Реферат на тему:

Основи векторної алгебри

Означення й основні властивості векторів

— позначення. Якщо початок вектора збігається з його кінцем, то такий
вектор називається нульовим.

на рис. 64).

Рис. 64

, с, на рис. 64).

Два вектори називаються рівними, якщо вони спів напрямлені і їхні модулі
рівні.

, зображені на рис. 64, називаються проти направлені.

, якщо k < 0, і такий, що . Теорема 2. Від будь-якої точки можна відкласти вектор, рівний даному. , що є діагоналлю паралелограма ABCD. Рис. 65 Зауваження. Від будь-якої точки площини можна відкласти вектор, рівний даному. Тому для того, щоб скласти два вектори, розташованих довільним образом, випливає від кінця одного з них відкласти вектор, рівний іншому, і скористатися правилом трикутника. (див. рис. 65). у цій площині можна єдиним образом представити у виді суми: . Задача. Нехай у ? АВС точка N лежить на стороні ВС, а точка М — на стороні АВ, причому BN : ВР =1 : 5; AM : АВ = 1 : 5. Прямі AN і CM перетинаються в точці О. Знайдемо відносини СО : МС і АО : AN (рис. 66). Рис. 66 маємо систему рівнянь: Скалярний добуток векторів, його властивості Кутом між векторами називається кут між променями, на яких лежать ці вектори. називається число, рівне добутку довжин цих векторів, помноженому на косинус кута між ними: ). . Справедливі наступні властивості скалярного добутку’. ; ; . З визначення скалярного добутку векторів маємо Векторний метод ефективно використовується при рішенні геометричних задач. ВМ — медіана трикутника (рис. 67). Знайдемо кут між AD і ВМ, якщо АВ = 3, ВР = 4. Рис. 67 Обчислимо скалярний добуток: Отже, Рис. 68 ????? ????? ????? ????? ?????Т?Т????? ?Т?Т????? ?Т?Т?? x ° ? A Ae iiiiiiiiiiiiiiaaiiiiaaaa ?? ????? ????? ?Т?Т?? ????? ????? ????? ????? ????? ????? ????? ?? ????? ????? ????? ?????Т?Т?? ????? ?????????????AE?? ????? ??-????? ????? ???????Т?Т????? ?Т?Т????? ????? ????? ????? ????? ???J?J???Т?Т??&????? ???????Т?Т????? ?Т?Т??$????? ???????Т?Т??"????? ????? ?????Т?Т????? ??-????? ??+????? ????? ?????Т?Т????? ????? ????? ???J?J???Т?Т??(????? ????? ??3????? ????? ?Т?Т??1????? ???????Т?Т??/????? ????? ?????Т?Т????? ????? ??9????? ??7????? ??5????? ????? ????? ????? ?Т?Т???????? ??=????? ????? ????? ???J?J???Т?Т??;????? ??U????? ????? ?????Т?Т????? ????? ????? ????? ???J?J???Т?Т??A????? ??]????? ??\????? ??Z????? ????? ????? ?????Т?Т??X????? ??d????? ??b????? ????? ?Т?Т????? ????? ?????Т?Т??_????? ??j????? ????? ?Т?Т??h????? ????? ????? ???J?J???Т?Т????? ????? ?????Т?Т??f????? ??p????? ????? ?Т?Т????? ?Т?Т??n????? ????? ????? ?????Т?Т??l????? ?????????????????????????u????? ? ?????H?H??????? ?Т?Т????? ?Т?Т????? ????? ?????Т?Т??r????? ???????????????????? ???????? ???????? ????? ????? ?????Т?Т??????? ? ?????H?H?????????? ? ?????H?H?????????? ? ?????H?H??????? ?Т?Т????? ????? ?????Т?Т???????? ???????? ? ?????H?H?????????? ? ?????H?H?????????? ? ?????H?H??????? ????? ?????Т?Т???????? ?? ????? ? ?????H?H?????????? ???????? ????? ????? ?????Т?Т???????? ??§????? ????? ?Т?Т????? ?Т?Т??Y????? ? ?????H?H????F????? ? ?????H?H??????? ????? ??°????? ???????Т?Т??®????? ??«????? ????? ????????? ????? ?????Т?Т??©????? ????? ?j¶????? ? ?????H?H?????????? ???????? ????? ?????Т?Т????? ????? ????? ??1/2????? ?????H?H?????????? ?????H?H?????????? ?????H?H??????? ????? ????? ?