ’ я з о к.

.

Р о з в ’ я з о к.

            Зауваження. Застосований в цьому параграфі прийом для
знаходження похідних, коли спочатку знаходять похідну логарифму даної
функції, широко використовується при диференціюванні функцій. Цей прийом
часто спрощує обчислення.

            Приклад.

            Знайти похідну від функції

            Р о з в ’ я з о к. Логарифмуючи, знаходимо

            Диференціюємо обидві частини цієї рівності:

Звідси

Похідна від складної функції кількох змінних.

 за цим аргументом, вважаючи інші аргументи постійними .

            Приклади.

            1. Знайти частинні похідні від функції

            Р о з в ’ я з о к.

2. Знайти частинні похідні від функції

            Р о з в ’ я з о к.

 і одержати формулу для її обчислення:

                        (6.45)

            Приклад.

.

            Р о з в ’ я з о к.

:

                         (6.46)

записується так:

                   (6.47)

….

       

                       

            Приклад.

.

            Р о з в ’ я з о к.

Похожие записи