Опуклі множини

У курсі “Математичне програмування” та в деяких економічних дослідження
використовуються поняття опуклої лінійної комбінації векторів та опуклої
множини.

Спочатку ознайомимось з поняттям опуклої лінійної комбінації векторів.

2 точок А1 та А2.

Вектори

колінеарні і однаково напрямлені, тому вони пропорційні. Отже, існує
таке t, що:

Звідси одержимо:

Якщо позначити 1 – t = t1, t = t2, то остання рівність прийме вигляд

(1)

(2)

2 називають комбінацією (1) цих векторів при умові (2).

Рівняння (1) з умовою (2) можна зрозуміти як векторне рівняння відрізка
А1А2.

називають комбінацію

(3)

при умовах

(4)

, має

,

тому вона опукла.

Означення. Опуклою множиною називається множина, дві довільні точки якої
визначають відрізок, що належить цій множині.

Відрізок, півпряма, пряма, кут менший 1800, коло, півплощина, куб,
тетраедр, куля – опуклі множини.

На малюнку 2 зображені різні множини. У випадках а) – с) ці множини
опуклі, у випадках d) – е) вони неопуклі.

Означення. Граничною точкою множини називають таку точку, в околі якої,
як завгодно малого радіуса з центром в цій точці, є точки, що належать
множині, і є точки, що не належать множині.

Границею множини називається сукупність всіх її граничних точок.

Множина, якій належить її границя, називається замкненою.

Опуклі замкнені множини бувають обмеженими і не обмеженими. Множина
називається обмеженою, якщо існує таке число с > 0, що відстань
довільної точки М множини від початку координат обмежена, тобто |ОМ| < 0. Означення. Опукла замкнена множина в n вимірному просторі, що має скінченне число кутових точок, називається опуклим n вимірною многогранною множиною, якщо вона не обмежена. Кутові точки називають вершинами, відрізки, що сполучають дві сусідні вершини, називають ребрами. Означення. Опорною прямою многокутника в двовимірному просторі називається пряма, яка має з многокутником, розташованим по одну сторону від неї, принаймні одну спільну точку. Опорна пряма з многокутником може мати спільну вершину або ребро. Останні поняття узагальнюються на випадок n вимірного простору. Означення. Опорною гіперплощиною опуклої замкненої множини n вимірного простору називається гіперплощина, що має з цією множиною, розташованою по одну сторону від неї, хоч би одну спільну точку. Опорна гіперплощина з множиною може мати спільну вершину, ребро або грань.

Похожие записи