Курсова робота
на тему:
Операції на топологічних просторах
План
Підпростори.
Суми.
Добутки.
Фактор-простори та фактор-відображення.
Вступ
Темою моєї курсової роботи є операції на топологічних просторах, тобто
методи побудови нових топологічних просторів із заданих. Ідеї топології
беруть початок із робіт видатних математиків ХІХ ст.: Н. І.
Лобачевського, Рімана, Пуанкаре, Френне, Кантора, Гілберта та Браура.
Оформлення топології у самостійну область математики пов’язане із
виходом у 1914р. книжки Ф. Хаусдорфа “Теорія множин“.
Розділ 1 присв’ячений підпросторам. Тут ми вивчаємо звуження і
продовження неперервних відображень та функцій. Важливим результатом є
теорема Тітце-Урисона.
У розділі 2 описано суми топологічних просторів, які вперше появилися у
роботі Тітце у 1923р. Застосування операції суми інколи спрощує
доведення та розв’язання прикладів.
У третьому розділі я розглядаю операцію добутку. Порівняно із іншими
операціями на топологічних просторах, добуток приводить до найбільш
цікавих теорем, прикладів і задач. Френе першим розглядав декартів
добуток абстрактних просторів
Фактор-простори вперше появилися у роботі Мора і Александрова. Ці автори
вивчали частинний випадок, коли фактор-простір породжується
напівнеперервним зверху розбиттям. Мор вивчав тільки розбиття площини на
континууми.
1. ПІДПРОСТОРИ
підмножини множини X і, яка задовольняє наступні умови:
.
.
.
,а із рівності
випливає, що виконані також і умови2) і 3)).
відкрита в X},як сім’ю відкритих множин в М, ми визначаємо на М
топологію. Множина М з цією топологією називається підпростором простору
X, а сама топологія називається індукованою топологією або топологією
підпростору.
.
де Р = Х\и замкнене в X.
.Доведено.
; дві визначені на L топології — топологія підпростору простору М і
топологія підпростору простору X — співпадають.
відкрита в М тоді і тільки тоді, коли вона відкрита в Х.
замкнене (відкритий) в тому і лише тому випадку, якщо підпростір М
замкнений (відкритий).
замкнене (відкритий).
.
.
Формули, які відносяться до образів і прообразів при звуженнях:
;
;
.
– простору X наступні умови рівносильні:
Простір X є спадковим.
Кожен відкритий підпростір простору X нормальний.
.
.Оскільки М — відкритий підпростір простору X, то множини U і V
відкриті в X.
відкриті в М, не перетинаються і містять відповідно А і В.
, визначається формулою
неперервно продовжується на Х.
неперервно продовжується на X.
.
,що
(1)
. (2)
,яке задовольнятиме умови (1) і (2).
неперервних відображень X в R, таку, що
, (3)
. (4)
замість і.
.Таким чином, F є продовження f на X.
.
є шуканим, продовженням f на X. Доведено.
, не можна неперервно продовжити на X.
неперервне.
володіють необхідними властивостями.
локально кінцеві), то комбінація f відкрита (замкнена).
2. СУМИ
.
.
відкрите. Отже, дане твердження випливає із рівності
Доведено.
.
.
.
відкрите в Х.
тобто сума простору асоціативна.
.
неперервне. Доведено.
.Нехай будь-яке сім’я просторів має суму (визначену з точністю до
гомеоморфізма), ця сім’я складається з попарно неперетинних просторів.
.
є сумою одноточкових просторів.
випливає із твердження 2.3.
Л всупереч визначенню найменшої верхньої грані.
3. ДОБУТКИ
називають також квадратом простору Х.
також утворює базу.
є
, і
Друга частина є наслідком першої і означення бази.
.
співпадають.
,тобто об’єднанням перетинів А з елементами цієї сім’ї.
, то топологія добутку на А тонша, ніж топологія підпростору.
.
який містить х, ми маємо
,
.
.
.
гомеоморфні, тобто декартів
добуток асоціативний.
неперервні.
.
гомеоморфні, тобто декартів добуток комутативний.
— тор.
.
мають місце співвідношення
,
також володіє властивістю P.
мультиплікативними властивостями.
.
і на множині
.
, визначається формулою
.
3.11. Твердження.У добутку сепарабельних просторів будь-яка сім’я
попарно неперетинних непорожніх відкритих множин є зліченна.
Обмеження числа співмножників в теоремі Хьюїтта – Марчевського –
Пондіцері є важливим.
& 2 Ae
AE
???????????2 D~
?-“F!1/4″4&oeoeoeoeoeneYOOOEAAEµnEEµE
&
&
?I?V z!?ciF¶Y~§$©”«N«.®/ee/eaee/////*e//e//eee//
[email protected]/eessssss//ee/////e/e/*OAE
?Т?Т???????[? ?????? ?Т?Т?Т?Т??
– гомеоморфне вкладення.
має місце співвідношення
(1)
.Отже, права частина співвідношення (1) міститься в його лівій частині.
Зворотне включення очевидне.
, визначене формулою
і кожен простір, що володіє цією властивістю, можна вкласти в X.
.
.
також є тихонівським простором.
, то з цього випливає, що
,
.
.
.
не є замкнутим.
.
відкрите.
— відкрите
.
замкнена.
, то
.
, який задовольняє включення
.
Тому
.
.
4. ФАКТОР-ПРОСТОРИ І ФАКТОР-ВІДОБРАЖЕННЯ
—звичайним факторним відображенням
— замкнена підмножина простору X.
Доведення. Твердження випливає з рівності
.
.
відкрите в Х/Е.
не є гомеоморфізмом.
— звичайне відображення.
топологічного простору X на топологічний простір У рівносильними є
наступні умови:
є факторвідображенням.
.
.
є гомеоморфізмом.
.
4.4. Наслідок. Композиція двох фактор відображень є фактор відображення.
4.5. Наслідок. Будь-яке взаємно однозначне факторвідображення є
гомеоморфізмом.
.
4.7. Твердження. Фактор-простір деякого фактор-простору простору X є
фактор-простором простору X.
, то відображення
,
— звичайні факторвідображення, є гомеоморфізмом.
є фактор-відображенням.
.
звичайне відображення, тоді відображення
є гомеоморфізм.
не є фактор-відображенням.
не є фактор-відображенням.
5. ГРАНИЦІ ЗВОРОТНИХ СПЕКТРІВ
.
.
.
.
.
.
Границя зворотного спектру абсолютно нормальних просторів не обов’язково
буде нормальною. Проте границя зворотної послідовності абсолютно
нормальних просторів є абсолютно нормальною. Цей останній висновок
невірний для нормальних або спадково нормальних просторів
. Отже, застосовуючи границю зворотного спектру, можна виразити
нескінченні добутки в термінах кінцевих добутків.
.
.
.
, маємо, в силу (4) і (5),
.
.
також є гомеоморфізмом.
. Тоді
.
і звуження
очевидне.
.
, зворотний гомеоморфизму
.
. Тим самим визначене граничне відображення
.
.
Список використаної літератури:
Ришард Енгелькынг “Общая топология” – Москва, “Мыр”, 1986р.
Кураторський, Казимир “Топологія”. Пер. з англ. М. Я. Антоновського.
т.1-2, Москва, “Мир” 1966-1969р.
Федорук В.В., Фылынов В.В. “Общая топологыя, основниэ конструкциыї”
Москва,Наука,1980р.
PAGE
PAGE 35
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
