Нескінченно малі та нескінченно великі величини

.

Нескінченно малі величини найчастіше позначають літерами ?,?,?.

є нескінченно малою.

> О,

Жодну іншу постійну величину, якою би малою вона не була (наприклад,
розмір електрона), не можна назвати нескінченно малою.

Розглянемо деякі властивості нескінченно малих величин.

Теорема 1. Алгебраїчна сума будь-якого скінченного числа нескінченно
малих величин є величина нескінченно мала.

> 0. Згідно з означенням нескінченно малих в процесі їх зміни наступить
такий момент, починаючи з якого будуть виконуватися нерівності:

Звідси, використовуючи властивості модуля, одержимо:

= ?

?

Ця нерівність, згідно з означенням 1, означає, що (?l±?2±…±?k) є
нескінченно малою величиною. Теорема доведена.

Теорема 2. Добуток обмеженої величини на нескінченно малу величину є
величина нескінченно мала.

< — для будь-якого ? > 0. Тому, починаючи з деякого моменту, буде
виконуватись нерівність

Ця нерівність означає, що у-а є величиною нескінченно малою, що і треба
було довести.

Наслідок 1. Добуток постійної величини на нескінченно малу є величина
нескінченно мала.

Наслідок 2. Добуток скінченної кількості нескінченно малих величин є
величина нескінченно мала.

Дійсно, постійні та нескінченне малі величини — обмежені величини, тому
для них має місце твердження теореми 2.

>N.

є величина нескінченно великі.

буде нескінченно великою величиною.

Тому можна довести, що алгебраїчна сума скінченної кількості нескінченно
великих величин буде величиною нескінченно великою, добуток нескінченно
великої величини на обмежену величину також буде нескінченно великою
величиною.

Ділення нескінченно малих тa нескінченно великих величин поки що не
визначено і буде розглянуто далі, після визначення границі змінної
величини.

Границя змінної та її властивості

Із всієї множини змінних величин виділимо такі, процес зміни яких
відбувається особливим чином, що дозволяє назвати їді величини
прямуючими до границі.

Поняття границі

Означений 3. Постійна величина а називається границею змінної величини
х, якщо абсолютна величина різниці х — а є величиною нескінченно малою,
тобто |х — а| < ?. Якщо число а є границею змінної х, то кажуть, що х прямує до границі а і позначають так: lim х = а або х? а. З цього означення границі випливає, що границя нескінченно малої величини дорівнює нулю, тобто lim ? = 0 або а?0. Нескінченно велика величина х границі не має, але умовно вважають, що границя нескінченно великої величини є ?, тобто |х| ? ? або lim x = ±?. Із означення 3 випливає: якщо в процесі своєї зміни змінна величина має границю, то лише одну, а сама змінна величина відрізняється від своєї границі на нескінченно малу величину, тобто х = а + ?. Саме цей факт в математичному аналізі часто використовується. Тепер розглянемо границю різновидів змінної величини — послідовності та функції, . Позначають границю послідовності так: lіm хn = a або xn ? а при n ? ? Відмітимо, що номер N залежить від ? і найчастіше він зростає, коли ? зменшується. , виконується нерівність | f(x) - A|

Похожие записи

Нескінченно малі та нескінченно великі величини

.

.

є нескінченно малою.

> 0 .

Жодну іншу постійну величину, якою би малою вона не була (наприклад,
розмір електрона), не можна назвати нескінченно малою.

Розглянемо деякі властивості нескінченно малих величин.

Теорема 1. Алгебраїчна сума будь-якого скінченого числа нескінченно
малих величин є величина нескінченно мала.

> 0. Згідно з означенням нескінченно малих в процесі їх зміни
наступить такий момент, починаючи з якого будуть виконуватися
нерівності:

Звідси, використовуючи властивості модуля, одержимо:

є нескінченно малою величиною. Теорема доведена.

Теорема 2. Добуток обмеженої величини на нескінченно малу величину є
величина нескінченно мала.

. Тому, починаючи з деякого моменту, буде використовуватись нерівність

є величиною нескінченно малою, що і треба було довести.

Наслідок 1. Добуток постійної величини на нескінченно малу є величина
нескінченно мала.

Наслідок 2. Добуток скінченної кількості нескінченно малих величин є
величина нескінченно мала.

Дійсно, постійно та нескінченно малі величини – обмежені величини, тому
для них має місце твердження теореми 2.

Змінна величина х називається нескінченно великою, якщо в процесі її
зміни наступить такий момент, починаючи з якого абсолютна величина х
стає і залишається більше будь-якого, скільки завгодно великого, наперед
загаданого додатного числа N , тобто |x| > N.

є величина нескінченно велика.

буде нескінченно великою величиною.

Тому можна довести, що алгебраїчна сума скінченної кількості нескінченно
великих величин буде величиною нескінченно великою, добуток нескінченно
великої величини на обмежену величину також буде нескінченно великою
величиною.

Ділення нескінченно малих та нескінченно великих величин поки що не
визначено і буде розглянуто далі, після визначення границі змінної
величини.

Похожие записи