Курсова робота

на тему:

Операції на топологічних просторах

План

Підпростори.

Суми.

Добутки.

Фактор-простори та фактор-відображення.

Вступ

Темою моєї курсової роботи є операції на топологічних просторах, тобто
методи побудови нових топологічних просторів із заданих. Ідеї топології
беруть початок із робіт видатних математиків ХІХ ст.: Н. І.
Лобачевського, Рімана, Пуанкаре, Френне, Кантора, Гілберта та Браура.
Оформлення топології у самостійну область математики пов’язане із
виходом у 1914р. книжки Ф. Хаусдорфа “Теорія множин“.

Розділ 1 присв’ячений підпросторам. Тут ми вивчаємо звуження і
продовження неперервних відображень та функцій. Важливим результатом є
теорема Тітце-Урисона.

У розділі 2 описано суми топологічних просторів, які вперше появилися у
роботі Тітце у 1923р. Застосування операції суми інколи спрощує
доведення та розв’язання прикладів.

У третьому розділі я розглядаю операцію добутку. Порівняно із іншими
операціями на топологічних просторах, добуток приводить до найбільш
цікавих теорем, прикладів і задач. Френе першим розглядав декартів
добуток абстрактних просторів

Фактор-простори вперше появилися у роботі Мора і Александрова. Ці автори
вивчали частинний випадок, коли фактор-простір породжується
напівнеперервним зверху розбиттям. Мор вивчав тільки розбиття площини на
континууми.

1. ПІДПРОСТОРИ

підмножини множини X і, яка задовольняє наступні умови:

.

.

.

,а із рівності

випливає, що виконані також і умови2) і 3)).

відкрита в X},як сім’ю відкритих множин в М, ми визначаємо на М
топологію. Множина М з цією топологією називається підпростором простору
X, а сама топологія називається індукованою топологією або топологією
підпростору.

.

де Р = Х\и замкнене в X.

.Доведено.

; дві визначені на L топології — топологія підпростору простору М і
топологія підпростору простору X — співпадають.

відкрита в М тоді і тільки тоді, коли вона відкрита в Х.

замкнене (відкритий) в тому і лише тому випадку, якщо підпростір М
замкнений (відкритий).

замкнене (відкритий).

.

.

Формули, які відносяться до образів і прообразів при звуженнях:

;

;

.

— простору X наступні умови рівносильні:

Простір X є спадковим.

Кожен відкритий підпростір простору X нормальний.

.

.Оскільки М — відкритий підпростір простору X, то множини U і V
відкриті в X.

відкриті в М, не перетинаються і містять відповідно А і В.

, визначається формулою

неперервно продовжується на Х.

неперервно продовжується на X.

.

,що

(1)

. (2)

,яке задовольнятиме умови (1) і (2).

неперервних відображень X в R, таку, що

, (3)

. (4)

замість і.

.Таким чином, F є продовження f на X.

.

є шуканим, продовженням f на X. Доведено.

, не можна неперервно продовжити на X.

неперервне.

володіють необхідними властивостями.

локально кінцеві), то комбінація f відкрита (замкнена).

2. СУМИ

.

.

відкрите. Отже, дане твердження випливає із рівності

Доведено.

.

.

.

відкрите в Х.

тобто сума простору асоціативна.

.

неперервне. Доведено.

.Нехай будь-яке сім’я просторів має суму (визначену з точністю до
гомеоморфізма), ця сім’я складається з попарно неперетинних просторів.

.

є сумою одноточкових просторів.

випливає із твердження 2.3.

Л всупереч визначенню найменшої верхньої грані.

3. ДОБУТКИ

називають також квадратом простору Х.

також утворює базу.

є

, і

Друга частина є наслідком першої і означення бази.

.

співпадають.

,тобто об’єднанням перетинів А з елементами цієї сім’ї.

, то топологія добутку на А тонша, ніж топологія підпростору.

.

який містить х, ми маємо

,

.

.

.

гомеоморфні, тобто декартів

добуток асоціативний.

неперервні.

.

гомеоморфні, тобто декартів добуток комутативний.

— тор.

.

мають місце співвідношення

,

також володіє властивістю P.

мультиплікативними властивостями.

.

і на множині

.

, визначається формулою

.

3.11. Твердження.У добутку сепарабельних просторів будь-яка сім’я
попарно неперетинних непорожніх відкритих множин є зліченна.

Обмеження числа співмножників в теоремі Хьюїтта — Марчевського —
Пондіцері є важливим.

& 2 Ae

AE

???????????2 D ~

?-«F!1/4″4&oeoeoeoeoeneYOOOEAAEµnEEµE

&

&

?I?V z!?ciF¶Y~§$©»«N«.®/ee/eaee/////*e//e//eee//

[email protected]/eessssss//ee/////e/e/*OAE

?Т?Т???????[? ?????? ?Т?Т?Т?Т??

— гомеоморфне вкладення.

має місце співвідношення

(1)

.Отже, права частина співвідношення (1) міститься в його лівій частині.
Зворотне включення очевидне.

, визначене формулою

і кожен простір, що володіє цією властивістю, можна вкласти в X.

.

.

також є тихонівським простором.

, то з цього випливає, що

,

.

.

.

не є замкнутим.

.

відкрите.

— відкрите

.

замкнена.

, то

.

, який задовольняє включення

.

Тому

.

.

4. ФАКТОР-ПРОСТОРИ І ФАКТОР-ВІДОБРАЖЕННЯ

—звичайним факторним відображенням

— замкнена підмножина простору X.

Доведення. Твердження випливає з рівності

.

.

відкрите в Х/Е.

не є гомеоморфізмом.

— звичайне відображення.

топологічного простору X на топологічний простір У рівносильними є
наступні умови:

є факторвідображенням.

.

.

є гомеоморфізмом.

.

4.4. Наслідок. Композиція двох фактор відображень є фактор відображення.

4.5. Наслідок. Будь-яке взаємно однозначне факторвідображення є
гомеоморфізмом.

.

4.7. Твердження. Фактор-простір деякого фактор-простору простору X є
фактор-простором простору X.

, то відображення

,

— звичайні факторвідображення, є гомеоморфізмом.

є фактор-відображенням.

.

звичайне відображення, тоді відображення

є гомеоморфізм.

не є фактор-відображенням.

не є фактор-відображенням.

5. ГРАНИЦІ ЗВОРОТНИХ СПЕКТРІВ

.

.

.

.

.

.

Границя зворотного спектру абсолютно нормальних просторів не обов’язково
буде нормальною. Проте границя зворотної послідовності абсолютно
нормальних просторів є абсолютно нормальною. Цей останній висновок
невірний для нормальних або спадково нормальних просторів

. Отже, застосовуючи границю зворотного спектру, можна виразити
нескінченні добутки в термінах кінцевих добутків.

.

.

.

, маємо, в силу (4) і (5),

.

.

також є гомеоморфізмом.

. Тоді

.

і звуження

очевидне.

.

, зворотний гомеоморфизму

.

. Тим самим визначене граничне відображення

.

.

Список використаної літератури:

Ришард Енгелькынг “Общая топология” – Москва, “Мыр”, 1986р.

Кураторський, Казимир “Топологія”. Пер. з англ. М. Я. Антоновського.
т.1-2, Москва, “Мир” 1966-1969р.

Федорук В.В., Фылынов В.В. “Общая топологыя, основниэ конструкциыї”
Москва,Наука,1980р.

PAGE

PAGE 35

Похожие записи