Реферат

Н а Т Е М У:

“Обернені тригонометричні функції.

Тригонометричні рівняння і нерівності”

ОБЕРНЕНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ. РОЗВЯЗУВАННЯ НАЙПРОСТІШИХ
ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ

ПЛАН

Обернені тригонометричні функції

Тригонометричні рівняння

Тригонометричні нерівності.

Введення обернених тригонометричних функцій

. У VIII класі було сформульовано означення оборотної функції f,
введено поняття функції g, оберненої до функції f, сформульовано
необхідну і достатню умову існування функції, оберненої до даної і
доведено достатню умову: кожна монотонна функція оборотна. Було доведено
також теорему про властивість графіків взаємно обернених функцій і
розглянуто вправи на знаходження за формулою даної функції оберненої до
неї функції.

У IX класі було введено означення числової функції як відображення
підмножини D множини R на деяку підмножину Е множини R. Для позначення
області визначення і множини значень функції f були введені символи D(f)
і E(f). У X класі під час повторення відомостей про обернену функцію є
можливість, використовуючи введену в IX класі термінологію і символіку,
сформулювати означення взаємно обернених функцій (див. [2]). З нових
відомостей про взаємно обернені функції є теорема (яку формулюють без
доведення) про неперервність і монотонність функції, оберненої до даної
неперервної і монотонної функції. Ця теорема використовується, коли
розглядаються обернені тригонометричні функції.

Перед введенням обернених тригонометричних функцій кожного виду слід
повторити з учнями властивості всіх тригонометричних функцій числового
аргументу.

, на якому синус зростає і набуває всіх своїх значень з множини значень
[-1; 1].

, D(arcsin) = [-1; 1] і назвали дві властивості функції арксинус
(зростаюча і неперервна функція), спираючись на сформульовану раніше
теорему про неперервність і монотонність функції, оберненої до даної
монотонної і неперервної функції.

.

Доведемо непарність функції арксинус, тобто доведемо, що arcsin (-х)= —
arcsin x. За означенням арксинуса маємо:

Помноживши всі три частини останньої нерівності на —1, дістанемо

Визначимо синуси виразів arcsin (-х) і -arcsin х, спираючись на
означення арксинуса і непарність синуса

sin (arcsin (-х)) = -х,

sin (-arcsin х) =-sin (arcsin x) = -x.

і синуси їх рівні, то й числа рівні, оскільки синус монотонний на
вказаному проміжку. Отже,

arcsin (-х) = -arcsin x.

Властивість непарності підтверджується симетрією графіка функції
у=arcsin x відносно початку координат.

Обчислюючи значення функції arcsin за таблицями синусів кутів, виражених
у градусах, слід додержуватися правил наближених обчислень. Ця вимога не
завжди виконується в навчальному посібнику [2]. Так, в прикладі 1 з
пояснювального тексту п. 85 записи слід було б виконати так:

sin 65°00′;

1,1345 рад;

1,1345,

оскільки даному наближеному значенню синуса 0,9063 за таблицями
відповідає наближене значення кута з точністю до 1.

Якщо треба знайти arcsin 0,68, то відповідні записи повинні мати такий
вигляд:

sin 420

0,73;

0,73

Вивчення інших обернених тригонометричних функцій можна проводити за
таким самим планом, максимально стимулюючи самостійну роботу учнів під
час знаходження відповідної оберненої функції і з’ясування h
властивостей. Щодо арккосинуса вчитель має звернути увагу учнів на те,
що ця функція не належить ні до парних, ні до непарних функцій. Вона
задовольняє умову

— arccos х.

Можна запропонувати допитливим учням самостійно довести що тотожність.

Учні краще засвоять обернені тригонометричні функції та їх властивості,
виконавши такі вправи.

1) Чи існує arccos 1,5?

?

3) Знайдіть область визначення функції у = arcsin (2х- 3).

4) В якій чверті знаходиться дуга у = 3arctg 1,7?

.

Детальніше розглянути властивості обернених тригонометричних функцій
можна на заняттях математичного гуртка, зокрема на таких заняттях
доцільно довести тотожності:

— arccos x,

— arcctg x;

розглянути тригонометричні операції над оберненими тригонометричними
функціями; вивести основні співвідношення між ними.

У методичній літературі свого часу велась дискусія з приводу означення
поняття тригонометричного рівняння. Тригонометричним пропонували
називати:

1) рівняння, в якому змінна входить лише під знак тригонометричної
функції (в такому разі рівняння виду sin х+х=0 не належить до
тригонометричних; його пропонували називати трансцендентним) .

2) рівняння, в якому змінна входить під знак тригонометричної функції.

З цього приводу слід погодитись з думкою С. І. Новосьолова, який вважав,
що розходження в означеннях тригонометричного рівняння не є
принциповими. Важливо одне — немає загального методу розв’язування
тригонометричних рівнянь. Слід наголосити на принциповій відмінності
тригонометричних рівнянь від алгебраїчних: тригонометричні рівняння, в
яких змінна входить лише-під знак тригонометричної функції, або зовсім
не мають розв’язків, або мають їх безліч. Це пов’язано з властивістю
періодичності тригонометричних функцій.

Розв’язування тригонометричних нерівностей

Розв’язуючи тригонометричні нерівності, учні закріплюють свої знання про
властивості тригонометричних функцій, набувають навичок
теоретико-множинних та логічних міркувань. Розв’язування будь-якої
тригонометричної нерівності, як правило, зводиться до розв’язування
найпростіших нерівностей виду

Найпростіші тригонометричні нерівності, як і алгебраїчні, природно
розв’язувати графічним способом (див. навчальний посібник [2]),
з’ясувавши насамперед, в чому полягає графічний спосіб розв’язування
нерівності з однією змінною.

Зауважимо, що порівняно з іншими способами розв’язування найпростіших
тригонометричних нерівностей графічний спосіб поряд з перевагами має
деякий недолік: щоразу потрібно будувати, хоч і схематично, графіки
тригонометричних функцій. Тому корисно показати учням, як такі
нерівності розв’язуються за допомогою одиничного кола.

Література.

Алгебра і початки аналізу 10-11 клас

Методика викладання алгебри та початків аналізу

PAGE

PAGE 2

Похожие записи