Реферат на тему:

Невизначений інтеграл

Поняття первісної

.

Із означення виходить, що первісна F(x) — диференційовна, а значить
неперервна функція на проміжку І, і її вигляд суттєво залежить від
проміжку, на якому вона розглядається.

мають вигляд:

;

;

Рис. 7.1

,

, а F3(x) у точці х = 0 має розрив (рис. 7.1). У цьому прикладі
первісні Fі(x) і = 1, 2, 3, знайдені методом добору із наступною
перевіркою, з використанням таблиці похідних функцій.

Теорема 1 (про множину первісних). Якщо F(x) — первісна для функції f(x)
на проміжку І, то

1) F(x) + С — також первісна для f(x) на проміжку І;

2) будь-яка первісна Ф(х) для f(x) може бути подана у вигляді
Ф(х) = F(x) + С на проміжку І. (Тут С = const називається довільною
сталою.)

Наслідок. Дві будь-які первісні для однієї й тієї самої функ-

ції на проміжку І відрізняються між собою на сталу величину (рис. 7.1).

Задача інтегрування. Невизначений інтеграл

Означення. Операція знаходження первісних для функції f(x) називається
інтегруванням f(x).

Задача інтегрування функції на проміжку полягає у тому, щоб знайти всі
первісні функції на цьому проміжку, або довести, що функція не має
первісних на цьому проміжку.

Для розв’язування задачі інтегрування функції достатньо знайти одну
будь-яку первісну на розглядуваному проміжку, наприклад F(x), тоді (за
теоремою про множину первісних) F(x) + С — загальний вигляд всієї
множини первісних на цьому проміжку.

Означення. Функція F(x) + С, що являє собою загальний вигляд всієї
множини первісних для функції f(x) на проміжку І, називається
невизначеним інтегралом від функції f(x) на проміжку І і позначається

, (7.1)

— знак невизначеного інтеграла;

f(x) — підінтегральна функція;

f(x)dx — підінтегральний вираз;

dx — диференціал змінної інтегрування.

Рис. 7.2

є рівняння однопараметричної сім’ї кривих, які утворюються одна з
одної паралельним перенесенням уздовж осі ординат (рис. 7.2).

Теорема 2 (Коші). Для існування невизначеного інтеграла для функції f(x)
на певному проміжку достатньо, щоб f(x) була неперервною на цьому
проміжку.

Зауваження. Виявляється, є такі невизначені інтеграли від елементарних
функцій, які через елементарні функції не виражаються, наприклад:

існують у кожному із проміжків області визначення, але записати їх через
основні елементарні функції не можна; в такому розумінні ці інтеграли
називають «неінтегровними».

Властивості невизначеного інтеграла

а) Властивості, що випливають із означення (7.1).

.

ІІ. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному
виразу.

.

б) Властивості, що відображають основні правила інтегрування.

IV. Сталий множник, що не дорівнює нулю, можна виносити з-під знака
інтеграла, тобто

(7.2)

V. Невизначений інтеграл від суми функцій дорівнює сумі невизначених
інтегралів від цих функцій, якщо вони існують, тобто

(7.3)

Таблиця основних інтегралів

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Інтегрування розкладанням

Цей метод базується на властивості невизначеного інтеграла (7.3). Мета
методу — розкласти підінтегральну функцію на такі доданки, інтеграли від
яких відомі або їх простіше інтегрувати, ніж початкову підінтегральну
функцію.

Метод інтегрування частинами

Теорема 3. Якщо функції u(x) та v(x) мають неперервні похідні, то:

(7.4)

На практиці функції u(x) та v(x) рекомендується вибирати за таким
правилом:

; при цьому функція u(x) вибирається такою, щоб при диференціюванні
вона спрощувалась, а за dv беруть залишок підінтегрального виразу, який
містить dx, інтеграл від якого відомий, або може бути просто знайдений.

Приклад.

Інколи доводиться інтегрування частинами застосовувати кілька разів, що
ілюструє такий приклад.

Далі наведено деякі типи інтегралів, при інтегруванні яких

;

;

, (7.5)

де P(x) — многочлен, Q(x) — алгебраїчна функція, a ( R.

Звичайно, не слід думати, що метод інтегрування частинами обмежується
застосуванням тільки до інтегралів типу (7.5).

У деяких випадках після інтегрування частинами інтеграла одержується
рівняння, із якого знаходять шуканий інтеграл.

Приклад.

.

Метод підстановки

(заміна змінної інтегрування)

Мета методу підстановки — перетворити даний інтеграл до такого вигляду,
який простіше інтегрувати.

має неперервну похідну, то:

(7.6)

Наслідок.

