Пошукова робота на тему:
Неперервність функції в точці і в області.Дії над неперервними
функціями. Формулювання основних властивостей функцій, неперервних в
замкнутій області. Точки розриву функції та їх класифікація. Павутинні
моделі ринку.
План
Неперервність функції в точці та в області.
Дії над неперервними функціями.
Основні властивості функцій, неперервних на відрізу, в обмеженій
замкнутій області.
Точки розриву та їх класифікація.
Павутинні моделі ринку.
1. Неперервність функцій.
Розриви функції та їх класифікація
:
;
;
.
. В дальшому будемо користуватися і таким означенням неперервності
функції.
.
На практиці при дослідженні функції на неперервність часто
користуються означенням неперервності функції, яке базується на понятті
приросту функції в точці.
.
.
незмінним.
одержить приріст
.
.
Приріст
незалежних змінних.
, якщо
.
неперервна в точці за яким-небудь одним означенням, то вона неперервна
і за рештою означень та навпаки.
.
Спираючись на теореми про границі і на означення
неперервності легко переконатися в такому.
, то в цій точці будуть неперервними і функції
Неперервність складної функції, неперервність оберненої функції.
Сформулюємо відповідні теореми для функції однієї змінної.
.
. Інакше,
,
.
Тоді
,
що доводить теорему.
.
Враховуючи можливість поширення доведеного твердження на
будь-яке (означене) число накладання функціональних залежностей, можна
сформулювати теорему.
Теорема. Якщо накладання будь-якого (означеного) числа
неперервних функціональних залежностей приводить до складної функції, то
вона буде неперервною функцією основного аргументу.
Сформулюємо теорему, яка дає достатні умови існування та
неперервності оберненої функції.
є також неперервною і зростаючою (спадною).
Неперервність основних елементарних функцій.
неперервна в кожній точці числової осі.
, що нерівність
.
існує. Для цього ліву частину нерівності запишемо у вигляді
Таким чином, для того щоб виконувалася нерівність
,
.
у довільній точці числової осі.
Аналогічно розглядаючи кожну елементарну функцію, можна було
б довести теорему .
Теорема. Кожна елементарна функція неперервна в кожній
точці, в якій вона означена.
Класифікація розривів неперервності функції.
.
, а можуть і не бути (їх тоді називають ізольованими).
, що не є точкою неперервності, називається точкою розриву цієї
функції.
, називається лінією розриву цієї функції.
Приклади.
є точкою розриву функції
.
(довести).
2. Функція задана формулою
.
.
– зліва. Тому природно постає питання про введення таких понять, як
неперервність функції зліва і справа.
зліва (справа), якщо виконуються умови:
);
існує лівостороння (правостороння) границя функції;
, або
,
.
Очевидно, коли функція неперервна в точці, то вона в цій
точці є неперервна і зліва, і справа. Має місце така теорема.
була неперервна в даній точці, необхідно і достатньо, щоб вона була в
цій точці неперервна справа і зліва.
.
.
, є точкою розриву функції, якщо в цій точці порушується хоча б одна з
трьох умов неперервності. Тому залежно від того, яка з цих умов не
виконується, точки розриву поділяють на два роди.
називається точкою розриву першого роду, якщо в цій точці існують
скінченні лівостороння і правостороння границі.
називається точкою усувного розриву.
називається точкою розриву типу “ стрибка “.
називається точкою розриву другого роду, якщо в цій точці не існує
хоча б одна з односторонніх границь або дорівнює безмежності.
Приклади.
.
. Знайдемо лівосторонню і правосторонню границі в цій точці:
має розрив першого роду.
. Односторонні границі:
є точкою розриву другого роду.
не визначена, але вона має
. Це є усувний розрив, тому що функція
.
2. Властивості функцій,
неперервних у замкнених областях
.
.
, приймає в цій області своє найбільше і найменше значення, тобто
.
, наочно ілюструється на рис. 5.2.
.
чітко ілюструється на рис. 5.3.
(рис.5.4).
Доведення перелічених теорем в нашому курсі ми не
розглядаємо. Лише зауважимо, що для функцій, неперервних в незамкнутих
або необмежених областях, наведені в цих теоремах властивості можуть не
мати місця.
Поняття неперервності функції в точці, в області та
перелічені властивості неперервних функцій двох змінних узагальнюються
на функції трьох і більшого числа змінних.
Рис.5.2 Рис.5.3 Рис.5.4
3. Павутинні моделі ринку
рівноважною, попит і пропозиція при цій ціні також називаються
рівноважними.
Встановлення рівноважної ціни – одна з головних задач ринку.
Розглянемо просту модель пошуку рівноважної ціни – так звану павутинну
модель. Вона пояснює феномен циклів зміни об’ємів продажі і цін, що
регулярно повторюються, наприклад, сільськогосподарських товарів.
Припустимо, що рішення про величину об’єму виробництва
приймається в залежності від ціни товару в попередній період часу. Так,
площу, що відводиться під сільськогосподарську культуру, вибирають в
залежності від її ціни, що склалася в попередній рік.
Розглянемо ситуацію, що зображена на рис.5.5.
Між іншим, описана “ спіраль” не завжди “ закручується“. В деяких
випадках вона може і “ розкручуватися “, як показано, наприклад, на
рис.5.6.
Рис.5.5 Рис.5.6
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
