Реферат на тему:

Операції псевдообернення та проектування

В даному розділі даються основні поняття з класичної лінійної алгебри.
Буде дано одне з кількох визначень псевдооберненої матриці, через яку
знаходиться загальний розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
Також будуть наведені деякі методи обчислення псевдообернених
прямокутних матриць [1].

1.1. Псевдообернені оператори

Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

, (1.1)

. Систему (1.1) можна ще представити у векторному вигляді

. (1.2)

Тут введені наступні позначення

.

При розв’язанні системи алгебраїчних рівнянь можливі наступні варіанти
розв’язків.

, який задовольняє систему векторних рівнянь (1.2) (мал. 1.1).

Мал. 1.1

Існує множина розв’язків системи (1.1) (мал. 1.2).

Мал. 1.2

, які задовольняють систему (1.1).

, який буде знаходитись на найближчій відстані до всіх гіперплощин
системи (1.1) (мал. 1.3).

Мал. 1.3

, які будуть знаходитись на найближчій відстані до всіх гіперплощин
системи (1.1) (мал. 1.4).

Мал. 1.4

визначається наступним чином.

,

.

1.2. Алгоритми псевдоінверсії матриць

[1, 5]. Наведемо деякі з них.

1.2.1. Метод скелетизації матриць

можливий такий розклад

,

. Тоді

.

1.2.2. Метод сингулярного представлення

допускає сингулярне представлення у виді

,

,тобто

, тобто

має наступне сингулярне представлення

1.2.3. Метод Мура-Пенроуза

, то псевдообернену матрицу можна представити наступною формулою

.

— одинична матриця розмірності m.

,

— одинична матриця розмірності n.

1.3. Проекційні оператори

. Справді,

.

.

Розглянемо тепер матрицю такого вигляду

.

.

.

слід згадати про такі важливі матриці, які теж являються проекційними

.

Приведемо декілька корисних співвідношень, в справедливості кожного з
яких можна легко переконатися, записавши сингулярний розклад матриць

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Похожие записи