Реферат на тему:

Незліченні множини

Наступні питання, які логічно випливають із висловленого вище
припущення про рівнопотужність усіх нескіченних множин: чи всі
нескінченні множини зліченні, або чи існують нескінченні множини, які не
будуть зліченними? Факт існування множин, які не є зліченними
(незліченних множин), вперше був встановлений Г.Кантором за допомогою
запропонованого ним діагонального методу, який набув згодом
фундаментального значення в різних розділах математики. Зокрема, цей
метод лежить в основі доведення наступної важливої теореми, яка належить
Г.Кантору.

Теорема 1. Множина всіх дійсних чисел з інтервалу (0,1) незліченна.

Доведення. Відомо, що кожному дійсному числу з інтервалу (0,1) можна
поставити у відповідність нескінченний десятковий дріб 0,a1a2a3…. Для
ірраціональних чисел цей нескінченний десятковий дріб є неперіодичним.
Для кожного раціонального числа, яке зображується скінченним десятковим
дробом, з двох можливих варіантів запису його у вигляді нескінченного
періодичного десяткового дробу (з періодом 0 або періодом 9) зафіксуємо
період 9. Наприклад, число 0,123 (або 0,123000…) будемо записувати у
вигляді 0,122999…, а число 0,7 — у вигляді 0,699…. Очевидно, що
запропонована відповідність буде взаємно однозначною.

Проведемо доведення теореми методом від супротивного. Припустімо, що
сформульоване твердження хибне і множина всіх дійсних чисел з інтервалу
(0,1) зліченна. Тобто існує нумерація цих чисел x1,x2,…,xn,….
Перепишемо у вигляді нескіченних десяткових дробів усі числа з інтервалу
(0,1) в порядку їхньої нумерації

x1 = 0, a11 a12 a13 … a1n…,

(

x2 = 0, a21 a22 a23 … a2n…,

(

x3 = 0, a31 a32 a33 … a3n…,

(

………………………….

xn = 0, an1 an2 an3 … ann…,

………………………….

Рухаючись по діагоналі (вказаної стрілками), утворимо новий нескінченний
десятковий дріб 0,b1b2…bn… такий, що b1( a11, b2(a22,…,bn(ann,….
Додатково для того, щоб уникнути ситуації з можливістю зображення одного
й того ж раціонального числа у двох формах, будемо вибирати значення
цифр bi так, щоб bi(0 і bi(9, i=1,2,…. Утворений дріб є записом
деякого дійсного числа y з інтервалу (0,1), однак він не належить
розглядуваній зліченній множині. Справді, побудований дріб відрізняється
від кожного з дробів нашої нумерації x1,x2,…,xn,… принаймні однією
цифрою. Точніше, y(xn тому, що дроби y і xn відрізняються принаймні n-ю
цифрою після коми (n=1,2,…). З одержаної суперечності випливає, що не
існує переліку для множини всіх дійсних чисел з інтервалу (0,1). Отже,
припущення щодо її зліченності хибне і розглядувана множина —
незліченна. Теорема доведена.

Будь-яка множина, рівнопотужна множині всіх дійсних чисел з інтервалу
(0,1), називається континуальною, або множиною потужності континуум.

Теорема 2. Якщо M — незліченна множина, а A — скінченна або зліченна
підмножина множини M, то множини M\A і M рівнопотужні, тобто

M \ A ~ M.

Доведення. Очевидно, що множина M \ A незліченна. Якби множина M’=M \ A
була зліченною, то за теоремою 1.4 множина M = M’ ( A була б також
зліченною, що суперечило б умові теореми. Тоді за теоремою 1.2 множина
M’ містить зліченну підмножину B (B(M \ A). Позначимо C=(M\A)\B, тоді
маємо M \ A=B(C і M=(A(B)(C. Множина A(B зліченна. Тоді з
рівнопотужностей B~(A(B) і C ~ C, а також того, що C(B=( і C((A(B)=(,
випливає співвідношення B(C~(A(B)(C, тобто M \ A ~ M.

Сформулюємо декілька наслідків, які випливають із доведених теорем.

Наслідок 1.1. Якщо M — нескінченна множина, а множина A — скінченна або
зліченна, то M ( A ~ M.

Будемо вважати, що M(A=(. Якщо M(A((, то у доведенні можна використати
скінченну або зліченну множину A’ = A \ M таку, що M(A=M(A’ і M(A’ =(.