Т?Т????? ?jAE????? ? ?????H?H????A????? ? ?????H?H????A????? ? ?????H?H??????? ????? ??I????? ? ?????H?H????E????? ? ?????H?H??????? ?Т?Т????? ????? ?????Т?Т??E????? ??U????? ?????H?H????U????? ?????H?H????*????? ????? ???J?J???Т?Т????? ??a????? ?????H?H????a????? ?????H?H??????? ????? ???J?J???Т?Т??Y????? ????? ??e????? ?????H?H????ae????? ?????H?H??????? ????? ???J?J???Т?Т??ae????? ??i????? ????? ???J?J???Т?Т????? ??e????? ?????H?H??????? ????? ????? ????????h??o????? ????? ?????Т?Т????? ??o????? ?????H?H??????? ????? ???J?J???Т?Т???????? ????? ???J?J???Т?Т????? ??y????? ? ?????H?H????u????? ? ?????H?H????u????? ? ?????H?H??????? ????? ????? ?????Т?Т????? ?????Т?Т????? ?Т?Т????? ????? ?Т?Т????? ????? ???J?J???Т?Т???????? ???????? ? ?????H?H?????????? ? ?????H?H?????????? ? ?????H?H??????? ????? ?????Т?Т???????? ??????????????????? ? ?????H?H?????????? ? ?????H?H?????????? ? ?????H?H?????????? ? ?????H?H??????? ????? ? ?????H?H?????????? ? ?????H?H?????????? ? ?????H?H?????????? ? ?????H?H??????? ????? ???????? ? ?????H?H?????????? ?????????? ????? ????? ?????Т?Т???????? дуже просто: Тому: Координати вектора площини можна єдиним образом представити у виді: простору можна єдиним чином представити у вигляді: Властивості координат вектора: то xa = xb, ya = yb, za = zb. то xa = ?xb, ya = ?yb, za = ?zb. то xc = xa + xb, yc = ya + yb, zc = za + zb. 4) Скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків відповідних координат цих векторів: (1) 5) Модуль вектора дорівнює кореню квадратному із суми квадратів його координат: (2) Задача. Знайдемо координати точки D і кут між діагоналями паралелограма ABCD, якщо А(0, 1, –2), В(–1, 0, 3), С(2, 3, –1). : Звідси випливає, що х = 3, у – 1 = 3, z + 2 = –4, тобто х = 3, у = 4, z = –6. Знайдемо тепер координати діагоналей: Використовуючи вираження (2) для довжини вектора і (1) для скалярного добутку векторів через його координати, маємо: Векторний добуток що задовольняє умовам: ; на найменший кут видний проти вартовий стрілки (рис. 69). Рис. 69 Властивості векторного добутку: 1) Антикомінативність 2) Дистрибутивність 3) Асоціативність множення на скаляр (4) Умова колінеарності двох векторів Геометричний зміст векторного добутку , дорівнює модулю їхнього векторного добутку (рис. 70): Рис. 70 , дорівнює половині модуля їхнього векторного добутку (рис. 71): Рис. 71 Векторний добуток у координатах , то їхній векторний добуток має координати: Замість приведеної громіздкої формули зручніше використовувати запис векторного добутку через визначник: Задача. Знайдемо площу трикутника з вершинами в точках А(2, –4, 1), В(–2, 1, 3), C(l, –1, 2). Насамперед введемо вектори, що збігаються с двома сторонами трикутника АВС: чи Обчислимо векторний добуток цих векторів: Тепер можна знайти площу трикутника АВС: ЛІТЕРАТУРА Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с. Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ. Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с. Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994. Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.: Школа-Пресс, 1995. — 144 с. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000. Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд. дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с. PAGE 1

Похожие записи