(7.7)

Зауваження. Специфіка інтегрування невизначеного інтеграла не залежить
від того, є змінна інтегрування незалежною змінною чи сама є функцією
(на підставі інваріантності форми запису першого диференціалу), тому,
наприклад:

У такому розумінні слід розглядати і всю таблицю інтегралів.

Приклад.

.

Приклад.

.

Для деяких класів підінтегральних функцій розроблено стандартні заміни.
Вибір зручної підстановки визначається знанням стандартних підстановок
та досвідом.

Метод безпосереднього інтегрування

, то

.

Зауваження. Під знак диференціала можна вносити будь-який сталий доданок
(значення диференціала при цьому не зміниться):

.

Інтегрування деяких виразів, що містять квадратний тричлен

Розглянемо інтегрування інтеграла

.

буде таким:

.

Приклад.

Інтегрування раціональних функцій

називається раціональним дробом.

називається правильним, якщо степінь многочлена в чисельнику менший
від степеня многочлена в знаменнику, тобто n < m; якщо n ( m, то дріб називається неправильним. j c ( V X ~ ? ‚ „ c ¤ E I I ? U Ue ?? jL ¬ 3/4 A ae e e i oe o - " $ : < >

@

B

H

J

L

N

P

n

p

?

?

3/4 (

*

??x??

?

¤

¦

?

?

¬

A

A

U

&

&

F

j

ний раціональний дріб можна подати у вигляді суми многочлена (цілої
частини) та правильного раціонального дробу.

Означення. За домовленістю найпростішими раціональними дробами
називаються такі дроби чотирьох типів:

,

, інтеграли від яких мають вигляд

;

;

— розглянуто в (7.1.9);

— інтегрується за допомогою рекурентних формул.

можна подати у вигляді скінченної кількості найпростіших дробів,
використовуючи такі правила:

, то

;

,

правильні раціональні дроби.

Приклад. Даний правильний раціональний дріб (n < 12) розкласти на суму найпростіших дробів. . Коефіцієнти А1, В1, В2, ..., N2 поки що невідомі (невизначені коефіцієнти); для їх знаходження треба праву частину рівності звести до спільного знаменника (найменшого) і знайдений чисельник прирівняти до чисельника даного дробу (бо здобуті дроби тотожно рівні й у них рівні знаменники). Із тотожної рівності многочленів у чисельниках одержимо рівності коефіцієнтів при однакових степенях змінної х, що являють собою систему лінійних рівнянь для знаходження коефіцієнтів А1, В1, В2, ..., N2. Описаний вище метод називають методом невизначених коефіцієнтів. Методика інтегрування раціональних функцій Якщо підінтегральна функція — неправильний раціональний дріб, то за допомогою ділення його розкладають на суму многочлена та правильного раціонального дробу. Знаменник правильного раціонального дробу розкладають на множники. За виглядом знаменника правильний раціональний дріб подають у вигляді суми найпростіших дробів, використовуючи метод невизначених коефіцієнтів. Інтегрують цілу частину та найпростіші дроби. ; ; . Інтегрування тригонометричних функцій , де R — раціональна функція відносно sinx, cosx, тобто над sinx, cosx виконуються лише арифметичні дії та піднесення до цілого степеня, наприклад: . , загальну схему інтегрування якої розроблено. . . . у невисокому степені (інакше розрахунки будуть дуже складні). — непарна відносно sin x, тоді роблять підстановку cos x = t. . — непарна відносно cos x раціоналізується за допомогою підстановки sin x = t. . . . . . . рекомендується скористатись формулами зниження степеня: . Приклад. . Зауваження. При інтегруванні інтегралів типу: , , . Приклад. . Інтегрування ірраціональних функцій Розглянемо підстановки для інтегрування деяких типів ірраціональних функцій, при цьому символ R(x; y) означає раціональну залежність від змінних х та у. . . Приклад. . . . раціоналізується тригонометричними підстановками; при цьому, залежно від знака дискримінанта квадратного тричлена та знака коефіцієнта а можливі такі випадки: IV. . . . Приклад. можуть бути проінтегровані за допомогою підстановок Ейлера: ; ; , . Приклад. . Інтегрування диференціального бінома Інтеграл від диференціального бінома має вигляд , — раціональні числа. За теоремою Чебишова цей інтеграл може бути зведено до інтегрування раціональних функцій лише у таких випадках: . . . Приклад. , . ЛІТЕРАТУРА Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы, ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с. Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. — К.: Вища шк., 1987. — 552 с. Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. — М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с. Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ, 1967. — 352 с. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1986. — 224 с. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1975. — 416 с. Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с. Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь, 1995. — 240 с. PAGE 1

Похожие записи