Якщо M зліченна множина, то M(A також зліченна множина (теорема 1.4),
отже M ( A ~ M.

Якщо M незліченна множина, то M ( A також незліченна множина. Тоді за
теоремою 2. (M ( A) \ A ~ M ( A, тобто M ~ M ( A, оскільки (M(A) \ A =
M.

Наслідок 2. Множина всіх ірраціональних чисел континуальна.

Число, яке не є коренем жодного многочлена з раціональними
коефіцієнтами, називається трансцендентним.

Наслідок 3. Множина всіх трансцендентних чисел континуальна.

Справедливість наслідків 2 і 3 випливає з континуальності множин R і C
всіх дійсних і комплексних чисел відповідно, зліченності множин усіх
раціональних і всіх алгебраїчних чисел та теореми 1.

Із доведених теорем випливає також рівнопотужність інтервалів (0,1) ~
[0,1) ~ (0,1] ~ [0,1].

Сформульована нижче теорема встановлює певний зв’язок між зліченними і
континуальними множинами і у своєму доведенні знову використовує
діагональний метод Кантора.

Теорема 2. Множина ((A) всіх підмножин зліченної множини A має
потужність континуум.

Доведення. Оскільки всі зліченні множини рівнопотужні множині N
натуральних чисел, то достатньо довести континуальність булеана ((N)
множини N. Маючи взаємно однозначну відповідність між множиною N і
деякою множиною A, неважко побудувати взаємно однозначну відповідність
між їхніми булеанами ((N) і ((A).

Проведемо доведення теореми методом від супротивного. Припустімо, що
множина ((N) зліченна й існує нумерація всіх її елементів, тобто
((N)={M1,M2,…,Mk,…}, де Mk(N, k=1,2,…. Поставимо у відповідність
кожній множині Mk послідовність tk з нулів і одиниць m1(k),
m2(k),…,mi(k),… за таким законом

( 1, якщо i(Mk,

mi(k) = (

( 0, якщо i(Mk.

Очевидно, ця відповідність є взаємно однозначною.

Розташуємо всі елементи множини ( (N) і відповідні їм послідовності у
порядку нумерації:

M1 — m1(1), m2(1),…,mk(1),…

M2 — m1(2), m2(2),…,mk(2),…

……………………………………..

Mk — m1(k), m2(k),…,mk(k),…

……………………………………..

Використовуючи діагональний метод Кантора, побудуємо нову послідовність
L з нулів і одиниць l1,l2,…, lk,… таку, що lk( mk(k), тобто

( 1, якщо mk(k)=0,

lk = (

( 0, якщо mk(k)=1, k = 1,2,3,….

Послідовності L відповідає деяка підмножина M(N, а саме M={ n | ln=1,
n=1,2,…}. Очевидно, підмножина M не входить у вказаний перелік
M1,M2,…,Mk,…, оскільки послідовність L відрізняється від кожної з
послідовностей tk принаймні в одній k-й позиції. Отже, і множина M
відрізняється від кожної з множин Mk, k=1,2,…. Ця суперечність
означає, що не існує переліку для елементів множини ((N). Таким чином,
множина ( (N) незліченна.

Крім того, кожній послідовності tk можна поставити у відповідність
нескінченний двійковий дріб 0,m1(k)m2(k)…mk(k)…, який зображує деяке
дійсне число з інтервалу (0,1) у двійковій системі числення. I навпаки,
будь-яке число з інтервалу (0,1) можна однозначно записати у вигляді
нескінченного двійкового дробу. Виняток становлять числа зі зліченної
множини раціональних чисел, які записуються за допомогою скінченних
двійкових дробів і тому можуть мати дві різні форми зображення у вигляді
нескінченних двійкових дробів — з періодом 0 і періодом 1.

Кожному з таких чисел відповідають дві різні послідовності t’ і t», а
отже, і два різні елементи множини ((N): один — для зображення з
періодом 0, другий — з періодом 1. Позначимо через T множину тих
підмножин множини N, які при побудованій вище відповідності
зіставляються нескінченним двійковим дробам із періодом, T(((N). Тоді
існує взаємно однозначна відповідність між множиною всіх дійсних чисел з
інтервалу (0,1) і множиною ((N) \ T. Однак, оскільки множина T зліченна,
то за теоремою 1.6 маємо ((N) ~ ((N) \ T. Таким чином, множина ((N), а
значить і множина ((A) для будь-якої зліченної множини A, мають
потужність континуум.

Похожие записи