Реферат на тему:

Одновимірні випадкові величини

Поняття події в теорії ймовірностей являє собою абстрактну модель
певної якісної ознаки, що відбиває лише два альтернативні судження: є
подія (відбулася) або немає (не відбулася). Подальший розвиток теорії
ймовірностей потребував уведення такого нового поняття, як випадкова
величина — абстрактної моделі кількісної ознаки.

1. Дискретні та неперервні випадкові величини.

Закони розподілу їх імовірностей

ставить у відповідність певний елемент одновимірного простору R1 або
n-вимірного простору Rn.

відображає множину ? на одновимірний простір R1, випадкову величину
називають одновимірною. Якщо відображення здійснюється на Rn, то
випадкову величину називають n-вимірною (системою n випадкових величин
або n-вимірним випадковим вектором).

Схематично одновимірну випадкову величину унаочнює рис. 19.

Рис. 19

Отже, величина називається випадковою, якщо внаслідок проведення
експерименту під впливом випадкових факторів вона набуває того чи іншого
можливого числового значення з певною ймовірністю.

Якщо множина можливих значень випадкової величини є зчисленною то таку
величину називають дискретною. У противному разі її називають
неперервною.

є дискретною, а тому й випадкова величина — поява одного з чисел
множини ? — буде дискретною.

Приклад 2. Вимірюється сила струму за допомогою амперметра. Результати
вимірювання, як правило, округлюють до найближчої поділки на шкалі для
вимірювання сили струму. Похибка вимірювання, що виникає внаслідок
округлення, являє собою неперервну випадкову величину.

Випадкові величини позначають великими літерами латинського алфавіту X,
Y, Z, … , а їх можливі значення — малими х; у; z, … .

Для опису випадкової величини необхідно навести не лише множину можливих
її значень, а й указати, з якими ймовірностями ця величина набуває того
чи іншого можливого значення.

З цією метою вводять поняття закону розподілу ймовірностей.

Співвідношення, що встановляє зв’язок між можливими значеннями
випадкової величини та відповідними їм імовірностями, називають законом
розподілу випадкової величини.

Закон розподілу дискретної випадкової величини Х можна задати в
табличній формі або за допомогою ймовірнісного многокутника.

У разі табличної форми запису закону подається послідовність можливих
значень випадкової величини Х, розміщених у порядку зростання, та
відповідних їм імовірностей:

, то необхідною є така умова:

(61)

Рівність (61) називають умовою нормування для дискретної випадкової
величини Х. Наведену таблицю називають рядом розподілу.

Приклад 3. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано
таблицею

Х = хі –4 1 2 5 9

Р(Х = хі) = рі 0,1 0,1 0,5 р4 0,2

Знайти ймовірність можливого значення випадкової величини Х = х4 = 5.

Розв’язання. Згідно з умовою нормування (61) маємо:

