Опуклі множини
У курсі “Математичне програмування” та в деяких економічних дослідження
використовуються поняття опуклої лінійної комбінації векторів та опуклої
множини.
Спочатку ознайомимось з поняттям опуклої лінійної комбінації векторів.
2 точок А1 та А2.
Вектори
колінеарні і однаково напрямлені, тому вони пропорційні. Отже, існує
таке t, що:
Звідси одержимо:
Якщо позначити 1 – t = t1, t = t2, то остання рівність прийме вигляд
(1)
(2)
2 називають комбінацією (1) цих векторів при умові (2).
Рівняння (1) з умовою (2) можна зрозуміти як векторне рівняння відрізка
А1А2.
називають комбінацію
(3)
при умовах
(4)
, має
,
тому вона опукла.
Означення. Опуклою множиною називається множина, дві довільні точки якої
визначають відрізок, що належить цій множині.
Відрізок, півпряма, пряма, кут менший 1800, коло, півплощина, куб,
тетраедр, куля – опуклі множини.
На малюнку 2 зображені різні множини. У випадках а) – с) ці множини
опуклі, у випадках d) – е) вони неопуклі.
Означення. Граничною точкою множини називають таку точку, в околі якої,
як завгодно малого радіуса з центром в цій точці, є точки, що належать
множині, і є точки, що не належать множині.
Границею множини називається сукупність всіх її граничних точок.
Множина, якій належить її границя, називається замкненою.
Опуклі замкнені множини бувають обмеженими і не обмеженими. Множина
називається обмеженою, якщо існує таке число с > 0, що відстань
довільної точки М множини від початку координат обмежена, тобто |ОМ|
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
