Пошукова робота на тему:

Неперервність функції в точці і в області.Дії над неперервними
функціями. Формулювання основних властивостей функцій, неперервних в
замкнутій області. Точки розриву функції та їх класифікація. Павутинні
моделі ринку.

План

Неперервність функції в точці та в області.

Дії над неперервними функціями.

Основні властивості функцій, неперервних на відрізу, в обмеженій
замкнутій області.

Точки розриву та їх класифікація.

Павутинні моделі ринку.

1. Неперервність функцій.

Розриви функції та їх класифікація

:

;

;

.

. В дальшому будемо користуватися і таким означенням неперервності
функції.

.

            На практиці при дослідженні функції на неперервність часто
користуються означенням неперервності функції, яке базується на понятті
приросту функції в точці.

.

.

незмінним.

 одержить приріст

.

.

            Приріст

 незалежних змінних.

, якщо

.

 неперервна в точці за яким-небудь одним означенням, то вона неперервна
і за рештою означень та навпаки.

.

            Спираючись на теореми про границі і на означення
неперервності легко переконатися в такому.

, то в цій точці будуть  неперервними і функції

Неперервність складної функції, неперервність оберненої функції. 
Сформулюємо відповідні теореми для функції однієї  змінної.

.

. Інакше,

,

.

Тоді

,

що доводить теорему.

.

            Враховуючи можливість поширення доведеного твердження на
будь-яке (означене) число накладання функціональних залежностей, можна
сформулювати теорему.

            Теорема.   Якщо накладання будь-якого (означеного) числа
неперервних функціональних залежностей приводить до складної функції, то
вона буде неперервною функцією основного аргументу.

            Сформулюємо теорему, яка дає достатні умови існування та
неперервності оберненої функції.

 є також неперервною і зростаючою (спадною).

Неперервність основних елементарних функцій.

 неперервна в кожній точці числової осі.

, що нерівність

.

існує. Для цього ліву частину нерівності запишемо у вигляді

Таким чином, для того щоб виконувалася нерівність

,

.

 у довільній точці числової осі.

            Аналогічно розглядаючи кожну елементарну функцію, можна було
б довести теорему .

            Теорема. Кожна елементарна функція неперервна в кожній
точці, в якій вона означена.

Класифікація розривів неперервності функції.

.

, а можуть і не бути (їх тоді називають ізольованими).

, що не є точкою неперервності, називається точкою розриву цієї
функції.

, називається лінією розриву цієї функції.

            Приклади.   

 є точкою розриву функції

.

 (довести).

            2. Функція задана формулою

.

.

 — зліва. Тому природно постає питання про введення таких понять, як
неперервність функції зліва і справа.

 зліва (справа), якщо виконуються умови:

);

 існує лівостороння (правостороння) границя функції;

, або

,

.

            Очевидно, коли функція неперервна в точці, то вона в цій
точці є неперервна і зліва, і справа. Має місце така теорема.

 була неперервна в даній точці, необхідно і достатньо, щоб вона була в
цій точці неперервна справа і зліва.

.

.

, є точкою розриву функції, якщо в цій точці порушується хоча б одна з
трьох умов неперервності. Тому залежно від того, яка з цих умов не
виконується, точки розриву поділяють на два роди.

 називається точкою розриву першого роду, якщо в цій точці існують
скінченні лівостороння і правостороння границі.

називається  точкою усувного розриву.

називається точкою розриву типу “ стрибка “.

 називається точкою розриву другого роду, якщо в цій точці не існує
хоча б одна  з односторонніх границь або дорівнює безмежності.

            Приклади.   

.

. Знайдемо лівосторонню і правосторонню границі в цій точці:

 має розрив першого роду.

. Односторонні границі:

 є точкою розриву другого роду.

 

 не визначена, але вона має

. Це є усувний розрив, тому що функція

.

2. Властивості функцій,

неперервних у замкнених областях

.

.

, приймає в цій області своє найбільше і найменше значення, тобто

.

, наочно ілюструється на рис. 5.2.

.

 чітко ілюструється на рис. 5.3.

 (рис.5.4).

            Доведення  перелічених теорем в нашому курсі ми не
розглядаємо. Лише зауважимо, що для функцій, неперервних в незамкнутих
або необмежених областях, наведені в цих теоремах властивості можуть не
мати місця.

            Поняття неперервності функції в точці, в області та
перелічені властивості неперервних функцій двох змінних узагальнюються
на функції трьох і більшого числа змінних.

           Рис.5.2                  Рис.5.3              Рис.5.4

3. Павутинні моделі ринку

рівноважною, попит і пропозиція при цій ціні також називаються
рівноважними.

            Встановлення рівноважної ціни – одна з головних задач ринку.
Розглянемо просту модель пошуку рівноважної ціни – так звану павутинну
модель. Вона пояснює феномен циклів зміни об’ємів продажі і цін, що
регулярно повторюються, наприклад, сільськогосподарських товарів.

            Припустимо, що рішення про величину об’єму виробництва
приймається в залежності від ціни товару в попередній період часу. Так,
площу, що відводиться під сільськогосподарську культуру, вибирають в
залежності від її ціни, що склалася в попередній рік.

            Розглянемо ситуацію, що зображена на рис.5.5.

Між іншим, описана “ спіраль” не завжди “ закручується“. В деяких
випадках вона може і “ розкручуватися “, як показано, наприклад, на
рис.5.6.

 

 Рис.5.5                                   Рис.5.6

Похожие записи