Приклад 4. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано
таблицею

Х = хi 2,5 3 4,5 5 5,5 6

Р(Х = хі) = рі a 2а а 3а а 2а

Знайти ймовірності можливих значень випадкової величини Х: х1 = 2,5; х3
= 4,5; х4 = 5; х5 = 5,5; х6 = 6. Обчислити ймовірності таких випадкових
подій: 1) Х < 3; 2) Х ( 3; 3) Х < 5; 4) X ( 5; 5) 2,5 ( X < 5,5; 6) X ( 5,5. Розв’язання. За умовою нормування (61) дістанемо: Отже, закон розподілу дискретної випадкової набуває такого вигляду: Х = хі 2,5 3 4,5 5 5,5 6 Р(Х = хі) = рі 0,1 0,2 0,1 0,3 0,1 0,2 Обчислимо ймовірності подій: Закон розподілу ймовірностей можна унаочнити графічно. Для цього візьмемо систему координат рі О хі, відклавши на осі абсцис можливі значення випадкової величини хі, а на осі ординат — імовірності рі цих можливих значень. Точки з координатами (хі; рі) послідовно сполучимо відрізками прямої. Утворену при цьому фігуру називають імовірнісним многокутником. Приклад 5. За заданим у табличній формі законом розподілу дискретної випадкової величини Х: Х = хі –2,5 1 3,5 5 6,5 8 Р(Х = хі) = рі 0,1 0,2 0,1 0,3 0,2 0,1 побудувати ймовірнісний многокутник. Розв’язання. Імовірнісний многокутник зображено на рис. 20 Рис. 20 Сума ординат імовірнісного многокутника завжди дорівнює одиниці. 2. Функція розподілу ймовірностей (інтегральна функція) та її властивості Закон розподілу ймовірностей можна подати ще в одній формі, яка придатна і для дискретних, і для неперервних випадкових величин, а саме: як функцію розподілу ймовірностей випадкової величини F(х), так звану інтегральну функцію. Функцію аргументу х, що визначає ймовірність випадкової події Х < x, називають функцією розподілу ймовірностей: F(x) = P(X < x) (62) Цю функцію можна тлумачити так: унаслідок експерименту випадкова величина може набути значення, меншого за х . Наприклад, F(5) = P(X < 5) означає, що в результаті експерименту випадкова величина Х (дискретна чи неперервна) може набути значення, яке міститься ліворуч від х = 5, що ілюструє рис. 21. Рис. 21 Розглянемо властивості F(x): Ця властивість випливає з означення функції розподілу. . ! С = () (рис. 22). Рис. 22 Тоді подію А можна записати так: С (А = В + С). За формулою додавання для несумісних випадкових подій (6) маємо: С) = Р(В) + Р(С) або Р(Х < x2) = Р(Х < x1) + P(x1 ( Х ( х2). (63) Звідси на підставі означення інтегральної функції F(x), дістаємо F(x2) = F(x1) + P(x1 ( Х ( х2) або (64) Отже, Із другої властивості F(x) випливають наведені далі висновки: , дорівнює приросту інтегральної функції F(x) на цьому проміжку: (65) 2. Якщо випадкова величина Х є неперервною, то ймовірність того, що вона набуде конкретного можливого значення, завжди дорівнює нулю: , дістанемо . маємо: . (66) Х = хі, то що й потрібно було довести. Отже, для неперервної випадкової величини Х справджуються такі рівності: (67) , виконуються два подані далі співвідношення. Оскільки подія Х < – ( полягає в тому, що випадкова величина набуває значення, яке міститься ліворуч від – (. А така подія є неможливою ((). полягає в тому, що випадкова величина Х набуває числового значення, яке міститься ліворуч від + (. Ця подія є віро- . Із цих двох співвідношень випливає висновок: якщо можливі значення випадкової величини Х належать обмеженому проміжку [а; b], то (68) Приклад 6. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано таблицею: Х = хі – 4 – 1 2 6 9 13 Р(Х = хі) = рі 0,1 0,2 0,1 0,3 0,1 0,2 Побудувати F(x) та її графік. Розв’язання. Згідно з властивостями F(x), дістаємо наведені далі співвідношення. V X ‚ „ ? ? /////////////////eUe???// -? r t v A A I ae ae 0 2 b n p – ? ? ? ? Ue TH gdue_  o gdue_  gdue_  gdue_  j gdue_  gdue_  F’GAGoeoeoUoeOoAooooo·« gdue_  gdue_  gdue_  gdue_  `„oethgdue_  gdue_  – 4) = P(X < – 4) = 0; 2) F(–1) = P(X < –1) = P(X = – 4) = 0,1; 3) F(2) = P(X < 2) = P(X = – 4) + P(X = –1) = 0,1 + 0,2 = 0,3; 4) F(6) = P(X < 6) = P(X = – 4) + P(X = –1) + P(X = 2) = 0,1 + 0,2 + + 0,1 = 0,4; 5) F(9) = P(X < 9) = P(X = – 4) + P(X = –1) + P(X = 2) + P(X = 6) = = 0,1 + 0,2 + 0,1 + 0,3 = 0,7; 6) F(12) = P(X < 13) = P(X = – 4) + P(X = –1) + P(X = 2) + P(X = 9) = = 0,1 + 0,2 +0,1 + 0,3 + 0,1 = 0,8; 7) F(x)|x >13 = P(X > 13) = P(X = – 4) + P(X = –1) + P(X = 2) + P(X = 9)
+

+ P(X = 13) = 0,1 + 0,2 +0,1 + 0,1 + 0,3 + 0,1 + 0,2 = 1.

Компактно F(x) можна записати в такій формі:

Графік функції F(x) зображено на рис. 23.

Рис. 23

Приклад 7. Маємо три ящики. У першому містяться 6 стандартних і 4
браковані однотипні деталі, у другому — 8 стандартних і 2 браковані
деталі, а в третьому — 5 стандартних і 5 бракованих. Із кожного ящика
навмання беруть по одній деталі. Побудувати закон розподілу ймовірностей
дискретної випадкової величини Х — появи числа стандартних деталей серед
трьох навмання взятих; визначити F(x) та побудувати графік цієї функції.

Розв’язання. Серед трьох навмання взятих деталей число стандартних може
бути 0; 1; 2; 3.

У табличній формі закон розподілу дискретної випадкової величини має
вигляд:

Х = хі 0 1 2 3

Р(Х = хі) = рі р1 р2 р3 р4

Обчислимо ймовірності р1, р2, р3, р4. Із цією метою позначимо Ас1 і Аб1
випадкову подію, що полягає відповідно в появі стандартної деталі з
першого ящика і появі бракованої деталі з першого ящика. Тоді випадкові
події Ас2, Аб2, Ас3, Аб3 означають появу відповідно стандартної та
бракованої деталей із другого і третього ящиків. Імовірності цих подій
такі:

Оскільки випадкові події Ас1, Ас2, Ас3, Аб1, Аб2, Аб3 є незалежними,
маємо:

Перевіримо виконання умови нормування:

Умова нормування виконується. Отже, закон розподілу ймовірностей
побудовано правильно. Запишемо його в табличній формі:

хі 0 1 2 3

рі 0,04 0,26 0,46 0,24

Інтегральна функція має вигляд:

Графік функції F(x) зображено на рис. 24.

