.

Новий метод розв’язування кубічного алгебраїчного рівняння. Метод Феррарі для розв’язування рівнянь четвертого степеня. Метод заміни рівняння системою

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 4683
Скачать документ

Реферат на тему:

Новий метод розв’язування кубічного алгебраїчного рівняння. Метод
Феррарі для розв’язування рівнянь четвертого степеня. Метод заміни
рівняння системою двох рівнянь. Розв’язування рівнянь у цілих числах

1. Відшукуємо розв’язок алгебраїчного рівняння

(1)

Сутність методу полягає в тому, що рівняння (1) перетворюється до
вигляду

(2)

або

(3)

Викладемо спочатку допоміжний результат.

Теорема 1. Для того щоб корені рівняння (1), розміщені на комплексній
площині, були вершинами рівностороннього трикутника, необхідно і
достатньо, щоб виконувалась рівність

(4)

тобто щоб похідна рівняння (1) мала двократний корінь.

Доведення. Необхідність. Нехай рівняння (1) має корені

які є вершинами рівностороннього трикутника. Знаходимо коефіцієнти
рівняння (1):

.

Вони, як легко переконатися, задовольняють рівняння (4). Достатність.
Нехай виконується умова (4). Позначимо

знаходимо вираз

:

має корені

які є вершинами рівностороннього трикутника.

є вершинами рівностороннього трикутника, якщо виконується одне з
рівнянь

які можна записати у вигляді

(5)

Кожне з рівнянь (5) рівносильне рівнянню (4).

2. Доведемо основний результат.

Теорема 2. Якщо умова (4) не виконується і всі корені рівняння (1)
різні, то рівняння (1) можна перетворити в рівняння виду (2). Якщо умова
(4) виконується, то рівняння (1) можна перетворити в рівняння виду (3).

Доведення. Для відшукання коефіцієнтів рівняння (2) маємо систему
рівнянь

(6)

знаходимо:

(7)

дістанемо симетричну систему рівнянь для a, b

яку можна записати у вигляді

(8)

Ця система рівнянь має розв’язок

(9)

Коефіцієнти a, b є коренями квадратного рівняння

Дискримінант D цього рівняння

відрізняється від дискримінанта зведеного кубічного рівняння (1).

Зауважимо, що з рівнянь

рівняння (1):

Якщо виконується умова (4), то рівняння (1) можна записати у вигляді
рівняння (3). Для відшукання коефіцієнтів рівняння (3) маємо систему
рівнянь

розв’язну в разі виконання умови (4). Рівняння (1) можна записати у
вигляді

Приклад 1. Розв’язати кубічне рівняння

Згідно з формулами (7)—(9) знаходимо:

Рівняння виду (2) набирає вигляду

і має розв’язок

Рівняння має дійсний корінь

Приклад 2. Розв’язати рівняння

.

Знаходимо значення

Рівняння виду (2) набирає вигляду

який визначається з рівнянь

Метод Феррарі для розв’язування рівнянь четвертого степеня

Метод Феррарі зводить розв’язування рівняння четвертого степеня до
розв’язування кубічного рівняння відносно введеного параметра.
Визначивши параметр, знаходять невідоме.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Виділимо повний квадрат у лівій частині рівняння, подавши його у вигляді

.

Дістанемо таке рівняння:

.

, виділяємо повний квадрат:

.

так, щоб права частина була повним квадратом. Для цього дискримінант
квадратного тричлена має дорівнювати нулю:

.

дістали кубічне рівняння

.

,

gd)9X

¤ ¤gd?e

¤ ¤gd)9X –

4

6

V

X

Z

\

?

I

4

6

,

4

f

?

?

D

?

?

oaOAEAE?oOO???O?O?o?

gd)9X

6

8

:

D

?

E

E

a

&

F

dha$gd)9X

dh`„-gd)9X

:

,

або

.

Розглядаючи цей вираз як різницю квадратів двох виразів, подамо її у
вигляді

.

Рівняння розпадається на два рівняння

;

.

Приклад. Розв’язати рівняння четвертого степеня

.

Виділимо повний квадрат:

,

,

. (*)

Тричлен у правій частині буде повним квадратом, якщо його дискримінант
дорівнює нулю:

.

Дістанемо кубічне рівняння відносно а:

.

цього кубічного рівняння.

, дістанемо рівняння відносно х:

,

або

,

,

.

Остаточно знаходимо розв’язки

,

.

Метод заміни рівняння системою двох рівнянь

Іноді розв’язування рівняння можна спростити, звівши його до системи
рівнянь із двома невідомими.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

, дістаємо систему рівнянь

. Тоді дістанемо систему рівнянь:

,

.

із систем рівнянь:

Приклад. Розв’язати рівняння

.

, дістаємо систему рівнянь

Віднімаючи почленно перше рівняння від другого маємо:

;

Розв’язування рівнянь у цілих числах

Розглянемо спочатку найпростіше рівняння

. (1)

Воно має чотири розв’язки в цілих числах

.

До рівняння виду (1) зводяться складніші рівняння та системи рівнянь.

Приклад. Розв’язати систему рівнянь у цілих числах:

За аналогією до рівняння (1) розв’язуємо такі системи:

Приклад. Розв’язати в цілих числах рівняння

.

Дане рівняння можна записати у вигляді

,

тобто звести до рівняння виду (1):

Розглянемо складніший приклад.

Приклад. Розв’язати в цілих числах рівняння

.

:

.

Знаходимо дискримінант лівої частини рівняння:

.

.

При цьому знаходимо корені рівняння

,

а також розклад лівої частини на множники:

.

Перетворюємо вихідне рівняння до виду (1):

.

ЛІТЕРАТУРА

Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з
математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344
с.

Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб.
рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.:
Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами:
Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений
вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. —
495 с.

Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд.
дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с.

Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов /
Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ,
1998. — 430 с.

Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред.
А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019