Реферат на тему:

Оптимальне керування в рівняннях еліптичного типу

Розглянемо в G рівняння

(1)

з граничними умовами

(2)

Тут

що

існує єдиний узагальнений розв’язок рівняння (1) з граничними умовами
(2).

який будемо називати критерієм якості керування u.

будемо називати оптимальним керуванням, а задачу

задачей оптимального керування для рівняння (1) з граничними умовами
(2).

Розглянемо теореми існування оптимального керування для часткових
випадків. Припустимо далі, що від керування u залежить лише права
частина рівняння (1). Покажемо, що має місце

. Тоді існує принаймні одне оптимальне керування.

є оптимальним керуванням.

розв’язок задачі (1), (2) з правою частиною f(x,un). З нерівності

, та перейдемо в співвідношенні

Далі зауважимо, що в силу слабкої полунеперервності знизу функціоналу
J(?)

а оскільки un – мінімізуюча послідовність, то

— оптимальне керування. л

Зауваження 1. Візьмемо функціонал J(?) у вигляді

Якщо далі скористуємося лемой Фату та напівнеперервністю знизу функції
F(x,y), то одержимо

що і потрібно було показати.

причому виконується одна з двух умов:

— розв’язок задачі (1),(2);

вектор u належить обмеженій слабозамкненій множині U1 простору U.

Тоді, якщо послідовність f(x,un) слабко збігається до функції f(x,u) в
L2(G) для будь-якої слабозбіжної до вектора u послідовності un, то
справедлива

Теорема 2. В просторі U існує принаймні одне оптимальне керування.

одержимо, що

— оптимальне керування. л

Розглянемо далі той випадок, коли від керування залежить коефіцієнти
еліптичного рівняння.

(x,u).

Тоді існує принаймні одне оптимальне керування.

— відповідна послідовність розв’язків задачі (1), (2). Згідно
означенню узагальненого розв’язка

одержимо

обмежені і тому з послідовності

(див. []), то

є розв’язком задачі (3.1), (3.2).

одержимо, що

— оптимальне керування. л

або вектор u належить обмеженій слабозамкненій множині простору U.
Тоді також можна показати, що існує принаймні одне оптимальне керування.

Насамкінець розглянемо питання про існування оптимального керування в
задачах, які описуються варіаційними нерівностями виду:

(3)

Тут

.

. Тоді існує принаймні одне оптимальне керування варіаційною нерівністю
(3.3).

розв’язок варіаційної нерівності (3.3), який відповідає керуванню un.
Тоді неважко побачити, що справедливе співвідношення

і обмеженість множини F одержимо, що існують невід’ємні константи С1 і
С2 такі, що

Враховуючи також, що

одержимо

є оптимальним керуванням. л

Зауваження 4. Для варіаційних нерівностей можна також довести теореми,
подібні теоремам 2, 3.

L(U,L2(G)), U – рефлексивний банаховий простір, а керування u належить
замкненій опуклій підмножині U1 простору U, причому критерій якості
можна представити у вигляді

Покажемо тоді, що має місце

Теорема 5. Множина оптимальних керувань є непустою замкненою підмножиною
простору U, яка співпадає з сукупністю розв’язків варіаційної нерівності

(4)

де функція z(x) визначається з розв’язку рівняння

(5)

— непорожня, опукла і замкнена (див.також §2).

можна представити у вигляді

— розв’язок задачі

(6)

З означення узагальнених узагальнених розв’язків рівнянь (5) і (6)
випливає, що

співпадає з множиною розв’язків нерівності

.

одержимо потрібне співвідношення. л

то теорема 5 також залишається справедливою, а в тому випадку, коли
U1=U варіаційну нерівність (4) слід замінити рівнянням

(7)

Зауваження 6. Якщо функціонал J2(u) не диференційовний, то співідношення
(4) заміняється нерівністю

(8)

Зауваження 7. Позначимо через u(z) розв’язок варіаційної нерівності
(3.4). Тоді оптимальне керування може бути знайдено з розв’язку системи
нелінійних рівнянь з частинними похідними

(9)

Покажемо тоді, що має місце

Твердження 1. Оптимальне керування u(z) можна представити у вигляді

де функція z(x) знаходиться з розв’язку системи рівнянь

(10)

можна перейти до границі і одержати, що функція u(x) також задовольняє
цю нерівність. Далі з теореми (3.5) випливає, що оптимальне керування
знаходиться з розв’язку варіаційної нерівності

(11)

Покажемо тепер, що справедлива

а V(Sn(x0)) об’єми відповідних сфер.

З оцінки

Тоді

одержимо

Оскільки x0 довільна точка G, то лема доведена.

Продовжимо далі доведення теореми. Використовуючи лему, нерівність
(3.11) перепишемо увигляді

Звідки

при u1(x) < u < u2(x), що і потрібно було довести. л Наслідок. Нехай p=2, ?>0. Тоді співвідношення для оптимального керування набудуть
вигляду

має вигляд

,

Покажемо, що має місце

Твердження 2. Для оптимального значення критерія якості справедливо
представлення

визначаються зі співвідношень

є розв’язком рівняння

— канонічний ізоморфізм простору U на спряжений.

функціонал K(u,v) вигляду

Зауважимо, що опуклий слабонапівнеперервний знизу по змінній u,
лінійний по v функціонал. Згідно з теоремою про існування сідлової
точки (див. §2) має місце рівність

то користуючись означенням узагальненого розв’язку рівняння неважко
показати, що

PAGE 1

Похожие записи