Рис. 24

Приклад 8. Закон розподілу неперервної випадкової величини Х задано
функцією розподілу ймовірностей

Побудувати графік функції F(х) і обчислити Р(–1 < X < 2). Розв’язання. F(x) графічно зображено на рис. 25. Рис. 25 Використовуючи (65), обчислимо Приклад 9. Функція розподілу ймовірностей має такий вигляд: Знайти значення сталих а і b і накреслити графік F(x). Обчислити P(1 < X < 4). Розв’язання. Згідно з властивостями F(x) (68) маємо: функція розподілу ймовірностей набирає вигляду Графік F(x) зображено на рис. 26. Рис. 26 Обчислюємо ймовірність події 1 < X < 4: 3. Щільність імовірностей (диференціальна функція) f (x) і її властивості Для неперервних випадкових величин закон розподілу ймовір- ностей зручно описувати з допомогою щільності ймовірностей, яку позначають f (x). Щільністю ймовірностей неперервної випадкової величини Х називається перша похідна від інтегральної функції F(x): (69) Оскільки . Геометрично на графіку щільності ймовірності f (x) dx відповідає площа прямокутника з основою dx і висотою f (x) (рис. 27а). Рис. 27а Властивості f (x) . Ця властивість випливає з означення щільності ймовірності як першої похідної від F(x) за умови, що F(x) є неспадною функцією. 2. Умова нормування неперервної випадкової величини Х: (70) ! Доведення. Якщо неперервна випадкова величина Х визначена лише на проміжку [a; b], то умова нормування має такий вигляд: (71) обчислюється за формулою ! (72) Доведення. За властивістю функції розподілу ймовірностей (67) Залежність (72) можна подати так: 4. Функція розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини має вигляд (73) ! Доведення. . Якщо можливі значення неперервної випадкової величини належать лише інтервалу [а; b], то (74) Приклад 1. Закон розподілу неперервної випадкової величини Х такий: Знайти f (x) і побудувати графіки функцій f (x), F(х). Обчислити Р(0 < X < 2), скориставшись (65) і (72). Розв’язання. Графіки функцій F(x), f (x) зображено відповідно на рис. 27б і 28. Рис. 27б Рис. 28 Імовірність події 0 < X < 2 обчислимо за (65): ; далі згідно із (72) маємо Приклад 2. Закон неперервної випадкової величини Х задано у вигляді: Знайти F(x) і побудувати графіки функцій f (x), F(x). Обчислити Розв’язання. Згідно із (74) маємо: Отже, функція розподілу ймовірностей буде така: Графіки функцій f (x), F(x) зображені відповідно на рис. 29 і 30. Рис. 29 Рис. 30 можна обчислити згідно з (65) або (72). Застосуємо формулу (72): Приклад 3. За заданою щільністю ймовірностей маємо: Знайти значення сталої а та функцію F(x). Побудувати графіки функцій f(x), F(x). Розв’язання. Значення сталої а визначаємо з умови нормування (71): Отже, При знайденому значенні а щільність імовірностей Функція розподілу ймовірностей визначається так: Отже, Графіки функцій f(x), F(x) зображені відповідно на рис. 31 і 32. Рис. 31 Рис. 32 Приклад 4. Неперервна випадкова величина Х має закон розподілу ймовірностей у вигляді трикутника, зображеного на рис. 33. Рис. 33 Записати вирази для щільності ймовірностей і функції розподілу ймовірностей. Побудувати графік F(x) і обчислити Р(0 < X < 4). Розв’язання. На проміжку [–2; 2] щільність імовірностей змінюється за законом прямої пропорційної залежності f(x) = k1x + b1 (k1 > 0), а на
проміжку [2; 5] за аналогічним законом f(x) = k2x + b2 (k2 < 0). Для знаходження значень параметрів k1, b1, k2, b2 обчислимо координати вершини цього трикутника А(х, у). Абсциса цієї точки відома за умовою задачі: х = 2; ординату знаходимо за умовою нормування, згідно з якою площа цього трикутника АВС має дорівнювати одиниці: Отже, шукані координати: : Отже, на проміжку [–2; 2] маємо: : Звідси на проміжку [2; 5] дістаємо: Отже, на проміжку [–2; 5] щільність імовірностей Згідно із (74) знаходимо F(x) на обох розглядуваних проміжках: 1) на проміжку [–2; 2]: 2) на проміжку [–2; 5]: Отже, функція розподілу ймовірностей Графік F(x) зображено на рис. 34. Рис. 34 Обчислюємо ймовірність події 0 < X < 4 згідно з (65) і (72). На інтервалі [0; 4] діють два закони розподілу: . ЛІТЕРАТУРА Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерное приложение. — М.: Наука, 1988. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1961. PAGE 1 PAGE

Похожие записи